讓我們很快地回顧一下,波恩-馮-卡曼(bvk)條件通過(guò)無(wú)限復(fù)制來(lái)人為地再現(xiàn)真實(shí)晶體的周期性,以便能夠以最簡(jiǎn)單的方式描述電子的行為,也就是說(shuō),通過(guò)吸波。準(zhǔn)確地說(shuō),如果 U (r)是指由向量R所定位的點(diǎn)上的一般彭波函數(shù)所假定的值,該函數(shù)將假設(shè)由數(shù)量轉(zhuǎn)換的點(diǎn)上的相同值 NI AI 在哪里 NI 類1是自然整數(shù),而 I ( I = 1 , 2 ,3)定義格的基向量的三種。圖1總結(jié)了最簡(jiǎn)單情況下的BVK過(guò)程。
圖1:有限尺寸的晶體被無(wú)限復(fù)制
在BVK框架下,我們處于理想的環(huán)境中,因?yàn)槲覀冋诳紤]由晶體離子的同樣周期分布所產(chǎn)生的周期性勢(shì)能。在物理現(xiàn)實(shí)中,主要由于雜質(zhì)(不同的原子、空缺等,局部周期性發(fā)生了違反。)。在這種情況下,解決相應(yīng)的特征值問(wèn)題是困難的,如果不是不可能的話。,在存在顯示局部周期性違反的勢(shì)能的情況下,將施羅定格方程進(jìn)行積分。
我們順便指出,在拓?fù)渖献詈?jiǎn)單的情況下,這個(gè)問(wèn)題是復(fù)雜的。,在單一空間維度。我們順便介紹了玩具模型 1 正是出于上述原因。我們甚至沒(méi)有解決本征值問(wèn)題,因?yàn)樗芊ξ?考慮到在這個(gè)問(wèn)題上有很多文獻(xiàn) 2 .為了推導(dǎo)圖2中所示的周期電位的唯一傳導(dǎo)帶,我們只考慮了哈密頓算子的矩陣表示形式。
讓我們順便指出,選擇"不對(duì)稱方波"類型的電位,或更一般地選擇分段常數(shù)函數(shù)的電位,是一種數(shù)學(xué)技巧,使施羅定格方程具有常系數(shù),因此有一個(gè)直接的解。單調(diào)的部分由解的連接條件表示,與電位的有限不連續(xù)性相對(duì)應(yīng)。這些條件返回了一個(gè)先驗(yàn)方程,當(dāng)用數(shù)字/圖形化方法求解時(shí),它提供了能量的特征值。
上述論點(diǎn)表明,同樣的數(shù)學(xué)方法(還原為一元)應(yīng)該用于局部違反勢(shì)能函數(shù)的周期性。順便說(shuō)一下,1932年伊戈?duì)査?3 以這種方式工作,但很巧妙。在解決了一元問(wèn)題之后,他觀察到在任意晶體中BVK只能縱向和橫向地再現(xiàn)周期性,而在剩余的方向上,我們找到了真空的分離面。更直觀地說(shuō),讓我們看看圖3,我們?cè)趫D3中畫(huà)了 X -與分離面垂直的軸 S 從真空里取出的水晶。
沿上述軸的方向在晶體內(nèi)部移動(dòng),我們發(fā)現(xiàn)離子的周期性分布,然而,這些離子突然在 S 與… X -軸。因此,我們面臨著一種突然的局部的潛在能量的破壞。然后,塔姆根據(jù)圖3的方案重新配置了單向解,展示了新的單電子能級(jí)的存在,它是由違反周期性所產(chǎn)生的。在絕緣子的具體情況下,這種情況意味著完全沿表面運(yùn)輸電荷(因而也就是電流)的可能性。 S .因此名字 拓?fù)浣^緣體 相應(yīng)的電荷狀態(tài)今天稱為 塔姆州 4 .
