簡介

基于鋰離子 (Li-ion) 電池單元的電池組廣泛用于各種應(yīng)用，例如：混合動(dòng)力汽車 (HEV)、電動(dòng)汽車 (EV)、可供日后使用的再生能源儲(chǔ)存以及用于各種目的(電網(wǎng)穩(wěn)定性、調(diào)峰和再生能源時(shí)移等)的電網(wǎng)能源儲(chǔ)存。在這些應(yīng)用中，測量電池單元的充電狀態(tài) (SOC) 非常重要。SOC 定義為可用容量(單位為 Ah)，以額定容量的百分比表示。SOC 參數(shù)可看作一個(gè)熱力學(xué)量，利用它可評(píng)估電池的潛在電能。估計(jì)電池的運(yùn)行狀態(tài) (SOH) 也很重要;SOH以新電池為比較標(biāo)準(zhǔn)，衡量電池儲(chǔ)存和輸送電能的能力。ADI 公司的功率控制處理器 ADSP-CM419 是處理本文所討論的電池充電技術(shù)的處理器典范。

本文考察基于庫侖計(jì)數(shù)的 SOC 和 SOH 估計(jì)所用的算法。本文界定了庫侖計(jì)數(shù)的技術(shù)環(huán)境要求，并且概要闡述了 SOC 和 SOH 參數(shù)的估計(jì)方法，具體說來有庫侖計(jì)數(shù)法、電壓法和卡爾曼濾波器法。同時(shí)介紹了多種用于 SOC 和 SOH 估計(jì)的商業(yè)解決方案。此外，本文詳細(xì)說明了同類最佳的 SOC 和 SOH 估計(jì)算法，尤其是增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法、通用 SOC 算法和擴(kuò)展卡爾曼濾波器算法。最后說明了評(píng)估程序及所選 SOC 和 SOH 算法的仿真結(jié)果。

電池 SOC 測量原理

確定電池 SOC 是一個(gè)很復(fù)雜的任務(wù)，與電池類型及其應(yīng)用有關(guān)，所以近年來開展了許多旨在提高 SOC 估計(jì)精度的開發(fā)和研究工作。精確估計(jì) SOC 是電池管理系統(tǒng)的主要任務(wù)之一，其有助于改善系統(tǒng)性能和可靠性，并且還能延長電池壽命。事實(shí)上，精密估計(jì)電池 SOC 可以避免意料之外的系統(tǒng)中斷，防止電池過度充電和放電(這可能導(dǎo)致電池永久損壞，具體取決于電池的內(nèi)部結(jié)構(gòu))。然而，電池充電和放電涉及到復(fù)雜的化學(xué)和物理過程，在不同工作條件下精確估計(jì) SOC 并不是輕而易舉的事。

測量 SOC 的一般方法是非常精確地測量所有工作條件下流入和流出電池組的電量(庫侖)和電流，以及電池組中各電池單元的電壓。然后利用此數(shù)據(jù)和先前加載的與被監(jiān)測電池完全相同的電池組數(shù)據(jù)，得出 SOC 的精確估計(jì)。這種計(jì)算需要的其他數(shù)據(jù)包括：電池溫度、電池模式(測量時(shí)電池是充電還是放電)、電池年齡，以及從電池制造商那里獲得的其他相關(guān)電池?cái)?shù)據(jù)。有時(shí)候可以從制造商那里獲得關(guān)于鋰離子電池在不同工作條件下的性能的特性數(shù)據(jù)。確定SOC之后，便由系統(tǒng)負(fù)責(zé)在后續(xù)運(yùn)行中更新 SOC，基本上就是計(jì)數(shù)流入和流出電池的電量(庫侖)。如果初始 SOC 的精度不夠高，或者受其他因素影響，比如電池自放電和漏電效應(yīng)，那么這種方法的精度可能無法令人滿意。

