線性電路分析——節(jié)點法詳析

一． 定義
以獨立節(jié)點電位為待求變量，根據(jù)KCL對各獨立節(jié)點KCL約束方程，而對電路進(jìn)行分析的方法稱為節(jié)點電位法，簡稱節(jié)點法。獨立方程的個數(shù)等于獨立節(jié)點的個數(shù)，即(n-1)個。非獨立節(jié)點的電位取零，稱為參考節(jié)點，也稱"接地"，并用符號"┴" 。節(jié)點法對平面網(wǎng)絡(luò)與立體網(wǎng)絡(luò)均適用。 二． 獨立節(jié)點電位變量的完備性與獨立性
獨立節(jié)點電位變量的完備性是指電路中所有的支路電壓，都可由獨立節(jié)點電位求得。例如圖3-5-1所示電路，它有四個節(jié)點，五個支路電流。對四個節(jié)點進(jìn)行編號如圖中所示，并取節(jié)點(1)(2)(3)(4)為參考節(jié)點，即取節(jié)點(4)的電位φ4=0，則節(jié)點(1),(2),(3)即為獨立節(jié)點。設(shè)它們的電位分別為φ1，φ2，φ3。今若φ1，φ2，φ3已知，則各支路電壓即均可求得為：

圖3-5-1 節(jié)點法 可見獨立節(jié)點電位變量具有完備性。
獨立節(jié)點電位變量的獨立性是指各獨立節(jié)點電位之間不受KVL約束，彼此獨立，不能互求。例如對外網(wǎng)孔回路，我們可KVL方程
即φ1-φ3+φ3-φ4+φ4-φ1=0
即0=0
此式恒為一等式，即不管φ2, φ3, φ4為何值都恒成立。對其它回路也能得到同樣結(jié)果。所以，獨立節(jié)點電位變量具有獨立性。
由于獨立節(jié)點電位變量具有完備性與獨立性，所以可作為電路分析的變量。
三． 獨立節(jié)點KCL約束方程的列寫與求解
在圖3-5-1所示電路中，設(shè)各支路電流的大小和參考方向如圖中所示。于是對三個獨立節(jié)點可列出方程：
此方程組稱為獨立節(jié)點電流約束方程，簡稱節(jié)點方程。解此方程組即可得各獨立節(jié)點電位φ1，φ2，φ3。
在式（3-5-4）中，令G11=G1+G5，G22=G1+G2+G3，G33=G3+G4+G5，它們分別為節(jié)點(1)，(2)，(3)的自電導(dǎo)，為正值；令G12=G21=-G1，G13=G31=-G5，G23=G32=-G3;G12，G21均稱為節(jié)點(1)與節(jié)點(2) 互電導(dǎo)，G13，G31均稱為節(jié)點(1)與節(jié)點(3)的互電導(dǎo)，G23，G32均稱為節(jié)點(2)與節(jié)點(3)的互電導(dǎo)?；ル妼?dǎo)為負(fù)值。令is11= is1，is22=0，is33=- is4，它們分別為流入各該節(jié)點的電流源電流的代數(shù)和，流入節(jié)點者取"+"號，流出節(jié)點者取"-"號。這樣式（3-5-4）即可寫為

可見節(jié)點方程的列寫也是很有規(guī)律的。
將上式寫成矩陣形式即為：

即 GΦ=in （3-5-7）

稱為節(jié)點電導(dǎo)矩陣，為一對稱陣：

為獨立節(jié)點電位列向量；

為節(jié)點電流源電流列向量。式（3-5-6）或（3-5-7）即為矩陣形式的節(jié)點方程。 求解式（3-5-7）得： Φ=G‾¹in （3-5-8）

四． 支路電壓與支路電流的求解
將所求得的φ1，φ2，φ3代入式（3-5-1）即可求得各支路電壓。在求支路電流時，同樣應(yīng)先設(shè)定它們的大小和參考方向橫。若設(shè)定4各支路電流的大小和參考方向如圖3-5-1中所示，則即可根據(jù)式（3-5-3）求得各支路電流。
五． 節(jié)點法的一般步驟
（1）.畫出電路圖。
（2）.選取參考節(jié)點，并設(shè)定各獨立節(jié)點電位的大小和正負(fù)性，一般都是取各獨立節(jié)點為"+"極端，參考接點為"-"極端。
（3）.對各獨立節(jié)點列寫KCL約束方程，方程個數(shù)與獨立節(jié)點個數(shù)相等。
（4）.聯(lián)立求解KCL約束方程組，即可得各獨立節(jié)點電位。
（5）.設(shè)定各支路電流的大小和參考方向，根據(jù)所求得的獨立節(jié)點電位，即可求得各支路電壓和支路電流。至此，求解工作即告完畢。
最后要指出的是，節(jié)點法的應(yīng)用極為廣泛。這是因為：（1）它既適用與平面網(wǎng)絡(luò)，也適用與非平面網(wǎng)絡(luò)；（2）在實際電路中，其獨立節(jié)點數(shù)往往要比網(wǎng)孔數(shù)少。
例3-5-1 列出圖3-5-3（a）所示電路的節(jié)點方程并求解

圖3-5-3 例3-5-1的電路

解：該電路的特點是在其中的兩個節(jié)點之間有一2V的理想電流源，無法將它等效變換為電流源。對與此種電路，若選電壓源的一端（例如負(fù)端）作為參考接點，則電壓源另一端的電位即為已知，即φ1=2V
這樣，該電路就只有兩個未知的節(jié)點電位φ2和φ3。對應(yīng)的節(jié)點方程為

代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立求解以上三式即得φ1 =2V，φ2=1.5V, φ3=0.5V.
但若選參考節(jié)點如圖3-5-3(b)所示，則由于三個獨立節(jié)點電位φ1，φ2，φ3均為未知，故必須對三個對立節(jié)點列出方程，且應(yīng)設(shè)定流過電壓源中的電流大小為i0與參考方向，如圖3-5-3（b）中所示。于是可列出方程為

聯(lián)解得 1=2.5V,φ2=2V, φ3=0.5V, i0=3A.