一種利用超聲散射測(cè)量材料內(nèi)部微裂紋分形參數(shù)的新方法

1 引言

        材料中實(shí)際裂紋的形狀參數(shù)和空間分布信息在缺陷無(wú)損評(píng)估中變得越來(lái)起重要。它們表明了裂紋的折皺程度，擴(kuò)展路徑，在一定程度上還反映了裂紋的成因。根據(jù)裂紋的這些信息，可以在線評(píng)估材料的工作狀態(tài)，預(yù)測(cè)材料的工作壽命，甚至可以分析導(dǎo)致裂紋產(chǎn)生的物理和化學(xué)原因。所以，長(zhǎng)期以來(lái)人們一直在探索描述真實(shí)裂紋的方法。分形可以表示自然界中的不規(guī)則性，而實(shí)際的裂紋有著非常復(fù)雜和不規(guī)則的形狀，且存在統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性，科研工作者已經(jīng)成功地用分形的方法來(lái)描述真實(shí)的裂紋[1]-[6]，但是目前測(cè)量裂紋的分形參數(shù)非常費(fèi)時(shí)。我們提出了一種利用超聲波來(lái)測(cè)量實(shí)際裂紋分形參數(shù)的方法，并在論文中給出了這種方法測(cè)量的理論模型和數(shù)值仿真結(jié)果。

        應(yīng)用形狀參數(shù)來(lái)描述真實(shí)裂紋的方法可以追溯到六十年前，當(dāng)時(shí)是用來(lái)描述材料斷口的形狀。Womersley 和Hopkins 首次用隨機(jī)函數(shù)來(lái)刻畫(huà)粗糙的斷口形狀，這種方法已經(jīng)有成功的應(yīng)用。后來(lái)，Mandelbrot等人發(fā)現(xiàn)這種斷裂面即使很不平整也可用分形表面來(lái)描述。在他們研究的基礎(chǔ)上，后來(lái)有許多科研工作者在相關(guān)的領(lǐng)域進(jìn)行過(guò)大量的研究。從國(guó)內(nèi)外收集的文獻(xiàn)可以看出，這些研究工作主要包括以下三個(gè)方面[7]-[12]：一是裂紋的分形幾何參數(shù)的測(cè)量方法；二是利用測(cè)得的分形量化參數(shù)進(jìn)行裂紋成因的探索；三是根據(jù)測(cè)得的裂紋分形幾何參數(shù)預(yù)測(cè)裂紋的擴(kuò)展路徑。綜合分析三大研究領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)，如何方便快捷地測(cè)量裂紋的分形幾何參數(shù)是所有研究的關(guān)鍵。傳統(tǒng)的測(cè)量真實(shí)裂紋的分形參數(shù)的方法主要有小島法、斷面法、電磁散射法和光散射法，所有這些方法都有一個(gè)缺點(diǎn)就是既不方便又耗時(shí)，因?yàn)檫@些方法在測(cè)量時(shí)，都需要將裂紋沿裂紋面剖開(kāi)，以便輪廓儀可以直接接觸到斷裂面或是電磁波與光可以直接照射在裂紋上。近幾年，有學(xué)者提出了用聲波的方法來(lái)測(cè)量裂紋的分形幾何參數(shù)的方法，利用聲波法可有效地克服以上方法的不足，因?yàn)槁暡梢杂行У卮┩覆牧蟽?nèi)部并進(jìn)行測(cè)量，而不需要對(duì)裂紋進(jìn)行剖切。

　　Debashree Dutta[13]等人在1988年率先研究了分形裂紋的聲學(xué)特性，他們建立了裂紋的分形參數(shù)與其聲散射場(chǎng)的關(guān)系，根據(jù)其研究成果，人們可以通過(guò)聲波來(lái)測(cè)量裂紋的分形參數(shù)（Hurst 指數(shù)）。Debashree Dutta等人只從理論上推導(dǎo)了裂紋表面的不規(guī)則性（這種不規(guī)則性可用分形參數(shù)—Hurst 指數(shù)來(lái)度量）是如何影響其上的聲波的散射強(qiáng)度的，在他們的研究中，聲波采用準(zhǔn)正弦脈沖聲波。

        在本研究中，利用超聲波代替普通聲波，因?yàn)槌暡ň哂懈叩念l率，高頻特性可以用來(lái)提高檢測(cè)的靈敏度。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了裂紋分形參數(shù)（Hurst 指數(shù)）是如何影響超聲波的時(shí)域回波信號(hào)的理論模型。與Debashree Dutta等人的方法相比，本研究中用了較少的假設(shè)，建立的模型更加簡(jiǎn)便，檢測(cè)靈敏度更高，并且對(duì)理論模型進(jìn)行了數(shù)值仿真。

