基于FPGA的FFT算法優(yōu)化及其在磁共振譜儀中的應(yīng)用

摘要：提出了一種基于FPGA的依據(jù)核磁共振譜儀雙通道頻譜圖對其信號增益和相位差不平衡進行調(diào)節(jié)的設(shè)計方案，詳細闡述了FFT算法在FPGA中的設(shè)計與實現(xiàn)方法。該模塊中的FFT處理器通過多個64點并行FFT模塊復用實現(xiàn)，復數(shù)乘法全部采用移位相加來完成，大大降低了功耗，可移植性很強；并通過優(yōu)化措施有效地降低了由于有限字長效應(yīng)引入的噪聲。結(jié)果表明，該設(shè)計大大提高了譜儀信號檢測的準確性與使用的方便性。

關(guān)鍵詞：核磁共振譜儀；頻譜分析；FPGA；FFT處理器

0 引言

核磁共振(Nuclear Magnetic Resonance，NMR)自從1946年首次觀測以來已經(jīng)成功地應(yīng)用到物理、化學、生物和醫(yī)學等諸多領(lǐng)域。與此同時，核磁共振儀器技術(shù)也得到了不斷的發(fā)展，其中核磁共振譜儀被廣泛用于化合物的結(jié)構(gòu)測定，定量分析和動物學研究等方面。

核磁共振譜儀通過短時間的高功率射頻脈沖激發(fā)原子核體系使之偏離平衡狀態(tài)，然后檢測該體系在恢復平衡過程中產(chǎn)生的自由感應(yīng)衰減信號，經(jīng)過FFT處理后得到相關(guān)的譜信息。目前NMR譜儀普遍使用的檢測信號的方法是正交檢波技術(shù)，它需要兩路相檢波來區(qū)分正負頻率，然而當兩通道的增益與相位存在微小的不平衡時，譜圖上就會產(chǎn)生鏡像峰，解決的有效方法是采用相位循環(huán)。但對于長期使用、老化或故障造成增益或相位差與理想值偏離較大的儀器，即使采用相位循環(huán)也不足以解決問題，這時需要通過手動調(diào)節(jié)，然而調(diào)節(jié)到什么程度往往只能憑借經(jīng)驗。

本文提出了一種依據(jù)雙通道的頻譜圖給出調(diào)節(jié)依據(jù)的方法。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示，通過ADC模塊對雙通道進行采樣，要在頻域?qū)π盘栠M行分析，需要得到信號的頻域信息，因此在采樣之后通過FPGA對信號做FFT變換，然后將得到的頻域信息存入DDR2RAM，以便主機通過PCIE接口將數(shù)據(jù)讀入主機內(nèi)存并進行顯示。在調(diào)節(jié)的時候，可根據(jù)頻譜圖顯示的譜峰把I通道的增益和相位適當?shù)恼{(diào)小或者對應(yīng)的調(diào)節(jié)Q通道(如圖2所示)，直到譜峰消失。

1 正交檢波原理

如圖2所示，正交檢波系統(tǒng)由兩路檢波通道(I通道和Q通道)組成，譜儀接收到的核磁共振信號V(t)，首先經(jīng)過混頻器或模擬乘法器與參考信號相乘，對于I，Q通道來說參考信號是相位相差90°的等幅射頻信號，分別將兩者的乘積作為兩通道的輸出。

對于分子中只有一種質(zhì)子的簡單情況，根據(jù)Bloch方程接收到的核磁共振信號如下式：

V(t)=Acos(ω0+φ)exp(-t／T2)     (1)

I通道的參考信號為cosωt，經(jīng)過混頻器與輸入信號相乘后為：

得到的乘積為兩項：第一項為和頻分量，經(jīng)過后面的低通濾波器被濾除掉；第二項為差頻分量作為I通道的輸出。綜上所述I通道的輸出為：

對于Q通道，輸入為V(t)，參考信號為sinωt，通過類似方法可以計算出Q通道的輸出為：

然后經(jīng)過模／數(shù)轉(zhuǎn)換分別將I通道和Q通道的數(shù)據(jù)作為復數(shù)的實部和虛部存儲下來。

2 FFT算法實現(xiàn)

FFT算法在FPGA上實現(xiàn)的過程中，信號的值、系統(tǒng)的系數(shù)和運算中的結(jié)果都存儲在有限字長的存儲單元中，從而導致了設(shè)計時的無限精度轉(zhuǎn)變成實現(xiàn)時的有限精度，必將產(chǎn)生相對于原設(shè)計系統(tǒng)的誤差，嚴重時會將由于雙通道不平衡產(chǎn)生的鏡像峰湮滅，從而使整個設(shè)計失去意義。

為了實現(xiàn)FFT實時運算，基于FPGA的FFT信號處理模塊是關(guān)鍵，并且要求此模塊能在頻率至少為210 MHz的系統(tǒng)時鐘下穩(wěn)定工作。同時又因為并行的FFT設(shè)計需要占用大量的資源，資源使用率過大會制約布局布線后的時序收斂。為了平衡資源與速度間的矛盾，整個設(shè)計通過64點FFT并行模塊的復用來實現(xiàn)。

2．1 有限字長效應(yīng)及其優(yōu)化措施

在FFT算法中，采用蝶形計算，如圖3所示。

對于基2時間抽選FFT算法，蝶形公式如下：

式中：N為FFT點數(shù)；Nm和P為兩個同迭代次數(shù)m有關(guān)的量；Xm-1為ADC輸出信號經(jīng)過m-2級蝶形運算得到的計算結(jié)果；旋轉(zhuǎn)因子由式(7)給出，每個蝶形包含兩個復數(shù)乘法。