圖2:周期性勢(shì)能
圖3:違反 X -軸方向
感應(yīng)帶碎片
晶體中電子能量級(jí)帶結(jié)構(gòu)的存在在物理上是顯而易見(jiàn)的。讓我們把一個(gè)非相對(duì)論的電子從力中分離出來(lái);量子機(jī)械上,它的能量可以假定0到+ba之間的任何值,這個(gè)值取決于初始條件)。如果電子被束縛在原子核上,那么能量級(jí)就被量子化了。晶體只不過(guò)是許多原子的聚集體,所以我們期望在自由電子和與原子結(jié)合的電子這兩個(gè)極端情況之間有一個(gè)中間地帶。
例如,在金屬中,單個(gè)電子是自由的,它能夠不被離子捕獲,而能量譜的波段結(jié)構(gòu)概括了原子系統(tǒng)的特征,即由間隙隔開(kāi)的單個(gè)能量帶代表了與原子核結(jié)合的電子的量子級(jí)。
也就是說(shuō),我們證明BVKS將晶體的能量帶分解成一組離散的水平。重要的是要注意到,這并不是一個(gè)物理意義上的量化,而只是一個(gè)數(shù)學(xué)技巧。實(shí)際上,在一元情況下,量化會(huì)違反一個(gè)關(guān)于微分方程的重要定理 5 .
在我們的玩具模型的特殊情況下,我們有一個(gè)由周期電位V(X)(圖2)產(chǎn)生的單一傳導(dǎo)帶,其寬度由一個(gè)非負(fù)參數(shù)C我n(具有能量的尺寸)控制,因此,VOV解讀0的極限復(fù)制了一個(gè)理想的絕緣子(一個(gè)無(wú)限高的單電池電位屏障)。我們有一個(gè)典型的半導(dǎo)體行為,這個(gè)參數(shù)的進(jìn)一步調(diào)制模擬了金屬的電導(dǎo)率。讓我們迅速回顧,在這兩種情況下,電荷的運(yùn)輸都是通過(guò)隧道過(guò)程進(jìn)行的。
傳導(dǎo)帶由下列函數(shù)定義:
在哪里 ε ( k )是單電子哈密頓算子(即。,能源特征值); E 0 > 0是一個(gè)約束態(tài)的能量, A 是晶格音調(diào),而 k 是電子波的波數(shù)。我們已經(jīng)建立了好幾次(布洛赫定理),上面提到的能量特征函數(shù)是由一個(gè)與晶格具有相同周期的函數(shù)在幅度上調(diào)制的平面波:
更準(zhǔn)確地說(shuō),調(diào)制信封 ? k ( X )內(nèi)載關(guān)于 U k ( X ),然后通過(guò)相位因子傳遞給其他細(xì)胞 EXP ( 我kx 它的動(dòng)作就像一個(gè)領(lǐng)航波。請(qǐng)注意,方程(2)是布洛赫電子波的快照,因?yàn)樗话琫xp類型的時(shí)間依賴性(-) 我ω ( k ) t )在哪里 ω ( k )定義傳播介質(zhì)的色散定律,用方程(1)除以減小的普朗克常數(shù)。
我們現(xiàn)在使用的是波-文-卡曼邊界條件。這涉及到分配一個(gè)偶數(shù)整數(shù) N 所以水晶的"音量"是 L = 無(wú) ? A ,然后無(wú)限復(fù)制,在邊緣施加周期性條件:
不過(guò), ε ( k )與第2期周期性 π/a ,所以只需將其限制在第一個(gè)布里盧因區(qū)[- π/a, π/a ]。因此:
換句話說(shuō),bvks強(qiáng)迫波數(shù)取離散值。此后 k 能量特征函數(shù)(2),我們有一個(gè)有限的數(shù)字 N 被允許的國(guó)家:
與…有關(guān) l 由公式(4)給出。為了了解離散的能量水平是如何分布的,我們首先觀察到起始函數(shù) ε ( k 是均勻的,因此關(guān)于坐標(biāo)軸是對(duì)稱的,在[-- π/a, 0]。這意味著, k l , 我.e., k ? N/ 2 相當(dāng)于 ε ( k ),即,傳導(dǎo)帶的頂部。作為 l 能量水平下降,直到它們到達(dá)傳導(dǎo)帶的底部。其余的 k l > 0是對(duì)稱的0 k l < 0.在圖4中我們報(bào)告了 N = 10.
圖4: N = 10
在圖4中,我們選擇了一個(gè)較低的n值,用于函數(shù)(1)圖中離散級(jí)別的可視化問(wèn)題。相反,在典型的現(xiàn)實(shí)描述中, N 是10個(gè)左右 8 .不過(guò),不管 N ,國(guó)家數(shù)目 k 恰恰是 N ;它們的間隔相等,這使我們能夠定義空間中的狀態(tài)密度。 k ,詳情如下:
由于方程6概括為三維晶體,它可以改寫(xiě)如下:
指數(shù)1是我們正在工作的物理空間的維度。因此,對(duì)于三維水晶,它是:
這里,V=L 3 這是水晶的體積.
