關(guān)鍵詞：Booth算法；Wallace樹；CSA；4-2壓縮器；樹型乘法器
引言
在微處理器芯片中，乘法器是進行數(shù)字信號處理的核心，同時也是微處理器中進行數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵部件。乘法器完成一次操作的周期基本上決定了微處理器的主頻。乘法器的速度和面積優(yōu)化對于整個CPU的性能來說是非常重要的。為了加快乘法器的執(zhí)行速度，減少乘法器的面積，有必要對乘法器的算法、結(jié)構(gòu)及電路的具體實現(xiàn)做深入的研究。
基４Booth算法與乘法器的一般結(jié)構(gòu)
乘法器工作的基本原理是首先生成部分積，再將這些部分積相加得到乘積。在目前的乘法器設(shè)計中，基４Booth算法是部分積生成過程中普遍采用的算法。對于N位有符號數(shù)乘法A×B來說，常規(guī)的乘法運算會產(chǎn)生N個部分積。如果對乘數(shù)B進行基４Booth編碼，每次需考慮3位：相鄰高位、本位和相鄰低位，編碼后產(chǎn)生部分積的個數(shù)可以減少到[(N+1)/2] （[X]取值為不大于X的整數(shù)），確定運算量0、±1A、±2A。對于2A的實現(xiàn)，只需要將A左移一位。因此，對于符號數(shù)乘法而言，基4 Booth算法既方便又快捷。而對于無符號數(shù)來說，只需對其高位作0擴展，而其他處理方法相同。雖然擴展后可能導(dǎo)致部分積的個數(shù)比有符號數(shù)乘法多1，但是這種算法很好地保證了硬件上的一致性，有利于實現(xiàn)。對于32位乘法來說，結(jié)合指令集的設(shè)計，通常情況下需要相加的部分積不超過18個。
對部分積相加，可以采用不同的加法器陣列結(jié)構(gòu)。而不同的陣列結(jié)構(gòu)將直接影響完成一次乘法所需要的時間，因此，加法器陣列結(jié)構(gòu)是決定乘法器性能的重要因素。重復(fù)陣列（Iterative Array，簡稱IA）和Wallace樹型結(jié)構(gòu)是最為典型的兩種加法器陣列結(jié)構(gòu)。IA結(jié)構(gòu)規(guī)整，易于版圖實現(xiàn)，但速度最慢且面積大；理論上，Wallace樹型結(jié)構(gòu)是進行乘法操作最快的加法器陣列結(jié)構(gòu)，但傳統(tǒng)的Wallace樹型結(jié)構(gòu)電路互連復(fù)雜，版圖實現(xiàn)困難。為了解決這個問題，人們推出了一些連接關(guān)系較為簡單的樹型結(jié)構(gòu)，例如ZM樹和OS樹。它們都是將IA樹分為幾段，每段稱之為子樹，子樹內(nèi)部連接采用IA結(jié)構(gòu)，而子樹間采用樹型連接，以此來降低連接復(fù)雜度，但是這種方法降低了部分積相加的速度。
在對樹型結(jié)構(gòu)進行改進的同時，設(shè)計者們也嘗試了對加法陣列中基本加法單元的改進。Wallace最早提出的方案中，是以CSA（進位保留加法器）作為基本單元構(gòu)建加法陣列的。其基本方法是：通過CSA部件，以3∶2的壓縮比對部分積進行逐級壓縮，直到最后只產(chǎn)生兩個輸出為止，再通過進位傳遞加法器對產(chǎn)生的這兩個偽和與局部進位相加得出真正的結(jié)果。此后，Dadda提出了一種新的加法單元，稱為“（j，k）計數(shù)器”，它有j個輸入和k個輸出，其中j≦2k。經(jīng)過研究和實踐，人們發(fā)現(xiàn)4-2壓縮器（實際上是5-3計數(shù)器）具有較好的平衡性和對稱性，用其作為基本加法單元構(gòu)成的乘法器在總體性能上具有一定的優(yōu)勢，因此4-2壓縮器也就成為了目前乘法器中較多采用的加法單元。
圖1中列舉了乘法器中幾種加法器陣列的結(jié)構(gòu)，它們都采用4-2壓縮器作為基本加法單元來完成對18個部分積的加和。圖中每個矩形代表一組4-2壓縮器，帶箭頭的線段表示部分積與中間結(jié)果。
（a）IA陣列 （b）Wallace樹
（c）一階OS樹 （d）參考文獻[5]中的樹型結(jié)構(gòu)
圖1 對18個部分積相加所采用的加法陣列結(jié)構(gòu)