        論文第二部分，用具有平穩(wěn)特性且服從高斯分布的自相似隨機(jī)函數(shù)的組合來(lái)模擬微裂紋。因?yàn)槲⒘鸭y具有平穩(wěn)自相似特性，可以用一維分形布朗運(yùn)動(dòng)（FBM）模型來(lái)描述。這一模型使我們可以用分形參數(shù)， Hurst指數(shù)來(lái)表征微裂紋。

        論文第三部分，用基爾霍夫近似方法研究了微裂紋的超聲散射聲場(chǎng)，最后推導(dǎo)出了微裂紋的超聲散射回波與Hurst 指數(shù)的關(guān)系式。

        論文第四部分，對(duì)在不同的材料內(nèi)部，不同Hurst指數(shù)的微裂紋，不同測(cè)量距離時(shí)的裂紋超聲散射聲場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值模擬。

2 微裂紋分形模型

        Womersley和Hopkins首先提出用零均值且服從高斯分布的隨機(jī)函數(shù)來(lái)模擬裂紋。從這一理論出發(fā)，裂紋可以用帶隨機(jī)變量的復(fù)指數(shù)函數(shù)形式來(lái)表示： 
                                      (1)
式中，Cκ是模小于1的復(fù)隨機(jī)變量。為了研究的方便把e（x）歸一化，同時(shí)為了保證（1）式收斂，取=1 。

        Mandelbrot在1982年引入分形布朗運(yùn)動(dòng)（FBM）的概念，作為隨機(jī)函數(shù)的推廣。從這一理論出發(fā)，一維微裂紋可以用下面的函數(shù)來(lái)表示： 
                      (2)
式中，Cκ是隨機(jī)變量，服從零均值、均方差為1的高斯分布。
λ是大于1的常量。
Ακ是在區(qū)間[0,2π]上服從均勻分布的隨機(jī)變量。
H是 Hurst 指數(shù)。

       Mandelbrot指出，F(xiàn)BM是增量為零均值平穩(wěn)實(shí)過(guò)程。f（x,H）的統(tǒng)計(jì)特性與原點(diǎn)無(wú)關(guān)，F(xiàn)BM具有統(tǒng)計(jì)自相關(guān)性和長(zhǎng)時(shí)相關(guān)性。對(duì)于有限維的FBM，它的聯(lián)合概率分布具有比例不變性。

        在本研究中，采用FBM作為微裂紋的模型。

3 微裂紋的超聲散射聲場(chǎng)模型

        超聲傳感器S放在距裂紋中心線高度為R的上方（圖-1）。在超聲測(cè)量時(shí)，超聲傳感器向裂紋發(fā)射超聲波，設(shè)發(fā)射的超聲波是頻率為其中心頻率的純頻波，具有以下的形式：             (3)
式中，Α0 是信號(hào)幅值；ω0 是超聲波中心頻率。

圖-1 分形微裂紋幾何示意圖

        事實(shí)上，測(cè)試中用到的超聲波往往是脈沖波，所以，在研究中采用連續(xù)波被高斯函數(shù)調(diào)制的形式，有以下的表達(dá)式： 
                                       (4)
式中，g(t)是零均值的高斯函數(shù)，可表示如下： 
                                    (5)
        實(shí)測(cè)中，把超聲傳感器S當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)源，向外發(fā)射球面脈沖波。當(dāng)點(diǎn)源S與裂紋間的距離r 遠(yuǎn)大于超聲傳感器的晶片直徑d (r>>d)時(shí)，裂紋上一點(diǎn)在時(shí)刻 t 接收到的超聲波為： 
                             (6)
式中， c 超聲波的傳播速度。

        當(dāng)超聲波到達(dá)裂紋表面時(shí)，在裂紋表面產(chǎn)生散射。目前還沒(méi)有確切地算法可用來(lái)計(jì)算超聲波的散射回波聲場(chǎng)。在研究中，我們把它當(dāng)作二次點(diǎn)源，向外輻射球面波。我們將利用基爾霍夫近似來(lái)計(jì)算由裂紋散射的超聲回波。此時(shí)，超聲回波可看作由裂紋表面上的二次點(diǎn)源輻射的球面波的合成，并假設(shè)超出超聲波照射范圍的裂紋上的點(diǎn)沒(méi)有聲波的散射，散射回波是關(guān)于超聲傳感器所在的位置的中心線對(duì)稱的，在計(jì)算超聲回波時(shí)，忽略裂紋上的多次散射回波，不計(jì)裂紋上沒(méi)有被直接照射的點(diǎn)的超聲回波，并且認(rèn)為裂紋都是近軸分布的，我們可以得到下面的超聲回波的表達(dá)式： 
             (7)
式中， 是超聲傳感器與裂紋上點(diǎn)的距離。
是超聲傳感器到裂紋中心線的垂直距離。
是超聲傳感器中心線到超聲最大照射范圍的單邊長(zhǎng)度。
       