技術(shù)要求

為了測量典型儲(chǔ)能模塊的 SOC 和 SOH，本文涉及一個(gè)庫侖計(jì)數(shù)評(píng)估平臺(tái)的設(shè)計(jì)和開發(fā)。本文中的儲(chǔ)能模塊是 24 V 模塊，通常由 7 只或 8 只鋰離子電池組成。評(píng)估平臺(tái)由以下部分構(gòu)成：硬件系統(tǒng)，包括 MCU 及所需的接口和外設(shè);嵌入式軟件，用于 SOC 和 SOH 算法實(shí)現(xiàn);以及基于 PC 的應(yīng)用軟件，用作用戶界面以進(jìn)行系統(tǒng)配置、數(shù)據(jù)顯示和分析。

評(píng)估平臺(tái)通過適當(dāng)?shù)?ADC 和傳感器周期性測量各電池單元的電壓值以及電池組的電流和電壓，并且實(shí)時(shí)運(yùn)行 SOC 估計(jì)算法。此算法會(huì)使用測得的電壓和電流值、溫度傳感器收集到的和/或 PC 軟件程序提供的一些其他數(shù)據(jù)(例如來自數(shù)據(jù)庫的建造商規(guī)格)。SOC 估計(jì)算法的輸出會(huì)被送到 PC 圖形用戶界面以供動(dòng)態(tài)顯示和數(shù)據(jù)庫更新。

SOC 和 SOH 估計(jì)方法概述

SOC 和 SOH 估計(jì)主要使用三種方法：庫侖計(jì)數(shù)法、電壓法和卡爾曼濾波器法。這些方法適用于所有電池系統(tǒng)，尤其是 HEV、EV 和 PV，下面幾節(jié)將分別討論這些方法。

庫侖計(jì)數(shù)法

庫侖計(jì)數(shù)法也稱為安培時(shí)計(jì)數(shù)和電流積分法，是計(jì)算 SOC 最常用的技術(shù)。這種方法通過電池電流讀數(shù)對(duì)使用時(shí)間的積分來計(jì)算 SOC 值，如下式所示：

(1)

其中，SOC(t0) 為初始 SOC，Crated 為額定容量，Ib 為電池電流，Iloss 為損耗反應(yīng)消耗的電流。

然后，庫侖計(jì)數(shù)法通過累計(jì)傳入或傳出電池的電荷來計(jì)算剩余容量。這種方法的精度主要取決于對(duì)電池電流的精密測量和對(duì)初始 SOC 的精確估計(jì)。利用一個(gè)預(yù)知容量(可以是存儲(chǔ)器記憶的或通過工作條件初始估計(jì)的)，電池的 SOC 可以通過充電和放電電流對(duì)運(yùn)行時(shí)間的積分來計(jì)算。然而，可釋放的電荷總是少于充放電周期中儲(chǔ)存的電荷。換言之，充電和放電期間會(huì)有損耗。這些損耗加上自放電，會(huì)引起累計(jì)誤差。若要更精確地估計(jì) SOC，就必須考慮這些因素。此外，應(yīng)當(dāng)定期重新校準(zhǔn) SOC，并應(yīng)考慮可釋放容量的衰減以使估計(jì)更準(zhǔn)確。

電壓法

電池的 SOC (即其剩余容量)可利用受控條件下的放電測試來確定。電壓法利用電池的已知放電曲線(電壓與 SOC 的關(guān)系)將電池電壓讀數(shù)轉(zhuǎn)換為等效 SOC 值。然而，由于電池的電化學(xué)動(dòng)力學(xué)和溫度，電池電流對(duì)電壓的影響更嚴(yán)重。利用一個(gè)與電池電流成比例的校正項(xiàng)來補(bǔ)償電壓讀數(shù)，并使用電池開路電壓 (OCV) 與溫度的查找表，可以使這種方法更準(zhǔn)確。由于電池需要一個(gè)穩(wěn)定的電壓范圍，所以電壓法實(shí)現(xiàn)起來很困難。此外，放電測試通常包括一次連續(xù)充電，這太費(fèi)時(shí)，故大多數(shù)應(yīng)用不會(huì)考慮。還有一個(gè)缺點(diǎn)是測試期間需中斷系統(tǒng)功能(離線方法)，這在庫侖計(jì)數(shù)法(在線模式)中可以避免。

