IIR數(shù)字濾波器的Matlab和FPGA實現(xiàn)

摘要：提出一種通過兩個二階節(jié)級聯(lián)構(gòu)成四階IIR數(shù)字橢圓濾波器的設(shè)計方法，并利用Matlab仿真軟件設(shè)計了通帶內(nèi)波紋不大于0．1 dB，阻帶衰減不小于42 dB的IIR數(shù)字濾波器。論述了一種采用可編程邏輯器件，通過VHDL硬件描述語言實現(xiàn)該濾波器的方法。給出了在QuartusⅡ軟件下的仿真結(jié)果，并在FPGA器件上驗證實現(xiàn)。實驗證明，這種方法是切實可行的。
關(guān)鍵詞：無限長單位脈沖響應(yīng)濾波器；Matlab；FPGA；VHDL

0 引言
    數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不要求阻抗匹配，以及能夠?qū)崿F(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能等特點，因此數(shù)字濾波器被廣泛應(yīng)用于圖像處理和識別、語音處理和識別、通信、雷達、人工智能、核技術(shù)等多個領(lǐng)域。
    數(shù)字濾波器的實現(xiàn)方法很多，采用FPGA器件實現(xiàn)具有速度快、效率高、成本低、開發(fā)周期短等優(yōu)點，而且還可以直接使用Altera公司提供的FIR／IIR IP core或采用LPM的設(shè)計方法進行設(shè)計，使數(shù)字濾波器設(shè)計變得簡單、可靠。本系統(tǒng)通過一個實例說明如何通過Matlab設(shè)計并在FPGA器件上實現(xiàn)IIR橢圓函數(shù)濾波器。

1 IIR數(shù)字濾波器的Matlab設(shè)計
1．1 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計要求
    本系統(tǒng)的設(shè)計指標如下：模擬信號采樣頻率為2 MHz，每周期最少采樣20點，即模擬信號的通帶邊緣頻率為fp=100 kHz，阻帶邊緣頻率fs=200 kHz，通帶波動Rp≤0．1 dB(通帶誤差不大于5％)，阻帶衰減As≥42 dB。換算為數(shù)字域指標為：Wp=0．1π，Ws=0．2π，Rp=0．1 dB，As=42 dB。
1．2 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方案
    (1)根據(jù)設(shè)計要求確定濾波器數(shù)字域指標
    換算為數(shù)字域指標為：Wp=0．1π，Ws=0．2π，Rp=0．1 dB，As=42 dB。
    (2)采用Matlab軟件設(shè)計濾波器系統(tǒng)函數(shù)
    IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)是采用計算機輔助工程CAE工具進行設(shè)計的。系統(tǒng)函數(shù)H(z)的計算采用Matlab軟件設(shè)計比較方便，其中有兩個現(xiàn)成的函數(shù)可以使用：ellipord(Wp／pi，Ws／pi，Rp，As)函數(shù)用來計算數(shù)字橢圓濾波器的階次N和3 dB截止頻率Wn；ellip(N，Rp，As，Wn)函數(shù)可以求得直接型橢圓IIR濾波器的各個系數(shù)。
    根據(jù)要求，設(shè)計采用Matlab軟件實現(xiàn)IIR濾波器的源程序如下：
  
    利用Matlab軟件可以得到如下結(jié)果：
   
    這是一個四階IIR系統(tǒng)，通過Matlab計算出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)如圖1所示，可見能滿足設(shè)計要求。

    (3)確定濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)
    本設(shè)計如果采用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，則需用的乘法器和延遲單元相對較多，而且分子和分母的系數(shù)相差較大，需要較多的二進制位數(shù)才能實現(xiàn)相應(yīng)的精度要求。
    為了克服上述缺點，采用二階級聯(lián)實現(xiàn)。IIR濾波器采用級聯(lián)型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)既可以對各基本節(jié)的零點、極點方便地單獨進行調(diào)整，又可以降低對二進制數(shù)位數(shù)的要求。
    這里采用Matlab中的“二階部分傳遞函數(shù)”tf2sos()完成IIR濾波器直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)到級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換。
    將IIR濾波器由直接型變?yōu)榧壜?lián)型的Matlab語言源程序如下：

