一、前言

??帕塞瓦爾定理，在講解傅里葉變換的時候，也被稱為能量守恒定理。在百度百科中帕塞瓦爾定理詞條中，支出這個定理產(chǎn)生于 1799年，由數(shù)學(xué)家 Parseval 提出，該定理也被稱為瑞利能量定理，或者帕塞瓦爾恒等式。對于信號 x(t) 以及它的頻譜，即傅里葉變換 F(Ω) ，?它們的能量相等。等式右邊的 2 π 分之一因子，是因為右邊頻譜的單位取角頻率所帶來的尺度因子。下面我們來證明一下這個公式。

二、證明過程

??下面根據(jù)傅里葉變換來直接證明這個公式。這里需要使用到一個復(fù)數(shù)的性質(zhì)，信號的模的平方，等于它與其共軛的乘積。?這樣，信號的能量是對其平方的積分，?這就等于對它與自身共軛乘積的積分。接下來，利用傅里葉反變換公式，兩邊取共軛，得到信號共軛的反變換。代入上面積分公式，這就形成了一個三重積分的形式。將其中的 2 π分之一系數(shù)，合并在一起，后面積分中的變量 Ω 與前面積分是不同的。將它們都增加一撇作為區(qū)分。

??接下來，交換積分順序，先對 t 進行積分。然后再分別對 Ω一撇，以及 Ω進行積分。整理一下，于是形成下面的三重積分形式。

??對于中間對 t 的積分，它實際上是對常量 1 的傅里葉變換。對應(yīng)的頻率變量為 Omiga 減去 Omiga 一撇。我們知道，常量 1 的傅里葉變換為 2 π，δ（Ω），這樣就可以寫出第二重積分的表達(dá)式。再根據(jù) delta 函數(shù)的抽樣特性，關(guān)于 Ω一撇的積分，等于 F（Ω）共軛，在 Ω 處的取值。

??消去一個 2 π，然后將最后一個積分合并在一起，這就是到了我們需要證明的結(jié)果了。最后一個等式，實際上就是信號頻譜能量的表達(dá)式了。