如前所述，圖1（a）中的IA陣列，結(jié)構(gòu)最為規(guī)整，但很明顯，其延時級數(shù)大大多于其他結(jié)構(gòu)。（b）是Wallace樹結(jié)構(gòu)，由于采用4-2壓縮器作為唯一的加法單元，而18不能被4整除，因此在對18個部分積的求和過程中，必然要對其中的兩個部分積做額外處理。Wallace樹采取的方法是：先將16個部分積通過三級4-2壓縮器后產(chǎn)生兩個結(jié)果，然后與剩下的兩個部分積一起再進行一級4-2壓縮。（c）中的一階OS樹結(jié)構(gòu)也采用了類似的方法，只是在處理的先后順序上有所改變。這兩種結(jié)構(gòu)，都破壞了樹的對稱性，造成路徑的不等長，因此浪費了硬件資源，且增加了布局布線的復(fù)雜度。（d）是參考文獻[5]中提出的一種經(jīng)過改進的樹型結(jié)構(gòu)，其求和過程是：將18個部分積分為3組，先對每組中的6個部分積求和，各產(chǎn)生兩個中間結(jié)果，再把這6個中間結(jié)果相加。由于對每組中的6個部分積求和，可以采用相同結(jié)構(gòu)的兩組4-2壓縮器，這樣就很好地降低了布局布線的復(fù)雜度。其缺點在于：用4-2壓縮器對6個中間結(jié)果進行相加的過程中，仍不能避免路徑不平衡的問題，因此，還是使關(guān)鍵路徑的延時有不必要的增加。
CSA和4-2壓縮器的電路結(jié)構(gòu)和時延分析
既然CSA和4-2壓縮器是加法陣列中主要采用的基本單元，那么，就有必要對CSA和4-2壓縮器在電路特性方面做一下分析比較。如圖2所示，CSA的電路邏輯實際上就是一位全加器，其關(guān)鍵路徑上需要經(jīng)過兩級異或門邏輯的延時。對于4-2壓縮器，可以把它看作是兩個CSA按照圖3形式相連而構(gòu)成。
圖2 CSA電路結(jié)構(gòu)
圖3 由兩個CSA連接而成的4-2壓縮器電路結(jié)構(gòu)
通過圖3所示的連接方式能夠很容易地實現(xiàn)4-2壓縮器。但這種未經(jīng)過優(yōu)化的電路結(jié)構(gòu)很可能造成關(guān)鍵路徑不必要的延長。上文已提到，4-2壓縮器實際上是由5個權(quán)1的輸入，產(chǎn)生2個權(quán)2的輸出（Cout，C）和1個權(quán)1的輸出（S）。而本文之所以稱其為4-2壓縮器而非5-3計數(shù)器，是基于這樣一個事實：將此單元作橫向排列后，加數(shù)數(shù)目可以實現(xiàn)的壓縮比為4:2?；谡嬷当恚梢栽O(shè)計出較為理想的4-2電路結(jié)構(gòu)，如圖4所示，其中采用了基于2選1多路選擇器的異或門電路結(jié)構(gòu)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的異或門。
圖4 基于多路選擇器的4-2壓縮器電路結(jié)構(gòu)
此外，通過平衡路徑，該結(jié)構(gòu)使橫向進位鏈不對關(guān)鍵路徑的延遲造成影響，也就是說產(chǎn)生C和S信號所需的時間不決定于Cin信號，電路關(guān)鍵路徑為3個異或門的延遲。在90nm工藝條件下，采用Mentor公司的eldoD仿真工具得到的實際電路延遲仿真數(shù)據(jù)如表1所示。由此可見，一級4-2壓縮器的最大延時約為一級CSA最大延遲的1.5倍，但完成了兩級CSA所做的相加工作。
表1 4-2壓縮器和CSA時延仿真數(shù)據(jù)
信號
延時 P1 P2 P3 P4 信號
延時 A B C
S （ps） 187.76 201.30 194.99 192.77 Sum（ps） 134.46 138.11 94.492
C （ps） 185.79 183.98 187.5 195.14 Carry（ps） 118.97 111.98 100.73
（a）4-2壓縮器時延仿真數(shù)據(jù) （b）CSA時延仿真數(shù)據(jù)
改進的Wallace樹型乘法器結(jié)構(gòu)及性能比較
對于32位乘法來說，符號數(shù)相乘時，基4 Booth編碼形成16個編碼項，并由此產(chǎn)生16個部分積；無符號數(shù)相乘時，編碼項與部分積各多出一個。此外，在目前CPU指令集的設(shè)計中，乘加/減（C±A×B）指令已被廣泛采用。所以，在一次乘法運算中，加法陣列中需要相加的部分積最多達到18個。而部分積個數(shù)對陣列結(jié)構(gòu)的設(shè)計有著重大的影響，進而也就影響了布局布線的復(fù)雜度以及陣列的延遲級數(shù)。這一點在上文對圖1中各個陣列結(jié)構(gòu)的分析中，可以得到很好的證明。
為了解決圖1中各結(jié)構(gòu)在對部分積求和過程中存在的樹型結(jié)構(gòu)對稱性不好、規(guī)整性差、布局布線復(fù)雜度高，以及關(guān)鍵路徑延時不必要增加等問題，本文基于傳統(tǒng)的Wallace樹型結(jié)構(gòu)，對其做出了改進，提出如圖5所示的樹型陣列結(jié)構(gòu)。