卡爾曼濾波器法

卡爾曼濾波器是一種可估計(jì)任何動(dòng)態(tài)系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的算法，也可用來估計(jì)電池 SOC�？�爾曼濾波器于 1960 年問世，用以提供最優(yōu)線性濾波的遞歸解，適合處理狀態(tài)觀測和預(yù)測問題。與其他估計(jì)方法相比，卡爾曼濾波器可自動(dòng)提供關(guān)于自身狀態(tài)估計(jì)的動(dòng)態(tài)誤差界。通過電池系統(tǒng)建模以將所需的未知量(如 SOC) 包含在其狀態(tài)描述中，卡爾曼濾波器估計(jì)其值并給出估計(jì)的誤差界。然后，它便成為一個(gè)基于模型的狀態(tài)估計(jì)技術(shù)，利用誤差校正機(jī)制來提供對(duì) SOC 的實(shí)時(shí)預(yù)測。它可以進(jìn)行擴(kuò)展，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器可以提高其實(shí)時(shí)估計(jì) SOH 的能力。特別是電池系統(tǒng)為非線性而需要線性化步驟時(shí)，應(yīng)運(yùn)用擴(kuò)展卡爾曼濾波器。雖然卡爾曼濾波器是一種在線式動(dòng)態(tài)方法，但它需要適當(dāng)?shù)碾姵啬Ｐ秃途�確測定的參數(shù);還需要大規(guī)模計(jì)算能力和精確的初始化。

有些文獻(xiàn)中還介紹了其他用于估計(jì) SOC 的方法，例如阻抗譜法，這種方法基于電池單元阻抗測量，利用阻抗分析儀實(shí)時(shí)分析充電和放電情況。雖然這種技術(shù)可以用于鋰離子電池的 SOC 和 SOH 估計(jì)，但它基于儀器外部測量，故本文不予考慮�；�于電解質(zhì)物理特性和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法不適用于鋰離子電池。

如何選擇 SOC 和 SOH 估計(jì)方法

選擇合適的 SOC 估計(jì)方法時(shí)，應(yīng)考慮多項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)。首先，SOC 和 SOH 估計(jì)技術(shù)應(yīng)可用于 HEV 和EV應(yīng)用、可供日后使用的再生能源儲(chǔ)存、電網(wǎng)能源儲(chǔ)存所用的鋰離子電池。此外關(guān)鍵的一點(diǎn)是，所選方法應(yīng)當(dāng)是計(jì)算復(fù)雜度低、精度高(估計(jì)誤差低)的在線式實(shí)時(shí)技術(shù)。另外還要求估計(jì)方法使用電壓、電流測量值，以及溫度傳感器收集到的和/或PC軟件程序提供的其他數(shù)據(jù)。

增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法

為了克服庫侖計(jì)數(shù)法的缺點(diǎn)并提高其估計(jì)精度，有人已提出一種增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法來估計(jì)鋰離子電池的 SOC 和 SOH 參數(shù)。初始 SOC 從加載的電壓(充電和放電)或開路電壓獲得。損耗通過考慮充電和放電效率來補(bǔ)償。通過對(duì)工作電池的最大可釋放容量進(jìn)行動(dòng)態(tài)再校準(zhǔn)，電池的 SOH 也可以同時(shí)估算出來。這又會(huì)進(jìn)一步提高 SOC 估計(jì)的精度。

技術(shù)原理

工作電池的可釋放容量 (Creleasable) 是指其完全放電時(shí)釋放的容量。相應(yīng)地，SOC 定義為可釋放容量相對(duì)于制造商提供的電池額定容量 (Crated) 的百分比。

 (2)

完全充滿的電池具有最大可釋放容量 (Cmax)，其與額定容量可能不同。一般而言，新使用電池的 Cmax 與 Crated 會(huì)有一定的差異，并隨著使用時(shí)間的推移而衰減。它可以用于評(píng)估電池的 SOH。

