單級倒立擺控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性算法設(shè)計

0 引言
    倒立擺是日常生活中許多重心在上、支點在下的控制問題的抽象模型，本身是一種自然不穩(wěn)定體，它在控制過程中能有效地反映控制中許多抽象而關(guān)鍵的問題，如系統(tǒng)的非線性、可控性、魯棒性等問題。對倒立擺系統(tǒng)的控制就是使小車以及擺桿盡快地達到預(yù)期的平衡位置，而且還要使它們不會有太強的振蕩幅度、速度以及角速度，當?shù)沽[系統(tǒng)達到期望位置后，系統(tǒng)能克服一定范圍的擾動而保持平衡。作為一種控制裝置，它具有形象直觀、結(jié)構(gòu)簡單、便于模擬實現(xiàn)多種不同控制方法的特點，作為一個被控對象它是一個高階次、非線性、多變量、強耦合、不穩(wěn)定的快速系統(tǒng)，只有采取行之有效的方法才能使它的穩(wěn)定效果明了，因此對倒立擺的研究也成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。

1 一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型
    對于倒立擺系統(tǒng)來說，如果忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成沿著光滑導軌運動的小車和通過軸承連接的勻質(zhì)擺桿組成，如圖1所示。其中，小車的質(zhì)量M=1．32 kg，擺桿質(zhì)量m=0．07 kg，擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)動軸心距離l=0．2 m，擺桿與垂直向下方向的夾角為θ，小車滑動摩擦系數(shù)，fc=0．1。

    倒立擺控制系統(tǒng)數(shù)學模型的建立方法一般有利用牛頓力學的分析方法和分析力學中的拉格朗日方程建模兩種。本文采用的是拉格朗日方程建模。
    一級倒立擺系統(tǒng)的拉格朗日方程應(yīng)為：
   
    式中：L是拉格朗日算子；V是系統(tǒng)動能；G是系統(tǒng)勢能。
   
    式中：D是系統(tǒng)耗散能；fi為系統(tǒng)在第i個廣義坐標上的外力。
    一級倒立擺系統(tǒng)的總動能為：
 
     一級倒立擺系統(tǒng)有4個狀態(tài)變量，分別是，根據(jù)式(7)寫出系統(tǒng)狀態(tài)方程，并在平衡點處進行線性化處理，得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下：
   

2 倒立擺性能分析
    系統(tǒng)的能控性是控制器設(shè)計的前提，所以在設(shè)計前對系統(tǒng)進行能控性分析，根據(jù)能控性矩陣T0=[B，AB，A2B，A3B]，利用Matlab中的rank命令，可以得出rank(T0)=4。由此可知，系統(tǒng)是完全可控的，因此可以對系統(tǒng)進行控制器的設(shè)計，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

3 LQR控制器的設(shè)計
3．1 LQR控制器原理
    線性二次型調(diào)節(jié)器的控制對象是線性系統(tǒng)，這個線性系統(tǒng)必須是狀態(tài)空間的形式，即：，Y=Cx+Du。通過確定最佳控制量U*=R-1BTPX=-KX的矩陣K，使性能指標的值極小。其中，加權(quán)矩陣Q和R是用來平衡狀態(tài)變量和輸入變量的權(quán)重；P是Riccati方程的解。這時求解Riccati代數(shù)方程：
   
    就可獲得P值以及最優(yōu)反饋增益矩陣K值：
   
    LQR用于單級擺的原理圖如圖2所示。

3．2 加權(quán)矩陣Q和R的選擇
    在選取Q和R時，主要從以下幾方面考慮：
    (1)Q是正定或半正定矩陣，R是正定矩陣。
    (2)Q陣中對角線上的元素與狀態(tài)變量一一對應(yīng)，數(shù)值越大，則表示該狀態(tài)變量對系統(tǒng)的影響越顯著。
    (3)加權(quán)矩陣R不要過小，否則會導致控制量的增大?？刂屏刻髸^系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)的能力，R陣也不要太大，否則控制作用太小會影響控制性能。
    綜合以上考慮，取Q=diag([100，100，100，100])，R=1，利用Matlab提供的LQR函數(shù)，可得控制器的增益矩陣：
    K=[-10．000 0 -24．140 8 250．036 0 158．553 3]
3．3 利用遺傳算法優(yōu)化Q陣
    遺傳算法是一種基于生物界中的自然選擇原理和自然遺傳機制的隨機搜索算法，它模擬了生物界中的生命進化機制，并用在人工系統(tǒng)中實現(xiàn)特定目標的優(yōu)化。
    采用遺傳算法優(yōu)化加權(quán)陣Q的具體步驟如下：
    (1)選擇編碼策略，把參數(shù)轉(zhuǎn)換成染色體結(jié)構(gòu)空間。
    (2)確定解碼方法。
    (3)確定優(yōu)化目標函數(shù)的類型及數(shù)學描述形式，在LQR最優(yōu)控制中取目標函數(shù)J，J=trace(P)。
    (4)設(shè)計遺傳算子。
    (5)確定遺傳策略。設(shè)群體大小為80，最大迭代次數(shù)為200，交叉概率選為0．9，變異概率選為0．01，并隨機產(chǎn)生初始群體。
    (6)計算群體中的個體或染色體解碼后的適應(yīng)值。在本設(shè)計中將適應(yīng)值取為目標函數(shù)值的倒數(shù)，即f=1／J。
    (7)進行遺傳算法搜索過程，即采用隨機采樣的方法選擇個體，通過交叉和變異產(chǎn)生新個體，再計算新個體的目標函數(shù)值J’。
    (8)判斷群體性能是否滿足指標或者是否完成迭代次數(shù)，若不滿足則重復步驟(7)。
    通過上述算法即可確定使目標函數(shù)值最小加權(quán)矩陣Q中待優(yōu)化元素的值，從而確定反饋控制規(guī)律的向量K。

4 仿真結(jié)果及分析
    取Q=diag([100，100，100，100])，R=1時，得到的一級倒立擺仿真波形如圖3所示。由圖可見，小車經(jīng)過5．2 s達到平衡，而擺角經(jīng)過6．5 s達到平衡。對Q陣優(yōu)化后系統(tǒng)響應(yīng)超調(diào)量減少，響應(yīng)速度加快，調(diào)節(jié)時間減少，系統(tǒng)的靜態(tài)特性和動態(tài)特性都得到改善，如圖4所示。

5 結(jié)語
    本文利用拉格朗日方程建立了直線一級倒立擺控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，在此基礎(chǔ)上分析了該系統(tǒng)的性能，并利用LQR控制器進行控制。結(jié)果表明，LQR控制器對該系統(tǒng)具有良好的控制作用。