圖5 CSA與4-2壓縮器相結(jié)合的樹型陣列結(jié)構(gòu)
此結(jié)構(gòu)中，采用CSA和4-2壓縮器共同作為基本加法單元，對18個部分積進行壓縮。其具體過程為：先采用CSA對18個部分積做第一次壓縮，產(chǎn)生12個中間結(jié)果，再采用4-2壓縮器進行第二次壓縮，然后再分別采用CSA和4-2壓縮器對第二次壓縮產(chǎn)生的6個中間結(jié)果和隨后產(chǎn)生的4個中間結(jié)果做壓縮，得到最終的兩個偽和，送入進位傳播加法器得到最終結(jié)果。該結(jié)構(gòu)通過在第一次和第三次壓縮中采用CSA，使得最初的18個部分積和用4-2壓縮器進行第二次壓縮產(chǎn)生的6個中間結(jié)果能夠同時得到處理，使各條路徑在時延上達到平衡，相比于只采用4-2壓縮器作為基本加法單元的陣列，這就節(jié)省了不必要的等待時間。與此同時，用兩級CSA取代兩級4-2壓縮器，也使得關(guān)鍵路徑的延時有了明顯的縮短，對高速集成電路設(shè)計有著很高的實用價值。
此外，由圖5可以看出，此結(jié)構(gòu)具有較好的對稱性和規(guī)整性，宏模塊數(shù)量少，有利于布局布線。同時，對于目前指令集設(shè)計中常用的乘法指令，該結(jié)構(gòu)對硬件的利用率也是相當(dāng)高的。概括地說，該結(jié)構(gòu)保持了傳統(tǒng)Wallace樹型結(jié)構(gòu)求和速度快的優(yōu)點，又較好地改進了原來那種由單一加法單元構(gòu)成的陣列的不足。
為了比較該結(jié)構(gòu)與圖1所示各結(jié)構(gòu)陣列的面積，本文在90nm工藝下采用全定制設(shè)計方法，利用Cadence的版圖工具Virtuoso對各種情況進行了比較。另外，采用經(jīng)過4-2壓縮器級數(shù)度量關(guān)鍵路徑的時延，不考慮互連延時，再通過AT2標(biāo)準(zhǔn)做了進一步的比較，結(jié)果如表2所示。(其中由表1數(shù)據(jù)可得，1級CSA延時≈0.7級4-2壓縮器延時。
表2 各種結(jié)構(gòu)的比較
陣列結(jié)構(gòu) 面積A（μm2） 延時T（4-2級數(shù)） AT2 用Wallace樹歸一化
IA陣列 0.0362 8 2.3168 3.3
Wallace樹 0.0437 4 0.6992 1
一階OS樹 0.0402 4 0.6432 0.92
參考文獻[5]結(jié)構(gòu) 0.0414 4 0.6624 0.95
本文提出結(jié)構(gòu) 0.0418 3.4 0.4832 0.69
結(jié)語
采用CSA與4-2壓縮器相結(jié)合的電路，在對部分積的求和過程中對硬件達到了最為高效的利用。同時，這種結(jié)構(gòu)既發(fā)揮了CSA版圖面積小的優(yōu)點，又體現(xiàn)了4-2壓縮器壓縮比高、速度快的長處，因此，與其他結(jié)構(gòu)相比，本文提出的改進結(jié)構(gòu)在面積和速度上都達到了相對理想的效果。雖然其在布局布線上有一定的復(fù)雜度，但與傳統(tǒng)的Wallace樹相比，已取得了頗為可觀的改進。目前，該結(jié)構(gòu)乘法器的版圖設(shè)計工作已基本完成，并被用于正在進行的64位高性能嵌入式CPU設(shè)計的項目中，預(yù)計于2007年3月進行流片。
參考文獻
1 Bwick G. Fast multiplication：algorithms and implementation[D]. Stanford University, 1994
2 Poornaiah, D. Algorithm for designing efficient VLSI concurrent add-multiply and add-multiply-add cells for DSP applications[J]. Electronic Letters, 2000, 36(5)：399-400
3 Jessani R M, Putrino M. Comparison of Single- and Dual-Pass Multiply-Add Fused Floating - Point Units[J]. IEEE Trans Comput, 1998, 47（9）：927-937
4 Sousa L, Chaves R.. A universal architecture for designing ef
下載文檔
