Ansys Zemax | 利用 TrueFreeForm 面進(jìn)行網(wǎng)格自由曲面的優(yōu)化

在這篇文章中，我們將演示如何使用 OpticStudio 的 TrueFreeForm 面，設(shè)計(jì)AR/VR設(shè)備中的人眼追跡系統(tǒng)（eye-tracking subsystem），這個(gè)系統(tǒng)通常位于裝置的楔形透鏡結(jié)構(gòu)中。此外，為了完成子孔徑（sub-aperture）矢高（sag）的優(yōu)化，我們會(huì)透過優(yōu)化 TrueFreeForm 面的網(wǎng)格矢高（grid-based sag）以達(dá)成目標(biāo)。在優(yōu)化的過程中，人眼追跡系統(tǒng)的影像質(zhì)量可以隨之提升。

簡介
在 OpticStudio 中，TrueFreeForm 面屬于序列模式下的一種面型。此表面結(jié)合了多項(xiàng)式（Polynomial）和網(wǎng)格矢高兩種面型的特性。另外，以 TrueFreeForm 面進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，我們還可以對(duì)網(wǎng)格矢高中的每個(gè)點(diǎn)為目標(biāo)，并且以非參數(shù)化（non-parameterized）的方式進(jìn)行矢高的優(yōu)化。當(dāng)用戶想以局部區(qū)域?yàn)閮?yōu)化目標(biāo)，或是多項(xiàng)式函數(shù)無法完整呈現(xiàn)矢高架構(gòu)時(shí)，TrueFreeForm 面會(huì)是我們的好選擇。

背景知識(shí)
在使用 TrueFreeForm 面進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，我們能以多項(xiàng)式函數(shù)的型式，如雙錐 toroidal （biconic toroidal）、偶次項(xiàng)非球面（even asphere）、Zernike標(biāo)準(zhǔn)矢高（Zernike standard polynomial）、擴(kuò)展多項(xiàng)式（extended polynomial）以及網(wǎng)格矢高定義的方式設(shè)定矢高。在同一個(gè)表面取得上述的函數(shù)可以為我們的設(shè)計(jì)過程來一些好處，例如原先以擴(kuò)展多項(xiàng)式（extended polynomial）、雙錐 toroidal （biconic toroidal）或網(wǎng)格定義（grid-based definitions）為目標(biāo)進(jìn)行的自由曲面優(yōu)化，現(xiàn)在可用Zernike系數(shù)對(duì)不規(guī)則的設(shè)計(jì)進(jìn)行額外的公差分析。此外，我們還可以將網(wǎng)格矢高上的各點(diǎn)設(shè)為變量進(jìn)行矢高的優(yōu)化，這是以TrueFreeForm面進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)較有趣的一點(diǎn)。

相較于參數(shù)式（parametric）優(yōu)化，網(wǎng)格矢高優(yōu)化具有許多優(yōu)點(diǎn)。由于預(yù)設(shè)的網(wǎng)格矢高內(nèi)插算法是以雙三次樣條（bicubic spline）的方式進(jìn)行計(jì)算，因此值域中的每個(gè)點(diǎn)只會(huì)對(duì)網(wǎng)格中相鄰的至多兩點(diǎn)產(chǎn)生影響。假如我們針對(duì)數(shù)據(jù)中的一點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，則系統(tǒng)只會(huì)改變局部的表面結(jié)構(gòu)，距離較遠(yuǎn)的表面信息則會(huì)維持原樣。下圖顯示了一個(gè)簡化的一維平滑曲線模型。圖中的三條曲線分別以5個(gè)點(diǎn)定義出三次樣條（cubic spline）。我們可以看到圖中最左邊的點(diǎn)會(huì)在三條曲線間移動(dòng)，但只會(huì)對(duì)距離最近的兩點(diǎn)產(chǎn)生影響。

接著我們利用下圖將上述概念推廣到二維空間。我們先以二維網(wǎng)格的矢高值表示目標(biāo)的表面結(jié)構(gòu)，并選擇其中一點(diǎn)進(jìn)行矢高的優(yōu)化（圖中紅點(diǎn)），可以看到只有藍(lán)色方形（5×5個(gè)點(diǎn)）內(nèi)的區(qū)域會(huì)受到影響。