 (3)

當(dāng)電池放電時(shí)，放電深度 (DOD) 可表示為已放電容量相對(duì)于 Crated 的百分比，

 (4)

其中，Creleased 為電流放電的容量。

利用測得的充電和放電電流 (Ib)，工作周期 (Ʈ) 中的 DOD 差異可計(jì)算如下：

 (5)

其中，充電時(shí) Ib 為正值，放電時(shí)為負(fù)值。隨著時(shí)間流逝，DOD 累加。

 (6)

為了提高估計(jì)精度，需考慮工作效率(表示為 ŋ)，DOD 表達(dá)式相應(yīng)地變成：

(7)

ŋ 在充電階段等于 ŋc，在放電階段等于 ŋd。

不考慮工作效率和電池老化時(shí)，SOC 可表示為：

(8)

考慮 SOH，SOC 按下式估計(jì)：

 (9)

圖 1 為增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法的流程圖。開始時(shí)，從相關(guān)存儲(chǔ)器中檢索已用電池的歷史數(shù)據(jù)。而新使用電池則無任何歷史信息可用，假設(shè)其 SOH 良好，值為 100%，SOC 通過測試開路電壓或加載電壓(取決于起始條件)來初步估計(jì)。

估計(jì)過程基于對(duì)電池電壓 (Vb) 和 Ib 的監(jiān)測。電池工作模式可通過工作電流的大小和方向得知。在放電模式下，DOD 累加消耗的電荷;在充電模式下，DOD 隨著積聚的電荷進(jìn)入電池而遞減。用充電和放電效率校正之后，便可實(shí)現(xiàn)更精確的估計(jì)。然后從 SOH 中減去 DOD 量，便可估算出 SOC。當(dāng)電池開路，電流為 0 時(shí)，SOC 直接從 OCV 與 SOC 的關(guān)系得出。

應(yīng)注意，當(dāng)電池完全耗盡或充滿時(shí)，可以重新評(píng)估 SOH;電池的工作電流和電壓由制造商規(guī)定。放電期間，當(dāng)加載電壓 (Vb) 小于下限 (Vmin) 時(shí)，說明電池耗盡。這種情況下，電池不能再使用，應(yīng)當(dāng)再次充電。同時(shí)，SOH 值可以通過耗盡狀態(tài)時(shí)的累計(jì) DOD 重新估算，從而重新校準(zhǔn) SOH。另一方面，在充電期間，若 (Vb) 達(dá)到上限 (Vmax) 且 (Ib) 降至下限 (Imin)，則說明所用電池已完全充滿。通過累加充入電池的總電荷獲得新的 SOH 值，即可算出新的 SOC 值。實(shí)踐中，完全充滿和耗盡的狀態(tài)偶爾會(huì)出現(xiàn)。當(dāng)電池經(jīng)常充滿和徹底放電時(shí)，SOH 評(píng)估的精度會(huì)提高。

由于計(jì)算簡單且硬件要求也不復(fù)雜，故除了電動(dòng)汽車之外，所有便攜式設(shè)備都能輕松實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法。此外，在緊隨 SOH 重新評(píng)估之后的工作周期中，估計(jì)誤差可降低到 1%。

確定初始 SOC

電池有三種工作模式：充電、放電和開路。在充電階段，當(dāng)電池以恒流恒壓 (CC-CV) 模式充電時(shí)，制造商通常會(huì)說明電池電壓和電流的變化。充電電流恒定時(shí)，電池電壓逐漸提高，直至達(dá)到閾值。一旦電池以恒壓模式充電，充電電流起先會(huì)迅速降低，然后緩慢減小。最后，當(dāng)電池完全充滿時(shí)，充電電流趨于 0。這一充電曲線在恒流階段可轉(zhuǎn)換為 SOC 與充電電壓的關(guān)系，在恒壓階段可轉(zhuǎn)換為 SOC 與充電電流的關(guān)系。充電期間的初始 SOC 可從這些關(guān)系推出。

