摘要 在現(xiàn)有工作的基礎(chǔ)上利用傅里葉變換的定義，推導(dǎo)了整數(shù)倍抽取和整數(shù)倍零值內(nèi)插后信號的頻譜，并結(jié)合仿真實驗驗證了抽取和零值內(nèi)插對信號頻譜的影響，通過大量的仿真實驗分析說明了多速率轉(zhuǎn)換應(yīng)注意的問題。
關(guān)鍵詞 抽?。翰逯担侯l譜：傅里葉變換
—個實際數(shù)字系統(tǒng)往往要求能夠工作在多采樣率狀態(tài)。多采樣率轉(zhuǎn)換是指對—個已知采樣頻率的信號進(jìn)行重新抽樣，使之變?yōu)橐粋€新采樣頻率的信號，若新采樣頻率比原來的小，將此頻率轉(zhuǎn)換的過程稱作抽取，否則，稱之為內(nèi)插。多采樣率轉(zhuǎn)換是正交頻分復(fù)用(OFDM)的一項關(guān)鍵技術(shù)，在很多數(shù)字信號處理教科書中都有介紹，但對多速率轉(zhuǎn)換引起的頻譜變化分析研究不夠透徹。文中在已有工作的基礎(chǔ)上利用傅里葉變換的定義推導(dǎo)了抽取和插值后信號的頻譜變化。
1 信號整數(shù)倍抽取
已知連續(xù)信號為x(t)，以采樣率F1=1／T1(T1為采樣的間隔)進(jìn)行等間隔采樣得到x(n)，M倍抽取后得到信號為y(n)，則抽取后序列對應(yīng)的采樣率F2=1／T2，其中，T2=MT1，則有
從式(5)可以看出，整數(shù)倍抽取序列的數(shù)字譜是原序列x(n)的頻譜沿頻率軸擴展M倍且平移間隔為2π／M的M個平移樣本的迭加譜。
如果輸入信號的頻譜>π／M，將會混疊，會給抽取信號的頻譜帶來失真，因為抽取信號的采樣速率不允許降到奈奎斯特采樣速率以下，因此在抽取前應(yīng)進(jìn)行“反混淆”濾波，該低通濾波器的截止頻率為π／M。
令“反混疊”低通濾波器為理想濾波器
2 信號整數(shù)倍插值
由式(9)可知，插值后信號頻譜是原信號頻譜的L：1壓縮。在實際的插值過程中，“插零”后還要經(jīng)過低通濾波，濾波的目的在于消除填零過程引起的“復(fù)制”。濾波采用理想的低通濾波器，其頻響為
插值信號的頻譜為原信號沿頻率周壓縮L：1。
3 計算機仿真
信號x(t)=cos(2πf1t)+cos(2πf2t)，f1=15 Hz，f2=20 Hz，以采樣頻率fs=100 Hz，等間隔采樣N=256點，得到信號x(n)。為驗證抽取和插值對頻譜的影響，做如下仿真。
對x(n)進(jìn)行M=2倍抽取，得y(n)=x(2n)。
對x(n)進(jìn)行M=2倍抽取，得z(n)=x(4n)。
從圖1～圖3可以看出，M=2倍抽取采樣頻率為50 Hz滿足采樣頻率，抽取后頻率估計正確，M=4倍抽取采樣頻率為25 Hz，不滿足采樣定理，存在頻譜混疊現(xiàn)象，頻率估計出錯。對比圖1和圖2可以看出，M=2倍抽取后，數(shù)字域頻率展寬為原來的2倍。
對x(n)進(jìn)行L=4倍零值內(nèi)插，得信號。
其經(jīng)過的理想濾波器濾波后的頻譜如圖5所示。
對z(n)進(jìn)行L=4零值內(nèi)插，得。
從圖4和圖5看出，信號4倍零值內(nèi)插后的頻譜出現(xiàn)3個高頻鏡像譜，經(jīng)低通濾波后數(shù)字域頻譜壓縮為原來的1／4。從圖6看出，對不滿足采樣定理的信號z(n)進(jìn)行4倍零值內(nèi)插后，仍然存在頻譜混疊。
4 結(jié)束語
在整數(shù)倍抽取時，信號必須要滿足頻率采樣定理，才能使抽取后信號不發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，所得序列頻譜為原序列頻譜橫軸M倍擴展。零值內(nèi)插序列的頻譜是原序列頻譜延拓L倍，讓其頻譜信號通過一個低通濾波器，就可以得到有用的頻率分量，其頻譜橫軸壓縮為原來的1／L。
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