以上的例子告訴我們兩件事。第一，以網(wǎng)格矢高的方式進(jìn)行優(yōu)化，我們可以將優(yōu)化目標(biāo)限制在局部的區(qū)域中; 相對(duì)的，使用參數(shù)式優(yōu)化時(shí)，每當(dāng)我們對(duì)單一數(shù)值進(jìn)行變更，則整個(gè)表面的結(jié)構(gòu)均會(huì)發(fā)生變化。第二，我們可以較輕易的產(chǎn)生特殊的表面幾何關(guān)系，而這是我們很難以有限次的多項(xiàng)式函數(shù)達(dá)成的。

在使用網(wǎng)格矢高優(yōu)化時(shí)有兩點(diǎn)需要特別注意。由于矢高網(wǎng)格會(huì)運(yùn)用到三次方的內(nèi)插法（cubic interpolation），這代表由一組數(shù)據(jù)點(diǎn)所產(chǎn)生的曲線會(huì)受到幾何關(guān)系的限制。此外，用于定義網(wǎng)格的矢高數(shù)據(jù)量也是進(jìn)行優(yōu)化時(shí)重要的考量。資料點(diǎn)太多會(huì)降低優(yōu)化的效率（變數(shù)過多），且會(huì)對(duì)取樣產(chǎn)生負(fù)面的影響（在接下來的篇幅中會(huì)再詳述）。另一方面，若系統(tǒng)以過少的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)化，將難以產(chǎn)生最佳的優(yōu)化表面。因此，在使用網(wǎng)格矢高的方式進(jìn)行優(yōu)化前，我們需要更謹(jǐn)慎的設(shè)定網(wǎng)格的參數(shù)。

實(shí)際案例-TrueFreeForm 面網(wǎng)格優(yōu)化
設(shè)置

在這個(gè)范例中，我們利用將以一個(gè)具有自由曲面楔形棱鏡的頭戴式透視顯示器（optical see-through head mounted display）進(jìn)行設(shè)計(jì)，此光學(xué)系統(tǒng)參考了Gao C. 和Hua H.的專利（EP3270194A1）。顯示器中的NIR（近紅外光）人眼追跡系統(tǒng)包含了三個(gè)相同的光學(xué)表面，和一個(gè)用于聚焦的楔形單透鏡。一開始，我們以擴(kuò)展多項(xiàng)式（extended polynomial）的方式在OpticStudio中建立三個(gè)面。由于TrueFreeForm面也能支持?jǐn)U展多項(xiàng)式函數(shù)，所以可以此作為設(shè)計(jì)的起點(diǎn)。接著，我們將進(jìn)行微顯示器的優(yōu)化和人眼追跡系統(tǒng)的嵌入。在這些過程中，我們還不會(huì)對(duì)參數(shù)式自由曲面的光學(xué)表面進(jìn)行校正。

注意，為了簡化設(shè)計(jì)我們忽略了光學(xué)系統(tǒng)中的透視（see-through）結(jié)構(gòu)，并且只以單一波長的入射光進(jìn)行優(yōu)化。

此外，一開始的光學(xué)表面優(yōu)化是以顯示器系統(tǒng)的成像為目標(biāo)，而忽略了人眼追跡系統(tǒng)的表現(xiàn)。因此在優(yōu)化結(jié)果的呈現(xiàn)上，F(xiàn)/3 NIR光學(xué)系統(tǒng)會(huì)有不錯(cuò)的影像質(zhì)量，但NIR人眼追跡系統(tǒng)則不然。我們可以在下方的MTF圖中看到以完整FOV取樣的結(jié)果，以及NIR人眼追跡系統(tǒng)中所有視場(chǎng)的像散。后者的平均像散約為1.4個(gè)波，并在整個(gè)FOV具有1.42個(gè)波的RMS平均波前誤差。

