帶Smith預(yù)估器的預(yù)測(cè)PID控制器的設(shè)計(jì)

0 引言
    PID控制器因算法簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高，一直是工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中應(yīng)用最廣的控制器。然而，實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程往往具有非線性、時(shí)變不確定性，應(yīng)用常規(guī)PID控制不能達(dá)到理想的控制效果。這時(shí)，往往不得不采用模型預(yù)測(cè)控制、自適應(yīng)控制等先進(jìn)控制策略來(lái)獲得更好的控制性能。但是也存在多種原因阻礙這些先進(jìn)控制策略在實(shí)際中的應(yīng)用。其中一個(gè)主要的原因就是由于這類先進(jìn)的控制算法在硬件、軟件和人員培訓(xùn)方面缺乏有效的支持，這阻礙了它們?cè)贒CS層上的實(shí)現(xiàn)。而且在參數(shù)整定方面，由于這類算法的參數(shù)常缺乏明確的物理意義，對(duì)于已熟悉PID參數(shù)整定的操作人員來(lái)說(shuō)，也是不得不面對(duì)的問(wèn)題。因此，近年來(lái)越來(lái)越多的研究人員就上層采用模型預(yù)測(cè)控制這類先進(jìn)的控制算法，而底層保留傳統(tǒng)的PID控制算法，即所謂的預(yù)測(cè)PID控制算法，展開了一系列的研究。如P．Vega等人直接將經(jīng)典PID的參數(shù)引入到性能指標(biāo)中，再通過(guò)Taylor近似處理得到了次優(yōu)化的控制器參數(shù)。Miller提出了一種隨機(jī)預(yù)測(cè)PID控制算法，其在數(shù)學(xué)上等于穩(wěn)態(tài)加權(quán)廣義預(yù)測(cè)控制算法，并先后成功應(yīng)于化肥廠熱交換器的溫度控制和廢水裝置溶氧濃度的控制。在文獻(xiàn)[5]中，MASARU KATAYAMA根據(jù)PID與一般GPC控制律之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，直接計(jì)算出PID參數(shù)的值，本文在其基礎(chǔ)上，采用階梯式策略，避免了參數(shù)整定過(guò)程中復(fù)雜的矩陣求逆運(yùn)算，并給控制輸出引入較強(qiáng)的階梯約束，改善了控制性能的調(diào)節(jié)靈活性。另外，文中分析了該方法在整定大延時(shí)對(duì)象的控制器參數(shù)時(shí)所引起的誤差的原因，并通過(guò)引入smith預(yù)估器，有效地改善了這類系統(tǒng)的控制效果。

1 整定算法
1．1 系統(tǒng)描述及PID控制律介紹
    考慮到GPC算法的需要，本文采用受控自回歸積分滑動(dòng)平均模型(CARIMA)描述被控對(duì)象：
    
    其中，y(t)和u(t)為系統(tǒng)在t時(shí)刻的輸出值和控制量；ζ(t)為零均值、方差有界的白噪聲；k為系統(tǒng)的最小時(shí)延；△=1-z-1為差分算子；A(z-1)、B(z-1)分別為后移算子z-1的na和nb階多項(xiàng)式，且A(z-1)為首一多項(xiàng)式。
    文中控制器采用I-PD型結(jié)構(gòu)，該控制律在改變?cè)O(shè)定值時(shí)，控制器輸出不至于有太大的變化，增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗擾動(dòng)能力，另外可以很方便地得到此I-PD控制律與GPC控制律之間的聯(lián)系，從而可以依據(jù)GPC思想來(lái)進(jìn)行PID參數(shù)的整定。其具體形式為：
    
    其中，e(t)=w(t)-y(t)為誤差信號(hào)，w(t)為參考信號(hào)，kc、Ti、Td分別為比例增益、積分時(shí)問(wèn)和微分時(shí)間，Ts為采樣時(shí)間。對(duì)上式進(jìn)行展開整理可得如下形式：

1．2 SGPC算法
    按照GPC的一般理論，由模型(1)和Diophantine方程，得到t時(shí)刻對(duì)未來(lái)t+k+i(i=0，1，L，P-1)時(shí)刻系統(tǒng)輸出的最優(yōu)預(yù)測(cè)：