圖1.增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法流程圖

在放電階段，電池以不同電流放電時(shí)的典型電壓曲線由制造商給出。隨著工作時(shí)間的流逝，終端電壓會(huì)降低。電流越大，終端電壓下降得越快，故而工作時(shí)間越短。這樣便可獲得不同電流下 SOC 與放電電壓的關(guān)系，進(jìn)而推知放電階段的初始 SOC。

開路階段需要 OCV 與 SOC 之間的關(guān)系。在斷開負(fù)載之前，電池以不同電流放電。如果休息時(shí)間很長，可以利用 OCV 來估計(jì) SOC。

充電和放電效率

電池的工作效率可通過庫侖效率來評(píng)估，庫侖效率定義為放電期間可從電池獲取的電荷數(shù)與充電期間進(jìn)入電池的電荷數(shù)之比。注意，充電和放電效率的系數(shù)來自測試多個(gè)電池的平均值。

所有測試電池都以恒定最大速率充電到指定容量(其等于充電速率和充電時(shí)間的乘積)，然后以恒定最小速率放電到截止電壓。充電效率定義為：

 (10)

放電,最小速率

充電,最大速率

放電效率定義為兩個(gè)階段釋放的容量與一個(gè)放電周期的 Cmax 之比。所有測試電池都完全充滿，然后以兩階段電流曲線放電：先以指定電流放電到指定 DOD，再以最小速率放電到截止電壓。放電效率的計(jì)算公式如下：

 (11)

其中，I1、I2、T1 和 T2 分別是第一和第二階段中的放電電流和持續(xù)時(shí)間。

通用 SOC 算法

本文提出的通用 SOC 算法適用于所有類型的電池，尤其是鋰離子電池。采用頻域中的線性系統(tǒng)分析(無電路模型)，OCV 基于采樣得到的終端電壓和電池放電電流來計(jì)算。由于 OCV 與 SOC 之間的映射關(guān)系是已知的，且 SOC 在一定寬度的時(shí)間窗口內(nèi)是恒定的，同時(shí)電池是一個(gè)線性或弱非線性系統(tǒng)，所以知道 OCV 便可推出 SOC。

數(shù)學(xué)表述

在每個(gè)時(shí)間窗口中，電池終端電壓 v(t) 可分解為：

 (12)

其中，vzi(t) 為零輸入響應(yīng)，對(duì)應(yīng)于無放電電流的終端電壓; vzs(t) 為零狀態(tài)響應(yīng)，對(duì)應(yīng)于有放電電流的終端電壓;i(t) 為電壓源短路時(shí)的輸入;h(t) 為模擬電池的線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。注意，等式 12 中卷積的有效性基于線性假設(shè)。

SOC 在時(shí)間窗口 0 ≤ t ≤ tw 中推出;當(dāng) t < 0 時(shí)，放電電流始終為 0。這里假設(shè)在 t = 0 之前，電池?cái)嚅_負(fù)載連接。隨后當(dāng)窗口移動(dòng)時(shí)，不再應(yīng)用該假設(shè)。利用此假設(shè)并忽略自放電效應(yīng)，零輸入響應(yīng)便是 OCV，即：

 (13)

其中，u(t) 為單位階躍函數(shù)

 (14)

首先應(yīng)找出滿足以下關(guān)系的 f(t)：

 (15)

其中，δ(t) 為狄拉克δ函數(shù)，即：

 (16)

注意，f(t) 僅需在該窗口(等式 15) 中成立。

求解 f(t) 的時(shí)間離散算法如算法 1 所示，其中 n 為窗口中的采樣點(diǎn)總數(shù)，t1、t2、…、tn 為采樣時(shí)間點(diǎn)。核心概念是對(duì)樣本進(jìn)行逆卷積運(yùn)算。過程與利用初等變換求矩陣的逆矩陣相似。

有了 f(t)，vf(t) = f(t) × v(t) 便可計(jì)算如下：

 (17)

其中 uf(t) = f(t) × u(t)。

算法 1.計(jì)算 f(t) 的算法

電池的頻域響應(yīng)可視為有限的，根據(jù)終值定理，

  (18)

