多速率轉(zhuǎn)換信號(hào)頻譜研究

摘要 在現(xiàn)有工作的基礎(chǔ)上利用傅里葉變換的定義，推導(dǎo)了整數(shù)倍抽取和整數(shù)倍零值內(nèi)插后信號(hào)的頻譜，并結(jié)合仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了抽取和零值內(nèi)插對(duì)信號(hào)頻譜的影響，通過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)分析說(shuō)明了多速率轉(zhuǎn)換應(yīng)注意的問(wèn)題。
關(guān)鍵詞 抽?。翰逯担侯l譜：傅里葉變換

    —個(gè)實(shí)際數(shù)字系統(tǒng)往往要求能夠工作在多采樣率狀態(tài)。多采樣率轉(zhuǎn)換是指對(duì)—個(gè)已知采樣頻率的信號(hào)進(jìn)行重新抽樣，使之變?yōu)橐粋€(gè)新采樣頻率的信號(hào)，若新采樣頻率比原來(lái)的小，將此頻率轉(zhuǎn)換的過(guò)程稱作抽取，否則，稱之為內(nèi)插。多采樣率轉(zhuǎn)換是正交頻分復(fù)用(OFDM)的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，在很多數(shù)字信號(hào)處理教科書中都有介紹，但對(duì)多速率轉(zhuǎn)換引起的頻譜變化分析研究不夠透徹。文中在已有工作的基礎(chǔ)上利用傅里葉變換的定義推導(dǎo)了抽取和插值后信號(hào)的頻譜變化。

1 信號(hào)整數(shù)倍抽取
    已知連續(xù)信號(hào)為x(t)，以采樣率F1=1／T1(T1為采樣的間隔)進(jìn)行等間隔采樣得到x(n)，M倍抽取后得到信號(hào)為y(n)，則抽取后序列對(duì)應(yīng)的采樣率F2=1／T2，其中，T2=MT1，則有


    從式(5)可以看出，整數(shù)倍抽取序列的數(shù)字譜是原序列x(n)的頻譜沿頻率軸擴(kuò)展M倍且平移間隔為2π／M的M個(gè)平移樣本的迭加譜。
    如果輸入信號(hào)的頻譜>π／M，將會(huì)混疊，會(huì)給抽取信號(hào)的頻譜帶來(lái)失真，因?yàn)槌槿⌒盘?hào)的采樣速率不允許降到奈奎斯特采樣速率以下，因此在抽取前應(yīng)進(jìn)行“反混淆”濾波，該低通濾波器的截止頻率為π／M。

    令“反混疊”低通濾波器為理想濾波器
   

2 信號(hào)整數(shù)倍插值

    由式(9)可知，插值后信號(hào)頻譜是原信號(hào)頻譜的L：1壓縮。在實(shí)際的插值過(guò)程中，“插零”后還要經(jīng)過(guò)低通濾波，濾波的目的在于消除填零過(guò)程引起的“復(fù)制”。濾波采用理想的低通濾波器，其頻響為
   
    插值信號(hào)的頻譜為原信號(hào)沿頻率周壓縮L：1。

3 計(jì)算機(jī)仿真
    信號(hào)x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)，f1=15 Hz，f2=20 Hz，以采樣頻率fs=100 Hz，等間隔采樣N=256點(diǎn)，得到信號(hào)x(n)。為驗(yàn)證抽取和插值對(duì)頻譜的影響，做如下仿真。

    對(duì)x(n)進(jìn)行M=2倍抽取，得y(n)=x(2n)。

    對(duì)x(n)進(jìn)行M=2倍抽取，得z(n)=x(4n)。

    從圖1～圖3可以看出，M=2倍抽取采樣頻率為50 Hz滿足采樣頻率，抽取后頻率估計(jì)正確，M=4倍抽取采樣頻率為25 Hz，不滿足采樣定理，存在頻譜混疊現(xiàn)象，頻率估計(jì)出錯(cuò)。對(duì)比圖1和圖2可以看出，M=2倍抽取后，數(shù)字域頻率展寬為原來(lái)的2倍。
    對(duì)x(n)進(jìn)行L=4倍零值內(nèi)插，得信號(hào)。

    其經(jīng)過(guò)的理想濾波器濾波后的頻譜如圖5所示。

    對(duì)z(n)進(jìn)行L=4零值內(nèi)插，得。
    從圖4和圖5看出，信號(hào)4倍零值內(nèi)插后的頻譜出現(xiàn)3個(gè)高頻鏡像譜，經(jīng)低通濾波后數(shù)字域頻譜壓縮為原來(lái)的1／4。從圖6看出，對(duì)不滿足采樣定理的信號(hào)z(n)進(jìn)行4倍零值內(nèi)插后，仍然存在頻譜混疊。

4 結(jié)束語(yǔ)
    在整數(shù)倍抽取時(shí)，信號(hào)必須要滿足頻率采樣定理，才能使抽取后信號(hào)不發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，所得序列頻譜為原序列頻譜橫軸M倍擴(kuò)展。零值內(nèi)插序列的頻譜是原序列頻譜延拓L倍，讓其頻譜信號(hào)通過(guò)一個(gè)低通濾波器，就可以得到有用的頻率分量，其頻譜橫軸壓縮為原來(lái)的1／L。