    為最優(yōu)預(yù)測(cè)中的自由響應(yīng)部分，F(xiàn)k+i(z-1)和Gk+i(z-1)是由Diophantine方程確定的z-1的多項(xiàng)式，是對(duì)象階躍響應(yīng)的第l項(xiàng)系數(shù)，可以寫成矩陣形式Y(jié)=Y1+G·△U，則實(shí)際的輸出為Y＝Y(jié)＋E，E為誤差向量。

    GPC一般性能指標(biāo)為

   
    其中△U1=(△ut△ut+1…△ut+m-1)，m為控制步長(zhǎng)，λ為控制增量的權(quán)重。
    由上述各式，根據(jù)傳統(tǒng)的GPC算法，令J對(duì)△U1的偏導(dǎo)數(shù)為0，可以得到一個(gè)控制量序列[6，9]，為簡(jiǎn)化計(jì)算，Diophantine方程一般用遞推算法求解，但仍然不能避免矩陣求逆，計(jì)算量大，且不能保證矩陣可逆，計(jì)算中還會(huì)出現(xiàn)數(shù)值病態(tài)問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用中存在著較大的安全隱患。
    為避免傳統(tǒng)GPC中的矩陣求逆問(wèn)題，在算法中引入階梯式策略[6]。令

    由Diophantine方程可知F(1)=Q，因此式(13)亦可表示為式(5)的形式，此時(shí)

1.3 整定結(jié)果

    由式（4）與式（14）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們可以比較得到PID控制器各參數(shù)（其中Ts為采樣周期）如下：

2 整定算法的分析

2.1  參數(shù)調(diào)節(jié)的問(wèn)題

本文通過(guò)引入階梯因子，避免了參數(shù)整定過(guò)程中矩陣求逆，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。同時(shí)，在實(shí)際系統(tǒng)中，由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)性能的限制，若控制量變化頻率高，不僅執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)作跟不上，起不到作用，而且會(huì)增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損。而階梯式策略假定控制增量服從一個(gè)等比序列，這相當(dāng)于給控制增量加了一個(gè)較強(qiáng)的限制。另外，由于引進(jìn)階梯因子后，加權(quán)因子λ性能的影響減小，而且其對(duì)于控制量的抵制作用也變得比較復(fù)雜，因此我們主要可以通過(guò)β來(lái)調(diào)節(jié)對(duì)應(yīng)PID控制器的魯棒性與快速性。

2.2 整定誤差的Smith補(bǔ)償

    在前述的算法推導(dǎo)中，可以發(fā)現(xiàn)，為了建立I-PD與SGPC之間的相互聯(lián)系，對(duì)多項(xiàng)式X（z-1）進(jìn)行了靜態(tài)處理，由式（12）與 式（13）可以看出，這樣的處理，相當(dāng)于認(rèn)為過(guò)去k+nb-1步的輸入變化量都相等，且等于當(dāng)前時(shí)刻的輸入變化量，即△ut-knb+1=△ut-k-nb+2=…=△ut，而實(shí)際運(yùn)行中，在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)階段，這種關(guān)系顯然總是不成立的。這種近似處理，在系統(tǒng)無(wú)延時(shí)或小延時(shí)，即k取值很小時(shí)，影響可以忽略，但隨著時(shí)延步數(shù)的加大，這種處理對(duì)系統(tǒng)魯棒性地影響必將逐漸加劇，所以需要對(duì)具有大延時(shí)的系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償。因此，本文在系統(tǒng)中引入Smith預(yù)估器，以消除系統(tǒng)的時(shí)延影響，改善大延時(shí)系統(tǒng)的控制效果。

