我們通過費米理想氣體模型解釋了半導(dǎo)體的行為，考慮了兩個不同的物理系統(tǒng)：電子和空穴。我們認(rèn)為，這有點牽強，在本教程中，我們引入了具有可變粒子數(shù)的理想費米氣體的概念。
共價鍵
為不失一般性，我們以鍺 (Ge) 和硅 (Si) 為例。眾所周知，這兩種化學(xué)元素是四價的，結(jié)晶于金剛石的晶格結(jié)構(gòu)中：單個原子有四個鄰居，位于正四面體的頂點。這些原子通過共價鍵連接，其中四個價電子中的一個與相鄰原子的“最近”價電子建立自旋單重態(tài)1。圖 1 是 Ge/Si 晶格結(jié)構(gòu)的二維表示。
用不太精確但有效的語言來說，我們會說在自旋單重態(tài)中，電子具有反向平行自旋。這種表達的不精確之處在于自旋角動量是量子可觀測量，沒有經(jīng)典的類似物。因此，用矢量來描述自旋是沒有意義的。
我們預(yù)計熱激蕩會破壞共價鍵，因為在T = 0 K 時，共價鍵是完整的(在此溫度下晶體是絕緣體)。實際上，我們可以考慮以下情況：對于給定溫度T > 0，只有一個鍵斷裂，如圖 2 所示。電子 1 仍然與其所屬的原子結(jié)合，而電子 2 是自由的;然而，這兩個電子處于自旋單重態(tài)，因為熱能會改變動力學(xué)自由度，但不改變自旋自由度。用量子力學(xué)的語言來說，熱能的影響相當(dāng)于一種改變量子態(tài)的測量操作。
通過將溫度恢復(fù)到T = 0，恢復(fù)初始配置，其中兩個電子都位于兩個相鄰原子之間。
在現(xiàn)實的描述中，當(dāng)溫度T足夠高時，會有一定數(shù)量的共價鍵斷裂，如前所述，這個量是溫度的函數(shù)，我們將其寫為N e ( T ) ，條件是N e ( 0) = 0 ，這在數(shù)學(xué)上表達了絕對零度溫度下共價鍵的重組。
圖 1：Ge/Si 晶格結(jié)構(gòu)的二維表示。紅色矩形表示相鄰原子電子之間的共價鍵
圖 2：熱力學(xué)平衡溫度T足以破壞共價鍵(帶虛線邊緣的矩形)。電子 1 和 2 不再結(jié)合，但仍處于自旋單重態(tài)。因此，如果溫度消失，初始鍵就會恢復(fù)
單電子能級
從各自的共價鍵中釋放出來的N e ( T )電子意味著存在N e ( T ) 正離子，其總電荷為Q = + eN e ( T )，e是束縛在晶格位置上的電荷電子的絕對值。因此，我們有一個量子力學(xué)系統(tǒng)N e ( T) 電子受到由離子系統(tǒng)產(chǎn)生的庫侖力場的作用。我們可以忽略電子與電子之間的排斥力，因為主要相互作用是由離子施加的。該力場的勢能是坐標(biāo) ( x, y, z ) 上的周期函數(shù)V ( x, y, z )，其周期等于晶格間距，因為在每個晶格節(jié)點中我們都可以找到一個離子。從量子角度來看，這是一個求解單電子哈密頓算符特征值譜的問題，即能量的特征值ε和相應(yīng)的特征函數(shù)ψ。按照泡利不相容原理，每個單個 e 能級最多由兩個電子占據(jù)。
與所有量子力學(xué)問題一樣，所研究系統(tǒng)的對稱性在尋找特征值方程或穩(wěn)態(tài)薛定諤方程的解時起著決定性的作用。在晶體的情況下，對稱性由離散平移(晶格步長)下的不變性給出。從數(shù)學(xué)上講，這通過著名的布洛赫定理來表達，根據(jù)該公式，能量的特征函數(shù)是振幅調(diào)制的平面波，其調(diào)制包絡(luò)是一個周期函數(shù)，其周期等于晶格的步長(因此具有與能量勢相同的周期性)。從物理上講，平面波的振幅調(diào)制意味著單個電子的行為“幾乎”像一個自由粒子。更具體地說，只要我們用周期勢的存在代替電子的質(zhì)量，我們就可以將其視為自由粒子。
勢能周期性的一個顯著結(jié)果是能量特征值譜的能帶結(jié)構(gòu)，即后者是由一定數(shù)量的間隔組成的，間隔之間有間隙。特征值的這種行為表征了任何固體，無論是導(dǎo)體(金屬)、絕緣體還是半導(dǎo)體。一旦計算出單個電子的能量ε的特征值，下一步就是查看這些能級是如何填充的。正如我們在上一期中看到的那樣，能級ε被占據(jù)的概率由費米-狄拉克分布函數(shù)表示：