為了得到各系統(tǒng)較平衡的結(jié)果，我們可以重新對(duì)三個(gè)自由曲面進(jìn)行優(yōu)化。但要注意的是，任何增進(jìn)NIR人眼追跡系統(tǒng)影像質(zhì)量的改變，都將對(duì)顯示器系統(tǒng)的成像造成負(fù)面的影響。此時(shí)，改以TrueFreeForm面進(jìn)行設(shè)計(jì)便成了一個(gè)更好的選項(xiàng)。如果用戶想在不犧牲顯示器成像質(zhì)量的情況下改善人眼追跡系統(tǒng)，可以由S3 （即棱鏡最上方的面）的子孔徑優(yōu)化著手。

定義網(wǎng)格矢高變數(shù)

注意，在下圖中我們可以看到NIR光束在S3上產(chǎn)生成像路徑的光跡（footprint， 綠色區(qū)域）和微顯示器上的光線（藍(lán)色區(qū)域）是明顯分離的。

當(dāng)TrueFreeForm面S3的擴(kuò)展多項(xiàng)式已根據(jù)微顯示器系統(tǒng)完成優(yōu)化，我們接著將網(wǎng)格矢高的信息填入表面矢高的設(shè)定中（默認(rèn)值皆為0）。此時(shí)，只剩下S3上接收NIR光束（人眼追跡系統(tǒng)）的區(qū)域需被重新優(yōu)化。需要注意的是，在優(yōu)化的過程中由微顯示器發(fā)出、落在S3上的光束所產(chǎn)生的光跡不會(huì)受到影響。此外在原先的設(shè)計(jì)中，與視場(chǎng)無關(guān)的像散為主要的像差。因此我們可以使用較低階的表面輪廓修正明顯的改善成像質(zhì)量。有了以上的認(rèn)知，我們就可以開始著手進(jìn)行設(shè)計(jì)了！

我們首先產(chǎn)生一個(gè)空白的網(wǎng)格矢高檔案，文件中所有的數(shù)值均為0。我們可以善用系統(tǒng)左右對(duì)稱的特性，僅先針對(duì)右半邊的網(wǎng)格矢高信息進(jìn)行優(yōu)化。接著利用對(duì)稱功能，使左半邊的數(shù)值隨右半邊變化。透過上述的步驟我們可以有效減少變量個(gè)數(shù)，將變量集中在右半邊。

上圖中為網(wǎng)格矢高的信息。右圖中，所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)均以黑色的“x”表示。我們可以看到淺藍(lán)色、且大小為4×4的范圍代表了變數(shù)區(qū)。在前面的篇幅中曾提到，雙三次樣條的內(nèi)差算法將變量影響的范圍向外擴(kuò)增兩點(diǎn)，也就是圖中的橘色區(qū)域。確認(rèn)了網(wǎng)格的密度和變量區(qū)域后，我們可以肯定光學(xué)表面的信息會(huì)被限制在微顯示器的成像范圍內(nèi)，意即微顯示系統(tǒng)的表現(xiàn)將在優(yōu)化的過程被保留。

在下圖中，我們選取了目標(biāo)范圍內(nèi)的網(wǎng)格矢高點(diǎn)，且令為變數(shù)。

優(yōu)化網(wǎng)格矢高

在完成網(wǎng)格矢高的定義和變量設(shè)定后，我們就可以開始建立優(yōu)化函數(shù)了。我們首先將表面的優(yōu)化限縮在一個(gè)子孔徑內(nèi)，也就是說我們會(huì)移除大部分的變量，僅保留網(wǎng)格矢高的數(shù)據(jù)點(diǎn)和NIR的接收位置。此時(shí)所有之前用來優(yōu)化顯示器系統(tǒng)的目標(biāo)均須被移除。

我們以一個(gè)預(yù)設(shè)的優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。在這里要注意的是，在光瞳積分（pupil intgration）設(shè)定方面，我們選擇以矩形陣列（Rectangular Array）進(jìn)行設(shè)計(jì)，而非高斯求積（Gaussian Quadrature），因?yàn)楹笳邥?huì)使光瞳中大部分的區(qū)域不被采樣。上述的狀況并不是我們樂見的，每個(gè)網(wǎng)格變量的影響范圍不同可能導(dǎo)致部分視場(chǎng)或光瞳無法被等量的優(yōu)化?；谝陨厦枋?，我們?cè)谶M(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)將需要較高的光瞳及視場(chǎng)采樣率，避免只有目標(biāo)中的部分區(qū)域被優(yōu)化（特別是進(jìn)行焦平面周圍區(qū)域的優(yōu)化時(shí)，此時(shí)的表面上的光跡會(huì)因?yàn)橐晥?chǎng)的不同而有明顯的間隔）。