    由于常規(guī)Smith預(yù)估器在模型失配時(shí)存在低魯棒性問(wèn)題，因此在應(yīng)用中可采用文獻(xiàn)[8]中的自適應(yīng)方案，即首先通過(guò)單變量尋優(yōu)方法估計(jì)實(shí)際過(guò)程的純滯后，然后再用帶遺忘因子的最小二乘法辨識(shí)過(guò)程模型的其他參數(shù)，以在線修正模型。這樣系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)可以設(shè)計(jì)成圖1所示的形式。從圖中可以看出，若系統(tǒng)無(wú)延時(shí)，系統(tǒng)等同于簡(jiǎn)單的預(yù)測(cè)PID控制回路，而當(dāng)系統(tǒng)有時(shí)延時(shí)，延時(shí)對(duì)系統(tǒng)的影響即可由smith預(yù)估器消除，而預(yù)測(cè)PID參數(shù)則僅需根據(jù)無(wú)時(shí)延模型Gm(s)來(lái)整定，這樣就可以避免時(shí)延帶來(lái)的參數(shù)整定誤差。

3 仿真及分析
    為仿真需要，考慮以下單變量模型：

   
P=10，m=5，λ=1，B與k的值按仿真需要選取。

    圖2所示為K=7，β分別取0．75、0．95、1．05與1．15時(shí)，PID控制系統(tǒng)(無(wú)Smith補(bǔ)償)的響應(yīng)輸出曲線，從圖中可見，基于SGPC整定的PID控制器的動(dòng)態(tài)性能可以很容易地通過(guò)選擇不同的B值來(lái)調(diào)節(jié)，以獲取合適的控制器參數(shù)，隨著B取值的增加，系統(tǒng)的超調(diào)越小，響應(yīng)速度則越慢，充分保持了SGPC控制的這一特點(diǎn)。
    圖3中，在110s處設(shè)定值發(fā)生幅值為20％、寬度為10s的脈沖擾動(dòng)，以及在200s處，對(duì)象模型躍變?yōu)锳1(z-1)=1-0．99z-1+0．25z-2，以及B1(z-1)=0．57+O．31z-1。從圖中結(jié)果的對(duì)比可以看出，預(yù)測(cè)PID(β=0．95)比常規(guī)PID(Z-N法整定)控制器具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，并且在出現(xiàn)外部擾動(dòng)以及對(duì)象內(nèi)部特性發(fā)生變化時(shí)體現(xiàn)出了更強(qiáng)的抗干擾性與魯棒性。

    圖4則是在其他參數(shù)保持不變(β=1．35)，時(shí)延步數(shù)分別取值為5、20、40與110時(shí)，系統(tǒng)(無(wú)Smith補(bǔ)償)的響應(yīng)特性曲線，可以發(fā)現(xiàn)，隨著時(shí)延的增加，系統(tǒng)的超調(diào)量及響應(yīng)時(shí)間都有所增加，動(dòng)態(tài)性能逐漸變差。由前文的分析可知，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能可以通過(guò)改變?chǔ)碌拇笮?lái)調(diào)節(jié)，另外在大時(shí)延系統(tǒng)中也可以通過(guò)引入Smith預(yù)估器來(lái)補(bǔ)償時(shí)延，這里以k=110為例，對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5所示(800s處模型躍變?yōu)锳1(z-1)，B1(z-1)以及時(shí)延k變?yōu)?00)。很顯然，增加B的值，雖然可以很好地改善系統(tǒng)的超調(diào)量，但卻無(wú)法兼顧系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，這對(duì)于那些對(duì)系統(tǒng)超調(diào)及響應(yīng)時(shí)間都有要求的對(duì)象來(lái)說(shuō)是不可取的，而加入Smith預(yù)估補(bǔ)償?shù)姆椒?，則可以消除延時(shí)的影響，使大時(shí)延系統(tǒng)的超調(diào)量及響應(yīng)速度都得到大大改善，并且很好地保持了系統(tǒng)的魯棒性。

4 結(jié)論
    文中討論了基于SGPC的PID參數(shù)整定問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，此方法較常規(guī)PID具有更好的控制性能，而且自適應(yīng)Smith預(yù)估器的引入可以克服大時(shí)延系統(tǒng)的整定誤差，并且充分保持了系統(tǒng)的魯棒性。本研究為工業(yè)過(guò)程控制中的大滯后、時(shí)變等復(fù)雜系統(tǒng)的控制提供了一種良好的選用方案。