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[導(dǎo)讀]卓晴老師,我一直沒想明白一個問題,為什么卷積要先反轉(zhuǎn)再滑動呢?不翻轉(zhuǎn)為什么不行? ▲ 孔乙己:回字有四種寫法|插圖來自網(wǎng)絡(luò) 的確,對于兩個信號之間的卷積運算,可以理解為對其中任意個信號進(jìn)行“反褶”、“平移”、“相乘”、“積分(累加)”,最后得到卷

卓晴老師,我一直沒想明白一個問題,為什么卷積要先反轉(zhuǎn)再滑動呢?不翻轉(zhuǎn)為什么不行?

▲ 孔乙己:回字有四種寫法|插圖來自網(wǎng)絡(luò)


的確,對于兩個信號之間的卷積運算,可以理解為對其中任意個信號進(jìn)行“反褶”、“平移”、“相乘”、“積分(累加)”,最后得到卷積結(jié)果:

相比之下,相關(guān)運算就沒有其中的“反褶”部分。但是,對于復(fù)值信號,需要對后面的信號取共軛[1]

卷積運算滿足一些代數(shù)性質(zhì),比如交換律、結(jié)合律、分配率,但相關(guān)運算不滿足。

到現(xiàn)在為止,我們只是討論了這兩個運算究竟哪里不一樣,即卷積需要先反褶,再滑動,而相關(guān)運算不需要反褶。但你還在問第二個問題:不反褶不行嗎?

首先,如果參與運算兩個實數(shù)信號中,有一個信號為偶函數(shù),那么它們的卷積運算就和相關(guān)運算相同了。即可以不進(jìn)行反褶。但為什么要引入帶有反褶運算的卷積呢?

在應(yīng)用中,相關(guān)運算主要描述的是信號與信號之間的相似關(guān)系,而卷積運算描述的是信號與系統(tǒng)之間的關(guān)系。

相關(guān)運算中的核心積分運算是描述了兩個信號之間的內(nèi)積


在線性空間中也可以引出兩個信號之間的相似程度的度量,相關(guān)運算的結(jié)果反映了兩個信號之間在不同的延遲情況下的相似性。因此可以通過尋找相關(guān)結(jié)果的峰值確定兩個信號之間的延遲關(guān)系。

卷積則是刻畫了一個線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 與系統(tǒng)的輸入信號 和系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)信號 之間的關(guān)系。利用信號可以分解成沖激信號的疊加:


在利用系統(tǒng)的線性+時不變特性,可以得到系統(tǒng)的輸出 就等于 的卷積。


這其中的簡單推導(dǎo)在任何一本講解信號與系統(tǒng)教材中都有。因此引入帶有反褶的卷積運算是為了刻畫信號與系統(tǒng)之間的關(guān)系的。

正是由于引入了卷積運算,所以對于任何一個線性時不變系統(tǒng),都可以將其與一個信號(系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng))一一對應(yīng)起來。信號與系統(tǒng)達(dá)到了完美的統(tǒng)一。

由此,你可能還要問:為什么系統(tǒng)的響應(yīng)中,輸入x(t)需要與單位沖激響應(yīng)h(t)進(jìn)行卷積運算?,只是進(jìn)行相關(guān)不行嗎?

進(jìn)行相關(guān)運算時,參與運算的兩個信號是對等的,它們的變量 都反映了信號隨著時間 的過程演變的情況。但進(jìn)行卷積運算時,其中一個信號是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),運算結(jié)果中的變量 反映了系統(tǒng)輸出結(jié)果所在的時刻,站在 時刻,考察輸入信號 的不同時間 的取值是如何累計出系統(tǒng)的輸出 的。因此,對于信號而言,它們的變量是 ,而不是

對于 時刻的信號 所產(chǎn)生的結(jié)果,只需經(jīng)過延遲 的時間,便到達(dá)了時刻 了,即 。將所有的 所產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行積分,便可以得到系統(tǒng)在 時刻的取值了。

文字顯得枯燥,一圖抵千言。下面是鄭君里[2]教授的教材中對此進(jìn)行的圖片描述。還是挺形象的。

▲ 信號的分解與系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)


中國科學(xué)網(wǎng)[3]也有很多教授對系統(tǒng)輸出的卷積運算中的反褶進(jìn)行了很好的討論,比如曹廣福老師在我來說卷積中,討論了連續(xù)和離散時間卷積運算,并把離散卷積看成級數(shù)運算。許志強卷積是什么?的博文中,將卷積看成加權(quán)平均積。王一哲卷積的理解及應(yīng)用中給出了很多圖形方面的解釋。

所以,你提到的卷積運算中的奇怪的反褶過程,實際上引起過很多人的疑問以及對此的討論。

可能最后,你還要問:既然,卷積運算和相關(guān)運算這么相近,為什么非要定義這個卷積,直接就定義成反褶+相關(guān)不就行了嗎?

這個話就長了,雖然根據(jù) 奧卡姆剃刀原理[4],可以盡可能減少概念、定理的數(shù)量來滿足數(shù)學(xué)上的精簡需求。但在工程中,人們還是喜歡偷懶。更有甚者,還采用掛羊頭,賣狗肉的做法,對一些本質(zhì)相同的運算,委以不同的名稱,雖然還達(dá)不到擾亂視聽的,但也是一種約定俗稱,比如像 離散周期序列傅里葉級數(shù)分解(DTFS)、離散傅里葉變換(DFT)、 快速傅里葉變換(FFT)**本質(zhì)上的數(shù)學(xué)概念是一樣的。

這樣也沒什么不好的,就連孔乙己都知道“”字 回字有四種寫法[5]呢。

▲ 康熙字典中的四種回字寫法


參考資料

[1]

共軛: 復(fù)數(shù)呈現(xiàn)共軛關(guān)系是指它們的實部相同,虛部相反

[2]

鄭君里: 937年至2019年4月14日),1961年畢業(yè)于清華大學(xué)無線電系。曾任清華大學(xué)電子工程系教授、通信與信息系統(tǒng)專業(yè)博士生導(dǎo)師。中國電子學(xué)會電路與系統(tǒng)學(xué)會委員、中國神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)委員會委員。

[3]

中國科學(xué)網(wǎng): http://www.sciencenet.cn/

[4]

奧卡姆剃刀原理: https://baike.baidu.com/item/%E5%A5%A5%E5%8D%A1%E5%A7%86%E5%89%83%E5%88%80%E5%8E%9F%E7%90%86/10900565?fr=aladdin

[5]

回字有四種寫法: https://guoxue.ifeng.com/a/20161210/50395689_0.shtml




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