在完成視場(chǎng)及光瞳的采樣設(shè)定后，我們還需要再加入一些關(guān)于最大傾斜度（allowed maximum slope）和矢高的限制，而操作數(shù)GOPT可以幫助我們順利達(dá)成目的。GOPT檢視了網(wǎng)格中的矢高和局部區(qū)域的斜率，確保這些數(shù)值的最大和最小值都能被限制在合理的范圍內(nèi)。

優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化結(jié)束后，我們可以看到一個(gè)局域的矢狀面（sagittal）曲率被加入目標(biāo)的區(qū)域中以抵消大部分的像散，同時(shí)又使non-local的表面信息維持不變。這樣的結(jié)果很接近我們?cè)葘?duì)矢高的預(yù)期。

我們可以通過MTF結(jié)果觀察到微顯示器系統(tǒng)在優(yōu)化前后有相同的表現(xiàn)。這樣的結(jié)果也證實(shí)了網(wǎng)格變量的選擇是合理的，且這些變量與NIR人眼追跡系統(tǒng)的優(yōu)化并不會(huì)互相影響。

而NIR人眼追跡系統(tǒng)經(jīng)過優(yōu)化后，成像的表現(xiàn)有了顯著的提升。系統(tǒng)的像散在各視場(chǎng)有了幾個(gè)數(shù)量級(jí)的改善（如850 nm處由1.38個(gè)波縮小為0.0509個(gè)波）。而此系統(tǒng)的MTF表現(xiàn)也有明顯的提升（在 40 lp/mm時(shí)，平均視場(chǎng)為0.45），用戶可以看見清晰的像。這樣的結(jié)果使我們可以準(zhǔn)確的接收用戶瞳孔的NIR反射，并據(jù)此來幫助在軟件中投射影像的優(yōu)化。

結(jié)論
在這篇文章中我們看到了一個(gè)網(wǎng)格矢高優(yōu)化功能可以成功的應(yīng)用在局部表面的修正及部分光學(xué)系統(tǒng)的成像改善，且同時(shí)保留了非局部（non-local）的矢高。至于此優(yōu)化功能的缺點(diǎn)則是用戶必須謹(jǐn)慎的設(shè)定視場(chǎng)和光瞳的采樣以及矢高網(wǎng)格的變量數(shù)量。一般而言，這種優(yōu)化方式會(huì)需要較高的光束采樣和大量的變量，以至于需要較長的優(yōu)化時(shí)間。

此外，還有一些我們?cè)谶M(jìn)行自由曲面優(yōu)化或制造時(shí)需要注意的地方。在建立優(yōu)化函數(shù)時(shí)，我們僅使用為數(shù)不多的 GOPT 操作數(shù)限制變量區(qū)內(nèi)的矢高和斜率。為了使所有的表面維持連續(xù)的狀況，OpticStudio 會(huì)黏合變量區(qū)和周圍網(wǎng)格矢高結(jié)構(gòu)的邊緣，這時(shí)就可能出現(xiàn)交界處十分陡峭的情形。范例中的變量區(qū)在X方向的長度約為5 mm，我們可以在該表面向外延伸的區(qū)域發(fā)現(xiàn)斜率急劇變化的現(xiàn)象（準(zhǔn)確的來說，延伸區(qū)域?yàn)橄蛲?個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，即變量的影響范圍）。如果能確保每個(gè)矢高點(diǎn)的影響范圍都有合理的斜率，將進(jìn)一步使我們的設(shè)計(jì)更理想。我們可以利用 SSAG 操作數(shù)或是其他等效的斜率計(jì)算方式，達(dá)到限制特定區(qū)域斜率的目的，例如變量區(qū)的 RMS 斜率。