回想一下，μ ( T ) 是電子氣的化學(xué)勢。在金屬的特定情況下，導(dǎo)帶由構(gòu)成理想費米氣體的常數(shù)(即與溫度無關(guān))電子填充。在圖 3 中，我們將 (1) 帶回到溫度T = 0，我們可以看到從 0 到 a ε max = μ (0) 的能級填充，眾所周知，這定義了費米能量，通常用ε F表示。
圖 3：絕對零度溫度下的費米-狄拉克分布
綜上所述，半導(dǎo)體中導(dǎo)帶中的電子構(gòu)成理想費米氣體，其粒子數(shù)可變，由N e ( T ) 給出。N e (0) = 0的 情況必然意味著μ (0) = 0，這是該系統(tǒng)的費米能級。這個結(jié)論似乎是一個正式的解決方案，因為在T = 0 時系統(tǒng)“消失”，因為價帶中的電子與其各自的鄰居共價結(jié)合。實際上，ε F = 0 具有以下含義：電子氣體永遠(yuǎn)不會退化，因為它始終是T > T F = 0，其中T F = εF /k B 是費米溫度。
重新定義孔洞統(tǒng)計
在半導(dǎo)體物理學(xué)中，空穴是“準(zhǔn)粒子”，其電荷與電子相反。與電子一樣，這些實體的有效質(zhì)量為m ?這通常不同于電子的有效質(zhì)量?？紤]到空穴與電子具有相同的自旋，預(yù)計能級分布會出現(xiàn)費米-狄拉克統(tǒng)計?，F(xiàn)實情況并非如此，在繼續(xù)之前，讓我們先回顧一下產(chǎn)生間隙的機制。在虛擬實驗中，一定數(shù)量的共價鍵斷裂，隨之而來的是相同數(shù)量的電子的釋放，任何“空位”都可以被來自新斷裂鍵的電子占據(jù)。后者又會留下一個空位，可以由另一個電子占據(jù)。這個過程的迭代得出以下結(jié)論：從共價鍵釋放的電子的“運動”對應(yīng)于空位在相反方向的“運動”。實驗上，這些“空穴”的行為就像電荷粒子q = + e，因此空穴被稱為準(zhǔn)粒子。
為了使這一論點可操作化，有必要確定能級的統(tǒng)計分布函數(shù)：
方程 (2) 中報告的量是能級ε未被占據(jù)的概率。如果某個能級未被占據(jù)，則稱其為“被空穴占據(jù)”： 因此， f h ( ε ) 是空穴分布函數(shù)，就像f e ( ε ) 是電子分布函數(shù)一樣。
這種說法是不準(zhǔn)確的，因為單個空穴的能量特征值與單個電子的能量特征值不一致。從物理上講，這意味著電子和空穴永遠(yuǎn)不會具有相同的能量。只要進行適當(dāng)?shù)淖兞扛淖儯匠?(2) 就會定義間隙分布函數(shù)。為此，讓我們檢查一下圖 4 中的方案，其中共價鍵的斷裂會釋放出一個電子，從而獲得能量ε 1 > 0，留下一個能量為ε ′的空穴。
因此，公式(2)可以重寫如下：
空穴分布函數(shù)如下：
我們得出空穴追逐電子的統(tǒng)計結(jié)論。這并不是文字游戲，因為f h 的定義與f e互補。在 (4) 中，它是電子氣的化學(xué)勢，沒有必要為空穴定義化學(xué)勢，因為它們是從電子開始定義的。
圖 4：導(dǎo)帶和價帶之間由帶隙ε g隔開
我們報告了上一期關(guān)于各個能帶中電子數(shù)和空穴數(shù)的結(jié)果。符號的含義很明顯：
通過施加條件(本征半導(dǎo)體)N e ( T ) = N h ( T )，我們獲得化學(xué)勢：
請注意，這些關(guān)系即使在低溫下仍然有效，而不僅僅是在經(jīng)典極限下，因為如前所述，電子氣體永遠(yuǎn)不會退化。
結(jié)論
從 (6) 式可知，μ (0) = ? ε g / 2，即在帶隙中間，正如我們在上一題中確定的那樣。這樣，帶隙概念的引入破壞了μ (0) = ε F的定義，就像在金屬中一樣。反之亦然，如果我們想保留這個定義，我們會得出ε F < 0 的結(jié)果，因此費米溫度為T F < 0。這個矛盾的結(jié)果可能是空穴理論不自洽的標(biāo)志，此外，負(fù)費米溫度會引發(fā)一系列與負(fù)絕對溫度問題相關(guān)的問題(甚至T (F) 與半導(dǎo)體溫度無關(guān)，但它是所研究電子氣的特征量。
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