坦姆-達(dá)維多夫算法
如前所述,雜質(zhì)(不同的原子,空缺)的存在可以用勢(shì)能項(xiàng)來(lái)建模 w ( X ? ξ )加到定期術(shù)語(yǔ)中 V ( X )。數(shù)量 w ( X ? ξ )是一個(gè)以…為中心的功能 ξ (雜質(zhì)存在點(diǎn)的橫坐標(biāo)),當(dāng)我們遠(yuǎn)離它時(shí),它很快就消失了。例如, w ( X ? ξ )以高斯為中心 ξ .或者,在我們的玩具模型電位中, w ( X ? ξ 可能是矩形脈沖。解析表達(dá)式理論上是不相關(guān)的;|給出了算法效率的必要條件。 w ( X ? ξ )| ? | V ( X ),即與周期電位相比,擾動(dòng)電位的幅值必須很小。
只有在這種情況下,時(shí)間獨(dú)立攝動(dòng)理論的應(yīng)用 6 是允許的,只要我們知道不擾動(dòng)特征函數(shù)的解析表達(dá)式,在我們的情況下,我們是布洛赫波。然而,這些表達(dá)式是未知的:我們只知道它們是調(diào)幅平面波。盡管如此,達(dá)維多夫在他的書(shū)中 7 重申塔姆在1932年進(jìn)行的計(jì)算,用一個(gè)不易計(jì)算的積分替換了各州的總和。我們沒(méi)有使用連續(xù)光譜近似法來(lái)用積分來(lái)代替和(這對(duì)NVOM1是有效的,因?yàn)樵谶@種情況下,能量水平是如此的密集,以致它們近似于連續(xù)分布)。
在我的幫助下 數(shù)學(xué) 軟件,我們做了計(jì)算 N =10區(qū)分兩個(gè)案件:1) w ( X ? ξ )是一口潛在的井;2) w ( X ? ξ 是一個(gè)潛在的障礙。第一個(gè)例子告訴我們,雜質(zhì)可以是一個(gè)正離子,以這種方式發(fā)揮吸引作用。我們的計(jì)算證實(shí)了這個(gè)假設(shè) 5 *最低水平 ε 0 "分離"產(chǎn)生了一個(gè)新的層次 W 0 ? ε 0 ,其余的大致等于未受干擾的水平。此外,從相應(yīng)特征函數(shù)的行為來(lái)看,結(jié)果表明: W 0 是具有該能量的電子的約束態(tài)或定域態(tài),遵循排除原理(在圖5中,我們報(bào)告了與特征值對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)特征函數(shù)的平方模塊的行為)。 W 0 ).
情況2),即在潛在屏障的情況下,最興奮的級(jí)別是"分離",現(xiàn)在沒(méi)有局部狀態(tài),相應(yīng)的能量特征函數(shù)類似于浮波(圖6)。任意增加 N我們期待著以特征值為中心的非常密集的狀態(tài)的出現(xiàn),這些特征值與未受干擾的狀態(tài)"分離"。在連續(xù)光譜近似中,這相當(dāng)于兩個(gè)新的波段的產(chǎn)生,這兩個(gè)波段與以前的波段之間有一個(gè)缺口。對(duì)于以潛在井為代表的雜質(zhì),我們有一個(gè)能量帶,它只呈現(xiàn)局部狀態(tài)。在潛在屏障的情況下,我們有一個(gè)"興奮"帶,也就是說(shuō),在不受干擾的傳導(dǎo)帶頂部,包含離角狀態(tài)。而這些正是物理上有趣的,因?yàn)樗鼈儠?huì)產(chǎn)生導(dǎo)電性。
圖5:擾動(dòng)特征函數(shù)對(duì)應(yīng)特征值的平方模量行為 W 0 .測(cè)量單位無(wú)尺寸,特征函數(shù)不規(guī)范
結(jié)論
TMAM模型的真正難點(diǎn)在于實(shí)現(xiàn)了一個(gè)能夠模擬晶體真空分離表面的現(xiàn)象學(xué)術(shù)語(yǔ)W(X---)。我們推測(cè)這樣一個(gè)術(shù)語(yǔ)并不存在于函數(shù)中,而是存在于分布中( 狄拉克三角函數(shù) ).
圖6:受勢(shì)能項(xiàng)擾動(dòng)的特征函數(shù)之一的行為 w ( X ? ξ ) > 0
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