    可以看出，每個二階節(jié)的分子、分母系數(shù)差異減少了。值得注意的是，在分配二階節(jié)的增益時，要保證每個節(jié)不會發(fā)生運算溢出，可以先用Matlab軟件分析計算來合理安排各節(jié)的增益。經(jīng)過計算，本文采用第一級分配0．162 6，第二級分配0．065 8，可以保證在要求的輸入范圍，沒有數(shù)據(jù)溢出發(fā)生。
    (4)濾波器參數(shù)量化
    差分方程的量化后各系數(shù)如表1所示，這里采用10位定點純小數(shù)補碼表示。

2 IIR數(shù)字濾波器的FPGA實現(xiàn)
2．1 總體設(shè)計方案
    根據(jù)上述參數(shù)計算可知，需要設(shè)計的IIR濾波器為2個二階節(jié)的系統(tǒng)級聯(lián)形式，其二階節(jié)系統(tǒng)函數(shù)的差分方程均為：
   
    可以看出，一個二階節(jié)的實現(xiàn)，需要五次乘法運算、四次加法運算(采用二進制補碼將減法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算)，兩個二階節(jié)共需要10次乘法運算，所有乘法運算均為無符號數(shù)的乘法運算，所以使用時需要先將兩個補碼乘數(shù)轉(zhuǎn)換為無符號數(shù)相乘后，再將乘積轉(zhuǎn)換為補碼乘積輸出，送入累加器求和。根據(jù)以上設(shè)計思想可知，一個二階節(jié)系統(tǒng)均由控制模塊、移位模塊、求補模塊、乘法模塊和累加器模塊等模塊組成，其系統(tǒng)電路框圖如圖2所示。

    由于IIR濾波器的兩個節(jié)系統(tǒng)電路結(jié)構(gòu)完全相同，只是系數(shù)不同，故另一個二階節(jié)的設(shè)計與此類似。
2．2 主要功能模塊的設(shè)計
    控制模塊主要用來產(chǎn)生對其他模塊的時序控制。
    累加模塊的功能是將10位×1位乘法器的5個輸出數(shù)據(jù)在10個時鐘周期內(nèi)累加后，并將結(jié)果輸出。
    移位模塊主要完成數(shù)據(jù)交換功能，將輸入數(shù)據(jù)送入輸入寄存器x(n)中，同時將x(n)寄存器上一時刻的數(shù)據(jù)送入x(n-1)寄存器，同時又將x(n-1)寄存器上一時刻的數(shù)據(jù)送入x(n-2)寄存器。同理有y(n)→y(n-1)→y(n-2)。
    求補模塊主要根據(jù)每路乘法器2個輸入數(shù)據(jù)的補碼，判斷輸入數(shù)據(jù)的正負，設(shè)置該路乘積結(jié)果正負標志位，并對輸入的負數(shù)進行求補運算，保證乘積是在2個無符號數(shù)之間進行，再根據(jù)該路乘積結(jié)果正負標志位，對乘積結(jié)果進行求補運算，保證送入累加器的數(shù)據(jù)為補碼。
    將設(shè)計好的各模塊按照二階節(jié)系統(tǒng)電路框圖銜接，即可完成IIR濾波器其中一個二階節(jié)系統(tǒng)的設(shè)計。只要修改差分方程的系數(shù)就可完成另一個二階節(jié)系統(tǒng)的設(shè)計。
2．3 仿真結(jié)果
   各功能模塊設(shè)計、調(diào)測完成之后，按照總體設(shè)計方案完成IIR濾波器的實現(xiàn)，并下載到Altera公司的EP1C6Q240C8器件上驗證，QuartusⅡ中的仿真結(jié)果如圖3所示。

    圖3中：xn為輸入信號，采用單極性方波周期信號；頻率為100 kHz，在采樣頻率為2 MHz時，每個周期采樣20個點，換算成數(shù)字域頻率為0．1π；二次諧波的數(shù)字頻率為0．2π；yn為濾波輸出。觀察仿真波形可知，所設(shè)計的IIR濾波器符合設(shè)計要求。為了更直觀地觀察IIR濾波器濾波后的輸出結(jié)果，可將仿真波形文件轉(zhuǎn)換為*．tbl文件，在Matlab中描繪波形。

3 結(jié)語
    數(shù)字濾波器的應(yīng)用十分廣泛，實現(xiàn)方法很多，運用Matlab語言，能很容易地設(shè)計出具有嚴格指標要求的數(shù)字濾波器。采用FPGA器件實現(xiàn)數(shù)字濾波器的方法，大大縮短了設(shè)計周期，降低了成本，提高了設(shè)計的可靠性、靈活性，為數(shù)字濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)提供了一種有效的方法。