基于MATLAB的數(shù)字基帶傳輸?shù)?FIR濾波器的設(shè)計(jì)

O 引言
    目前，數(shù)字基帶傳輸已廣泛地應(yīng)用于利用對(duì)稱電纜構(gòu)成的近程數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)之中。隨著數(shù)字通信技術(shù)的發(fā)展，基帶傳輸方式不僅可以用于低速數(shù)據(jù)傳輸，而且也可以用于高速數(shù)據(jù)傳輸。然而數(shù)字基帶傳輸也同樣不可避免地要產(chǎn)生由碼間串?dāng)_造成的誤碼現(xiàn)象。為了消除碼間串?dāng)_，在時(shí)域上，基帶傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)波形h(t)要在本碼元的抽樣時(shí)刻上有最大值，并在其它碼元的抽樣時(shí)刻上均為0，也就是基帶傳輸系統(tǒng)在頻域上要滿足奈奎斯特第一準(zhǔn)則。滿足奈奎斯特第一準(zhǔn)則的H(w)有很多種，首先是理想低通型，理想低通傳輸特性雖然可滿足基帶系統(tǒng)的極限傳輸速率和極限頻帶利用率，但這種特性在物理上很難實(shí)現(xiàn)，并且理論特性沖激響應(yīng)的尾巴衰減振蕩幅度較大，抽樣時(shí)刻稍有偏差就會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重地碼間串?dāng)_。為了解決理想低通特性存在的問(wèn)題，可采用升余弦滾降特性的系統(tǒng)，以使理想低通濾波器的邊緣緩慢下降，并使振幅特性在滾降段中心頻率處呈奇對(duì)稱，從而保證滿足奈奎斯特第一準(zhǔn)則。這種系統(tǒng)可減小碼間串?dāng)_和位定時(shí)誤差。
    由于FIR數(shù)字濾波器可實(shí)現(xiàn)對(duì)升余弦滾降特性的近似，故本文經(jīng)過(guò)FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)來(lái)對(duì)各種窗函數(shù)進(jìn)行選擇，并通過(guò)窗函數(shù)法實(shí)現(xiàn)對(duì)升余弦特性低通濾波器的設(shè)計(jì)，同時(shí)用MATIAB來(lái)仿真實(shí)現(xiàn)。

1 有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器
1．1 FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)
    首先，有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時(shí)，很容易保證嚴(yán)格的線性相位特性；另外，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)是有限長(zhǎng)的，因此，濾波器一定是穩(wěn)定的，只要經(jīng)過(guò)一定的延時(shí)，任何非因果的有限長(zhǎng)序列都將變成因果的有限長(zhǎng)序列，因而總能用因果系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)；最后，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器由于單位脈沖是有限長(zhǎng)的，故可以用FFT算法來(lái)過(guò)濾信號(hào)，這樣可以大大提高運(yùn)算效率。
1．2 FIR數(shù)字濾波器的特征
    FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：

   
    其中，單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長(zhǎng)的(0nN一1)，由該系統(tǒng)函數(shù)可以得到H(z)是z-1的(N一1)階多項(xiàng)式，并在有限z平面(0<|z|<∞)有(N一1)個(gè)零點(diǎn)，而且(N一1)階極點(diǎn)全部位于z平面的原點(diǎn)(z=0)處。
    (1)線性相位條件
    FIR數(shù)字濾波器的h(n)為實(shí)數(shù)，且滿足以下任一條件：
    h(n)=h(N一l一n)偶對(duì)稱
    h(n)=-h(N-1-n)奇對(duì)稱
    若其對(duì)稱中心在n=(N-1)／2處，則濾波器就有準(zhǔn)確的線性相位。
    且當(dāng)h(n)偶對(duì)稱時(shí)，有：

   
    (2)幅度函數(shù)的特點(diǎn)
    由于h(n)的長(zhǎng)度取奇數(shù)或偶數(shù)對(duì)H(w)的特性會(huì)有影響，因此，對(duì)于兩類(lèi)線性相位，可分為4種情況，具體如表l所列。

2 基于MATLAB的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)
    用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器，若已知：