相應(yīng)地，

 (19)

這意味著當(dāng)使用一個(gè)大t時(shí)，h(t) 趨于 0，vf(t)/uf(t) 是當(dāng)前時(shí)間窗口中 OCV 的良好近似值。

推出 OCV 之后，便可獲得系統(tǒng)在當(dāng)前時(shí)間窗口中的脈沖響應(yīng)：

 (20)

完成當(dāng)前窗口中的 OCV 推導(dǎo)之后，在下一窗口中可重復(fù)相同的過程以推出 OCV。

算法實(shí)現(xiàn)

在算法 1 中，運(yùn)行時(shí)的瓶頸主要是求解 f(t) × i(t) = δ(t) 以得出 f(t) 的步驟以及接下來計(jì)算 vf(t) = f(t) × v(t) 和 uf(t) = f(t) × u(t) 的步驟。實(shí)際上，這兩步可合并為一步，因?yàn)椴⒉恍枰�明確算出 f(t)。整個(gè)算法如算法 2 所示，其中 n 為一個(gè)窗口中的總采樣點(diǎn)數(shù)。

算法 2.合并解卷積和卷積步驟的算法

一旦得出 OCV，SOC 便可利用 SOC 與 OCV 的變化關(guān)系而推知。

該算法的時(shí)間復(fù)雜度為 O(n2)，其中 n 為樣本數(shù)。對(duì)不同電池類型和放電電流的實(shí)驗(yàn)證明，SOC 可以在線得出，誤差小于 4%。

擴(kuò)展卡爾曼濾波器算法

擴(kuò)展卡爾曼濾波器可用來直接估計(jì)鋰電池組的 SOC。假設(shè)電池 OCV 和 SOC 之間的關(guān)系是近似線性的，并且隨環(huán)境溫度而變化。這一假設(shè)與電池實(shí)際行為一致。電池建模為非線性系統(tǒng)，SOC 定義為系統(tǒng)狀態(tài)，這樣便可運(yùn)用擴(kuò)展卡爾曼濾波器。

鋰離子電池模型

圖 2 所示為鋰電池組的等效電路模型。體電容 (Ccb) 代表電池組儲(chǔ)存容量，表面電容 (Ccs) 代表電池?cái)U(kuò)散效應(yīng)。電阻 (Ri) 和 (Rt) 分別代表內(nèi)部電阻和極化電阻。體電容和表面電容上的電壓分別用 (Vcb) 和 (Vcs) 表示。電池組終端電壓和終端電流分別用 (V0) 和 I 表示。

該電池模型需要的參數(shù)可由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定，即在電池連續(xù)放電時(shí)通過注入電流脈沖來執(zhí)行 OCV 測試。

圖 2.鋰離子電池組的等效電路模型

圖 2 所示模型的特性受以下方程支配：

電池 OCV 和 SOC之間的關(guān)系在實(shí)踐中只是分段線性的，故 VCB 可表示為：

 (24)

其中，系數(shù) k 和 d 不是恒定的，而是隨著電池 SOC 和環(huán)境溫度而變化。因此，

故最終系統(tǒng)方程可改寫如下：

由以上方程建模的電池系統(tǒng)是非線性的，需應(yīng)用擴(kuò)展卡爾曼濾波器技術(shù)。

擴(kuò)展卡爾曼濾波器應(yīng)用

擴(kuò)展卡爾曼濾波器是卡爾曼濾波器針對(duì)非線性系統(tǒng)的擴(kuò)展。利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器技術(shù)，在每個(gè)時(shí)間步進(jìn)執(zhí)行線性化過程，用線性時(shí)間變化系統(tǒng)近似模擬非線性系統(tǒng)。然后將該線性時(shí)間變化系統(tǒng)用在卡爾曼濾波器中，產(chǎn)生一個(gè)適用于真正非線性系統(tǒng)的擴(kuò)展卡爾曼濾波器。像卡爾曼濾波器一樣，擴(kuò)展卡爾曼濾波器也利用實(shí)測輸入和輸出來求出真實(shí)狀態(tài)的最小均方誤差估計(jì)值，其中假定過程噪聲和傳感器噪聲是獨(dú)立的零均值高斯噪聲。