        從圖-1所示的幾何關(guān)系可以得到： 
                          (8)
        用方程式(8)中的 替代超聲回波計(jì)算式中的 ，可以將超聲回波化為： 
                            (9)
        特別地，我們可以取某一時(shí)刻 的超聲回波作為研究對(duì)象，時(shí)刻 可以選為 ，即超聲波從傳感器中心線返回時(shí)刻。則在這一時(shí)刻的超聲回波可以表示為： 
                                (10)
式中,

       
        方程 (10) 就是關(guān)于超聲散射回波與微裂紋分形參數(shù)（ Hurst指數(shù)）的關(guān)系模型。當(dāng)方程中除Hurst指數(shù)外的其它參數(shù)給定時(shí)，我們就可以根據(jù)試驗(yàn)測(cè)得的時(shí)刻τ的裂紋散射回波D(τ)來(lái)確定裂紋的分形參數(shù)H。 我們可以利用這個(gè)關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)微裂紋分形參數(shù)的測(cè)量。

        考慮到方程(10)中積分項(xiàng)不能直接計(jì)算，因?yàn)閒(x,H) 沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，所以我們采用數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)近似計(jì)算這一積分，在這種情況下，方程(10)可化為： 
                   （11）
如果步長(zhǎng) Δx 選的足夠小，計(jì)算結(jié)果可以保證精度的要求。

4 模型數(shù)值仿真與分析

        作為模型的實(shí)際應(yīng)用，我們分別計(jì)算了模型在不同分形參數(shù)、不同的測(cè)量距離和不同材料上的超聲散射回波。

        試驗(yàn)中，采用了三種不同的材料，分別是鋁、鋼和和玻璃，超聲波在三種材料中的聲速分別為6300m/s，5900m/s 和5570m/s。超聲波的中心頻率為5MHz，超聲傳感器的晶片直徑為10mm。

        圖-2是不同分形參數(shù)的微裂紋在時(shí)刻 時(shí)的超聲散射回波，圖中分別給出了三種材料對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果。從圖中可以看出，不同分形參數(shù)的裂紋對(duì)應(yīng)不同的超聲散射回波，表明在時(shí)刻 的超聲散射回波可以表征裂紋的不規(guī)則程度和復(fù)雜性，并且超聲散射回波與裂紋的 Hurst指數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，所以，我們可以用這種方法來(lái)測(cè)量微裂紋的分形參數(shù)。

圖-2 不同分形參數(shù)微裂紋在時(shí)刻 的超聲散射回波

        圖-3是在不同的測(cè)量距離時(shí)，三種不同材料內(nèi)部微裂紋的超聲散射回波。圖中分別給出了Hurst指數(shù)為0.2和0.8兩種情況下，三種不同材料的超聲散射回波的仿真結(jié)果。從圖中可以看出，當(dāng)測(cè)量距離增加時(shí)，超聲回波快速下降，這與實(shí)際情況是相符的。同時(shí)可以看出，當(dāng)測(cè)量距離一定時(shí)，超聲回波與Hurst指數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。仿真結(jié)果表明，我們所建立的測(cè)量模型是正確可行的。所以，可以采用這種方法，在不需要對(duì)裂紋進(jìn)行剖切的情況下，對(duì)不同材料內(nèi)部的微裂紋的分形參數(shù)進(jìn)行測(cè)量，該方法與傳統(tǒng)的測(cè)量方法相比，更加方便。

                    
              圖-3 不同測(cè)量距離時(shí)材料內(nèi)部微裂紋的超聲散射回波

5 結(jié)論

        論文提出了一種利用超聲波對(duì)材料內(nèi)部微裂紋分形參數(shù)（Hurst指數(shù)）進(jìn)行測(cè)量的新方法。論文首先采用一維分形布朗運(yùn)動(dòng)（FBM）來(lái)描述材料內(nèi)部的微裂紋，然后，建立了微裂紋超聲散射回波的數(shù)學(xué)模型，該模型建立起了時(shí)刻 的超聲回波信號(hào)與裂紋分形參數(shù)之間的關(guān)系，從理論上說(shuō)明了這種測(cè)量方法的可行性。最后，對(duì)不同分形參數(shù)、不同材料和不同測(cè)量距離的情況分別進(jìn)行了數(shù)值仿真，試驗(yàn)結(jié)果也表明了這種方法的可行性。與傳統(tǒng)的裂紋分形參數(shù)測(cè)量方法相比，該方法具有高效和省時(shí)的特點(diǎn)。