   
    其中，wc=0．5π，那么，就可分別用矩形窗、漢寧窗來(lái)設(shè)計(jì)該濾波器，且取N=2l、3l。
2．1 MATLAB的程序設(shè)計(jì)
    下面是基于MATIAB來(lái)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的程序代碼：
    ％1)矩形窗N=2l
    N1=21；a1=(N1—1)／2；wc=pi／2；
    n1=[0：l：(Nl—1)]；
    m1=n1一al+eps；％避免被零除
    hdl=sin (wc*m1)．／(pi*m1)；
    ％加矩形窗
    [h1，wl]=freqz(hdl，1)；
    subplot(2,2，1)；plot(wl／pi，20*log10(abs(h1)／abs(hl(1))))；axis([0，1，-50，1O])；
    xlabel('頻率')；ylabel('幅頻響應(yīng)')；
    title('FIR加矩形窗函數(shù)的幅頻特性N=21')；
    ％2)漢寧窗N=21
    w_hanl=(hanning(N1))'；
    hl=hdl．*w_hanl；％加漢寧窗
    [hhl，w1]=freqz(hl，1)；
    subplot(2，2，2)；plot(wl／pi，20*log10(abs(hhl)／abs(hhl(1))))；axis([0，l，一80，lO])；
    xlabel('頻率')；ylabel('幅頻響應(yīng)')；
    title('FIR加漢寧窗函數(shù)的幅頻特性N=21')；
    ％3)矩形窗N=31
    N2=3 1；a2=(N2-1)／2；wc=pi／2；
    n2=[0：1：(N2-1)]；
    m2=n2一a2+eps；％避免被零除
    hd2=sin(wc*m2)．／(pi*m2)；
    ％加矩形窗
    [h2，w2]=freqz(hd2，1)；
    subplot(2,2，3)；plot(w2／pi，20*log 1O(abs(h2)／abs(h2(1))))；axis([0，1，一50，10])；
    xlabel('頻率')；ylabel('幅頻響應(yīng)')；
    title('FIR加矩形窗函數(shù)的幅頻特性N=31')；
    ％4)漢寧窗N=31
    w_han2=(hanning(N2))'；
    h2=hd2．*w_han2；％加漢寧窗
    [hh2，w2]=freqz(h2，1)；
    subplot(2，2，4)；plot(w2／pi，20*logl0(abs(hh2)／abs(hh2(1))))；axis([0，1，-80，10])；
    xlabel('頻率')；ylabel('幅頻響應(yīng)')；
    title('FIR加漢寧窗函數(shù)的幅頻特性N=31')；
2．2 MATLAB仿真結(jié)果分析
    本設(shè)計(jì)的仿真結(jié)果如圖1所示，比較圖l，利用矩形窗設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，N取31比取21所設(shè)計(jì)的濾波器的過(guò)渡帶小，調(diào)整窗口長(zhǎng)度N可以有效地控制過(guò)渡帶的寬度，但由圖中也可以看到，改變N不能有效的減小帶內(nèi)波動(dòng)以及加大阻帶的衰減。另外，比較利用矩形窗和漢寧窗設(shè)計(jì)的濾波器，可見(jiàn)，利用漢寧窗設(shè)計(jì)的濾波器的帶內(nèi)波動(dòng)小且阻帶衰減大，故改變窗函數(shù)可以有效地減小帶內(nèi)波動(dòng)并加大阻帶衰減。
    對(duì)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行理論分析發(fā)現(xiàn)，在窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器過(guò)程中，對(duì)hd(n)加窗截?cái)嗪?，H(w)將Hd(w)在截止頻率處的間斷點(diǎn)變成了連續(xù)的曲線，并使理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處的邊緣加寬，從而形成一個(gè)過(guò)渡帶，過(guò)渡帶的寬度等于窗的頻率響應(yīng)WR(w)的主瓣寬度△w=4π／N，窗函數(shù)的主瓣寬度越寬，過(guò)渡帶也越寬。同時(shí)在截止頻率wc的兩側(cè)，H(w)會(huì)出現(xiàn)最大尖峰值，尖峰的兩側(cè)形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度，而振蕩的多少取決于旁瓣的多少。由此分析，因?yàn)檫^(guò)渡帶的寬度為窗的頻率響應(yīng)WR(w)的主瓣寬度△w=4π／N，所以，加大N可以減小過(guò)渡帶的寬度，而由于尖峰值將直接影響通帶特性和阻帶衰減，故窗函數(shù)的選取也會(huì)影響通帶特性和阻帶衰減，通常所選取的窗函數(shù)的窗譜主瓣盡可能的窄，最大旁瓣的相對(duì)幅度盡可能的小。

    事實(shí)上，與矩形窗相比，漢寧窗的頻譜包絡(luò)是一個(gè)余弦函數(shù)，所以漢寧窗經(jīng)常被認(rèn)為是升余弦窗口，漢寧窗的優(yōu)點(diǎn)在于它的旁瓣隨頻率的增加而衰減的速度非常快，為1／f5，所以在用漢寧窗設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器幅度特性與矩形窗相比，其過(guò)渡帶變寬，但第一個(gè)最小衰減最小值的絕對(duì)值變大，故適用于數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)中升余弦特性濾波器的設(shè)計(jì)。

3 結(jié)束語(yǔ)
    利用漢寧窗進(jìn)行FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，可有效逼近升余弦特性濾波器的幅度特性。事實(shí)上，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器以其嚴(yán)格的線性相位和穩(wěn)定性等獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)在數(shù)字處理領(lǐng)域占據(jù)著重要的地位，而應(yīng)用MATLAB軟件工具可以方便進(jìn)行FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)和仿真，以便最終得到最優(yōu)的FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果。