在電池組系統(tǒng)方程 28 和 29 中，系統(tǒng)狀態(tài)定義為 x1(t) = SOC 且 x2(t) = Vcs

輸入定義為 u(t) = I，輸出為 y(t) = V0。電池組系統(tǒng)方程 28 和 29 可改寫如下：

其中，x = [x1, x2]T

w 和 v 不僅代表隨機(jī)擾動(dòng)，而且代表參數(shù) d 和 k 變化所引起的誤差。假定 w 和 v 均為獨(dú)立的零均值高斯噪聲過程，協(xié)方差矩陣分別為 R 和 Q。

函數(shù) f(x,u) 和 g(x,u) 為：

如果函數(shù) f(x,u) 和 g(x,u) 在每個(gè)樣本步進(jìn)通過在當(dāng)前工作點(diǎn)進(jìn)行一階泰勒級(jí)數(shù)展開而線性化，則線性化模型為：

且

方程 34 和 35 所代表的模型可離散化為：

其中，Ad ≈ E + TcAk，Bd ≈ TcBk，E 為單位矩陣，Tc 為采樣周期，Cd ≈ Ck，Dd ≈ Dk 。

卡爾曼濾波器是一種最優(yōu)觀測器，其原理如圖 3 所示，即利用反饋調(diào)整所用模型的不確定變量，使估計(jì)輸出與實(shí)測輸出之間的實(shí)時(shí)誤差最小。通過這樣一種模型擬合，可以觀察到無法測量的模型參數(shù)。校正通過一個(gè)增益矢量 K 來加權(quán)，K可以校正濾波器的動(dòng)態(tài)特性和性能。增益根據(jù)每次迭代時(shí)狀態(tài)和測量的誤差預(yù)測和不確定性(噪聲)來計(jì)算。濾波器動(dòng)態(tài)控制則是基于狀態(tài)Q和測量R的噪聲矩陣的線性化，以及誤差協(xié)方差矩陣P的線性化。

圖 3.卡爾曼濾波器原理

卡爾曼濾波器算法如圖 4 所示，分為兩個(gè)階段：第一階段涉及矩陣 P、Q 和 R 的線性化，第二階段涉及觀測。在每個(gè)采樣間隔，觀測包括兩步。第一步，算法預(yù)測當(dāng)前狀態(tài)、輸出和誤差協(xié)方差的值。第二步，利用物理系統(tǒng)輸出測量結(jié)果校正狀態(tài)估計(jì)和誤差協(xié)方差。

因此，應(yīng)用擴(kuò)展卡爾曼濾波器來獲得鋰電池組的 SOC 估計(jì)。此算法的計(jì)算復(fù)雜度為 O(n3)，其中 n 為測量次數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文提出的基于擴(kuò)展卡爾曼濾波器的SOC估計(jì)方法很有效，可以精確估計(jì)電池 SOC。它還可用來估計(jì)鋰離子電池組的 SOH 值。

圖 4.卡爾曼濾波器算法

SOC 算法選擇

考慮到計(jì)算能力、所需精度、實(shí)時(shí)約束條件和系統(tǒng)環(huán)境等方面的應(yīng)用要求，相比其他算法，增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)看起來更有優(yōu)勢。事實(shí)上，它基于簡單的實(shí)時(shí)計(jì)算，不存在復(fù)雜的硬件約束條件。其復(fù)雜度明顯低于其他算法。此外，增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法的估計(jì)誤差很小，因此能夠提供合理的精度。再者，除了制造商提供的數(shù)據(jù)之外，此算法不需要其他額外信息。

