基于Matlab的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法比較及應(yīng)用

0 引言
    數(shù)字濾波器(Digital Filter)是指輸入、輸出都是離散時間信號，通過一定運算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中起著非常重要的作用，在信號的過濾、檢測與參數(shù)的估計等方面，是使用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)。
    實現(xiàn)數(shù)字濾波器的方法有兩種，一是采用計算機軟件進行，就是把所要完成的工作通過程序讓計算機來實現(xiàn)；二是設(shè)計專用的數(shù)字處理硬件。這個地方主要用到的就是第一種方法。即是用Mafiab提供的信號處理工具箱來實現(xiàn)數(shù)字濾波器。
    Matlab信號處理工具箱提供了豐富的設(shè)計方法，可以使得繁瑣的程序設(shè)計簡化成函數(shù)的調(diào)用，只要以正確的指標(biāo)參數(shù)調(diào)用函數(shù)，就可以正確快捷地得到設(shè)計結(jié)果。

1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法比較
1．1 概述
    IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計方法。模擬濾波器設(shè)計已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的技術(shù)和方法，有完整的設(shè)計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設(shè)計數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。
    對于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計具體步驟如下：
    (1)按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。
    (2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。
    (3)再按照一定的規(guī)則將G(s)轉(zhuǎn)換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。若設(shè)計的數(shù)字濾波器是低通的，上述的過程可以結(jié)束，若設(shè)計的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要下面的步驟：
    將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后設(shè)計出低通G(s)，再將G(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。
    Matlab信號工具箱提供了幾個直接設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的函數(shù)，直接調(diào)用這些函數(shù)就可以很方便地對濾波器進行設(shè)計。這里選取巴特沃斯法、切比雪夫I、切比雪夫Ⅱ、橢圓法四種方法進行比較。給出用上述方法設(shè)計數(shù)字濾波器的函數(shù)如下：
      
    其中：Wp表示通帶截止頻率；Ws表示阻帶截止頻率；Rp表示通帶紋波系數(shù)；Rs表示阻帶紋波系數(shù)；N表示濾波器最小階數(shù)；Wn表示截止頻率。b，a分別表示階次為N+1的數(shù)字濾波器系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量；Fs為采樣頻率；n為在區(qū)間[O Fs]頻率范圍內(nèi)選取的頻率點數(shù)；f記錄頻率點數(shù)。n取2的冪次方，可以提高運算的速度，因為freqz函數(shù)采用基2的FFT算法。ftype=high時，為高通濾波器；ftype=bandpass時，為帶通濾波器；ftype=stop時，為帶阻濾波器。
   
1．2 四種設(shè)計方法比較
    (1)在低通濾波器中的比較
    假如：Wp=20 Hz，Ws=50 Hz，F(xiàn)s=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分別用Butterworth低通濾波器、Chebyshev I型低通濾波器、ChebyshevⅡ型低通濾波器、橢圓低通濾波器四種方法進行設(shè)計，如圖1所示。

    (2)在高通濾波器中的比較
    假如：Wp=50 Hz，Ws=20 Hz，F(xiàn)s=200，Rp=1 dB，Rs=30 dB，分別用Butterworth高通濾波器、Chebyshev I型高通濾波器、ChebyshevⅡ型高通濾波器、橢圓高通濾波器四種方法進行設(shè)計，如圖2所示。

    (3)在帶通濾波器中的比較
    假如：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3 dB，Rs=30 dB，F(xiàn)s=1 000，分別用Butterworth帶通濾波器、Chebyshev I型帶通濾波器、ChebyshevⅡ型帶通濾波器、橢圓帶通濾波器四種方法進行設(shè)計，如圖3所示。

    (4)在帶阻濾波器中比較
    假如：Wp=[100，200]，Ws=[50，250]，Rp=3 dB，Rs=30 dB，F(xiàn)s=1 000，分別用Butterworth帶阻濾波器、Chebyshev I型帶阻濾波器、ChebyshevⅡ型帶阻濾波器、橢圓帶阻濾波器四種方法進行設(shè)計，如圖4所示。

1．3 比較結(jié)果分析
    通過對各種類型的濾波器通過不同的方法進行設(shè)計，可以使一些結(jié)論得到驗證。利用Butterworth濾波器、Chebysheve I型濾波器、Che-bysheveⅡ型濾波器、橢圓濾波器都可以進行低通、高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計，但是各有特點。Butterworth濾波器通帶內(nèi)的幅頻響應(yīng)曲線能得到最大限度的平滑，但犧牲了截止頻率的坡度。
    Chebysheve I型濾波器通帶內(nèi)等波紋，阻帶內(nèi)單調(diào)；ChebysheveⅡ型濾波器通帶內(nèi)單調(diào)，然而阻帶內(nèi)等波紋；橢圓濾波器阻帶和通帶內(nèi)都是等波紋的，但下降的坡度更大，而且可以以更低的階數(shù)實現(xiàn)和其他兩類濾波器一樣的性能指標(biāo)。

2 IIR數(shù)字濾波器應(yīng)用
    假定信號的采樣頻率是600 Hz，輸入信號的頻率為100 Hz，180 Hz和250 Hz的合成正弦波信號f(t)=sin(200πt)+sin(360πt)+sin(500πt)，通過截止頻率是120 Hz的巴特沃斯低通濾波器，通過濾波前后頻譜的對比，可以發(fā)現(xiàn)信號通過濾波器后，兩個高頻的信號180 Hz和250 Hz的正弦信號被濾掉，達(dá)到了濾波的效果。
    圖5和圖6給出了巴特沃斯低通濾波器濾波前后的頻譜圖。

    依然是上述的條件，如果想保留高頻的信號250 Hz的正弦信號，可以通過巴特沃斯高通濾波器，此高通濾波器截止頻率為220 Hz，濾波以后的頻譜如圖7所示，兩個低頻的信號100 Hz，180 Hz的正弦波信號被濾掉；當(dāng)預(yù)保留100 Hz，250 Hz兩個信號后可以通過帶阻濾波器濾掉180 Hz的正弦信號，如圖8所示；同理如果僅僅保留180 Hz的正弦信號可以通過帶通濾波器，而濾掉其他兩個信號，如圖9所示。

3 結(jié)語
    濾波是信號處理的基礎(chǔ)，濾波運算是信號處理中的基本運算，濾波器的設(shè)計也就相應(yīng)成為數(shù)字信號處理的最基本問題之一。信號帶有噪聲或無用信號，濾波器的作用是將這些干擾成分濾除，也就是讓特定頻段的信號通過達(dá)到對信號篩選的效果。在經(jīng)典的濾波器中，通過對IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計研究，應(yīng)用Butterworth濾波器、Chebysheve I型濾波器、Chebysheve II型濾波器以及橢圓濾波器四種形式分別對低通、高通、帶通和帶阻四種濾波器形式進行比較仿真，得到其不同的仿真特性；選擇三個不同頻率100 Hz，180Hz和250 Hz的合成正弦波信號：
    f(t)=sin(200πt)+sin(360πt)+sin(5007πt)
    進行疊加，應(yīng)用了Butterworth濾波器實現(xiàn)了混合信號頻譜的分離，得到了良好的仿真效果。