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[導(dǎo)讀] 一、 線性系統(tǒng)微分方程線性的證明 線性系統(tǒng)必須同時滿足齊次性與疊加性。所以,要證明線性系統(tǒng)的微分方程是否是線性的,

一、 線性系統(tǒng)微分方程線性的證明

 線性系統(tǒng)必須同時滿足齊次性與疊加性。所以,要證明線性系統(tǒng)的微分方程是否是線性的,就必須證明它是否同時滿足齊次性與疊加性。

 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式是

(2-5)

設(shè)該方程對輸入f1(t)的解是y1(t),則有

(2-6)

設(shè)該方程對輸入f2(t)的解是y2(t),則有

(2-7)

給式(2-6)等號兩端同乘以任意常數(shù)A1,給式(2-7)等號兩端同乘以任意常數(shù)A2,則有

            

            

將此兩式相加即有

            

這就是說,若 f1(t)   y1(t),         f2(t)    y2(t) 則 A1f1(t)+A2f2(t)    A1y1(t)+A2y2(t),即式(2-5)所描述的系統(tǒng)是線性的。

 

二、 系統(tǒng)微分方程的解——系統(tǒng)的全響應(yīng)

 

     求系統(tǒng)微分方程的解,實際上就是求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。系統(tǒng)微分方程的解就是系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。線性系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t),可分解為零輸入響應(yīng)yx(t)與零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的疊加,即 。下面證明此結(jié)論。

    在圖2-2中,若激勵f(t)=0,但系統(tǒng)的初始條件不等于零,此時系統(tǒng)的響應(yīng)即為零輸入響應(yīng)yx(t),如圖2-4(a)所示。根據(jù)式(2-5)可寫出此時系統(tǒng)的微分方程為: 

          (2-8)

                     

    在圖2-2中,若激勵 ,但系統(tǒng)的初始條件等于零(即為零狀態(tài)系統(tǒng)),此時系統(tǒng)的響應(yīng)即為零狀態(tài)響應(yīng)yf(t),如圖2-4(b)所示。根據(jù)式(2-5)可寫出此時系統(tǒng)的微分方程為

(2-9)

 

將式(2-8)與式(2-9)相加得

       

       

式中

       

可見 確是系統(tǒng)微分方程(2-5)的解。這個結(jié)論提供了求系統(tǒng)全響應(yīng)y(t)的途徑和方法,即先分別求出零輸入響應(yīng)yx(t)與零狀態(tài)響應(yīng)yf(t),然后再將yx(t)與yf(t)疊加,即得系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t),即 。這種方法稱為零輸入零狀態(tài)法。

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