由于存儲單元有限，必須對計算結(jié)果截取，進行定點化，但是同時又會引入舍入誤差en，這種現(xiàn)象即為有限字長效應(yīng)?？紤]到每個復數(shù)乘法相當于4個實數(shù)乘法，因此有限字長時復數(shù)乘法的實際乘積可以表示為：

式中e1，e2，e3，e4分別為其對應(yīng)的實數(shù)乘法的舍入誤差。因此可進一步建立如圖4所示的蝶形計算舍入誤差模型。

如果用一般的定點計算，信噪比下降，噪聲會將產(chǎn)生的鏡像峰湮滅，因此必須采取一定的措施減小由定點化產(chǎn)生的誤差?？紤]到在64點FFT并行模塊里點數(shù)是固定的，進行蝶形運算時旋轉(zhuǎn)因子是常數(shù)，因此可以根據(jù)系數(shù)的特點對定點化時的階碼做動態(tài)調(diào)整，在保證無溢出的條件下最大程度的減小噪聲。

如圖5所示，對比在Matlab中的仿真結(jié)果，在沒有采取動態(tài)調(diào)整措施前進行定點化的噪聲量級達到±1(見圖5(a))，進行動態(tài)調(diào)整后下降到10-3(見圖5(b))，可見采用動態(tài)調(diào)整進行定點化可以有效地降低由于有限字長效應(yīng)引起的噪聲。

圖6為進行動態(tài)調(diào)整后在FPGA硬件運行的仿真結(jié)果，與軟件自帶的FFT IP相比誤差很小，在輸入正弦波的時候可以明顯地觀察到尖峰，這樣的結(jié)果足以滿足NMR譜儀的信號檢測要求。

2．2 64點FFT并行模塊資源優(yōu)化

由于64點FFT模塊并行實現(xiàn)，所占用的FPGA邏輯資源太多，在一般的FPGA中難以實現(xiàn)，因此有必要對其進行優(yōu)化減少所占用的資源。該設(shè)計中N是確定的，旋轉(zhuǎn)因子都是常數(shù)，蝶形運算中的復數(shù)乘法為常系數(shù)乘法，根據(jù)這個特點，可對使用資源進行優(yōu)化。

如式(9)所示，64點FFT可分解為384個蝶形運算單元。

n=Nlog N      (9)

式中：N為FFT點數(shù)；n為所需的蝶形運算單元的個數(shù)。

式(5)和(6)各包含1個復數(shù)加法運算和1個復數(shù)乘法運算，需要2個加法器和4個乘法器實現(xiàn)。但經(jīng)過如式(10)所示的運算后的復數(shù)乘法可用三乘法器實現(xiàn)，因此綜合后的資源先比四乘法器架構(gòu)優(yōu)化了25％，

(A1+B1i)(A2+B2i)=(A1A2-B1B2)(A1B2-A2B1)i=A1(A2+B2)=B2(A1+B1)+[A1(A2+B2)-A2(A1+B1)]     (10)

旋轉(zhuǎn)因子WN的二進制表示可看作是若干項2次冪數(shù)相加組合而成的數(shù)，那么一個數(shù)與WN相乘即可通過在移位操作的基礎(chǔ)上執(zhí)行相應(yīng)的加法操作來實現(xiàn)。根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的對稱性，第5階與第6階與相乘所占用的乘法器完全可以省略。

如式(11)所示，在WN的二進制序列中，在不引入噪聲的基礎(chǔ)上把N個移位寄存器和N-1個加法器的運算用2個移位寄存器和1個減法器來實現(xiàn)。這樣不僅可以大大減少硬件資源的消耗，最大的優(yōu)點是不消耗RAM和乘法器資源，因此速度很快。

2．3 FPGA邏輯資源與性能分析

該設(shè)計中的64點并行FFT模塊通過在不同系列芯片綜合仿真后，系統(tǒng)時鐘最高可達285 MHz，完全滿足設(shè)計要求。所占用的FPGA邏輯資源和性能與Xilinx FFT IPcore比較如表1所示。

Xilinx公司的ISE集成開發(fā)環(huán)境可以提供成熟的FFT IP核，但是由于占用大量的DSP Slices，可移植性很差，但該設(shè)計中由于沒有用到DSP Slices，可移植性很強。圖7為64點并行FFT模塊的時序圖，圖中運算器的數(shù)據(jù)處理時間為1個時鐘周期，數(shù)據(jù)處理的延時Tlatency為37個時鐘周期，使得整個運算器的數(shù)據(jù)處理吞吐率高達656 Gb／s，而數(shù)據(jù)延時時間僅為0．129 μs，與Xilinx公司和Altera公司已經(jīng)成熟的FFT處理器相比時延大大減少，提高了FFT處理器實時處理性能。

3 結(jié)語

該設(shè)計通過對64點并行FFT進行改進，大大提高了信號處理的實時性，所占用的FPGA邏輯資源和有限字長效應(yīng)引起的噪聲也得到了優(yōu)化，可移植性大大增強。該設(shè)計已經(jīng)完成了硬件電路的設(shè)計與調(diào)試，結(jié)果證明通過雙通道頻譜圖對由于增益與相位不平衡產(chǎn)生的鏡像峰進行調(diào)節(jié)，可大大提高譜儀信號檢測的準確性，也使譜儀的應(yīng)用更加方便。