增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)評(píng)估

本節(jié)將評(píng)估增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法以驗(yàn)證其精度和性能。事實(shí)上，擴(kuò)展卡爾曼濾波器顯然存在很高的計(jì)算復(fù)雜度和復(fù)雜的硬件要求，故而不適合應(yīng)用。為了評(píng)估通用 SOC 算法，我們需要 SOC 與 OCV 的關(guān)系曲線，電池?cái)?shù)據(jù)手冊(cè)并未提供此曲線。因此，必須獲得此曲線才能評(píng)估通用 SOC 算法。

上文已說明增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)的第一個(gè)評(píng)估步驟，接下來在處理電壓和電流的實(shí)際實(shí)驗(yàn)測量值時(shí)將遇到其他高級(jí)步驟。

評(píng)估程序

通過增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法仿真獲得的 SOC 值，與依據(jù)電池?cái)?shù)據(jù)手冊(cè)提供的充電和放電曲線推導(dǎo)出的實(shí)驗(yàn) SOC 值進(jìn)行比較。充電和放電曲線也可以利用 MATLAB 的 Simulink 模型 (MathWorks 模型) 重新產(chǎn)生;該模型是一個(gè)通用動(dòng)態(tài)參數(shù)化模型，可代表大部分常用類型的可充電電池，尤其是鋰離子電池。

仿真結(jié)果

我們已利用 MATLAB 仿真工具在充電模式、放電模式以及充放電組合模式下測試了增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法。圖 5 中的藍(lán)色曲線代表實(shí)驗(yàn) SOC，紅色曲線代表增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法所獲得的估計(jì) SOC。

充電模式

圖 5 顯示了一個(gè)完整充電階段的實(shí)驗(yàn) SOC 和利用增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法得到的估計(jì) SOC。在充電階段結(jié)束時(shí)，實(shí)驗(yàn)值與估計(jì)值之間的最大誤差約為 3.5%。重新評(píng)估 SOH 之后，該誤差會(huì)明顯降低。

圖 5.完整充電階段的實(shí)驗(yàn)和估計(jì) SOC

圖 6 和圖 7 分別顯示了充電模式的 CC 和 CV 階段實(shí)驗(yàn)和仿真 SOC 隨時(shí)間的變化。重新評(píng)估 SOH 值之前，在算法執(zhí)行結(jié)束時(shí)，CC 階段可獲得的最大估計(jì)誤差小于 2%，CV 階段小于 1%。注意，在 SOH 重新評(píng)估(此時(shí)電池完全充滿)之前，估計(jì)誤差隨著算法運(yùn)行時(shí)間的延長而提高。還有一點(diǎn)值得注意，那就是精確確定初始 SOC 對(duì)降低估計(jì)誤差非常重要。精確評(píng)估充電效率也能降低實(shí)驗(yàn) SOC 值和仿真 SOC 值之間的誤差。

圖 6.CC 充電階段的實(shí)驗(yàn)和估計(jì) SOC

圖 7.CV 充電階段的實(shí)驗(yàn)和估計(jì) SOC

放電模式

圖 8 和圖 9 分別顯示了完整放電階段和部分放電階段實(shí)驗(yàn)和仿真 SOC 與電池終端電壓的關(guān)系。對(duì)于較長的完整階段，最大估計(jì)誤差不超過 2%;對(duì)于較短的部分放電階段，最大估計(jì)誤差幾乎等于 0。重新評(píng)估 SOH 值之前，在完整放電階段結(jié)束時(shí)，估計(jì)誤差達(dá)到最大值，并且其隨著算法運(yùn)行時(shí)間的延長而提高。

另外還在充放電組合階段評(píng)估了增強(qiáng)型庫侖計(jì)數(shù)算法，這樣可以重現(xiàn)電池組的真實(shí)行為。經(jīng)驗(yàn)證，估計(jì)誤差通常很小 (<4%)，足以確保 SOC 的實(shí)時(shí)精確估計(jì)，且不會(huì)干擾電池組運(yùn)行。

圖 8.完整放電階段的實(shí)驗(yàn)和估計(jì) SOC

圖 9.部分放電階段的實(shí)驗(yàn)和估計(jì) SOC

參考文獻(xiàn)

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