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何為IIR濾波器？

無限沖激響應(yīng)（IIR：Infinite Impulse Response）是一種適用于許多線性時不變系統(tǒng)的屬性，這些系統(tǒng)的特征是具有一個沖激響應(yīng)h（t），該沖激響應(yīng)h（t）不會在特定點上完全變?yōu)榱悖菬o限期地持續(xù)。這與有限沖激響應(yīng)（FIR：Finite Impulse Response）系統(tǒng)形成對比，在有限沖激響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)中，對于某個有限T，在時間t> T時，沖激響應(yīng)確實恰好變?yōu)榱?。線性時不變系統(tǒng)的常見示例是大多數(shù)電子和數(shù)字濾波器。具有此屬性的系統(tǒng)稱為IIR系統(tǒng)或IIR濾波器。對于什么叫沖激響應(yīng)，這里就不展開解釋了，有興趣的可以查閱相關(guān)書籍。

這是常見的教科書式數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)定義，很多人看到這一下就蒙了，能說人話嗎？

線性時不變系統(tǒng)理論俗稱LTI系統(tǒng)理論，源自應(yīng)用數(shù)學(xué)，直接在核磁共振頻譜學(xué)、地震學(xué)、電路、信號處理和控制理論等技術(shù)領(lǐng)域運用。它研究的是線性、非時變系統(tǒng)對任意輸入信號的響應(yīng)。雖然這些系統(tǒng)的軌跡通常會隨時間變化（例如聲學(xué)波形）來測量和跟蹤，但是應(yīng)用到圖像處理和場論時，LTI系統(tǒng)在空間維度上也有軌跡。因此，這些系統(tǒng)也被稱為線性非時變平移，在最一般的范圍理論給出此理論。在離散（即采樣）系統(tǒng)中對應(yīng)的術(shù)語是線性非時變平移系統(tǒng)。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統(tǒng)的一個很好的例子。比如一個運放系統(tǒng)在一定頻帶范圍內(nèi)滿足信號的時域疊加，輸入一個100Hz和200Hz正弦信號，輸出頻率是這兩種信號的線性疊加。

用數(shù)學(xué)對LTI系統(tǒng)描述：

線性：輸入x1(t)，產(chǎn)生響應(yīng) y1(t),而輸入x2(t),產(chǎn)生相應(yīng)y2(t) , 那么放縮和加和輸入 ax1(t)+bx1(t), 產(chǎn)生放縮、加和的響應(yīng)ay1(t)+by1(t)，其中a和b是標(biāo)量，對于任意的有：

輸入  

產(chǎn)生響應(yīng)為：

時不變性：指如果將系統(tǒng)的輸入信號延遲δ秒，那么得到的輸出響應(yīng)也相應(yīng)延時δ秒。用數(shù)學(xué)描述，也即如果輸入x1(t),產(chǎn)生響應(yīng)y1(t) ，而輸入x1(t+δ) ，產(chǎn)生響應(yīng) y1(t+δ)。

這么描述還是不易懂，來個圖，有圖有真相：

假定一個信號放大電路對100Hz正弦信號放大2倍,則輸出為：

上面這么多文字只是為了描述在什么場合可以使用IIR濾波器對信號進(jìn)行數(shù)字濾波?？偨Y(jié)而言，就是在線性時不變系統(tǒng)中適用。換言之，在大多數(shù)電路系統(tǒng)中我們都可以嘗試采用IIR濾波器進(jìn)行數(shù)字濾波。

那么究竟什么是IIR濾波器呢？從數(shù)字信號處理的書籍中我們能看到這樣的Z變換信號流圖：

在時域中對于上述流圖，用時域描述即為：

上述數(shù)字濾波器，如果從編程的角度來看，x(n-1),表示上一次的信號，可能是來自ADC的上次采樣，而y(n-1)則為上一次濾波器的輸出值，對應(yīng)就比較好理解x(n-N)就表示前第n次輸入樣本信號，而y(n-M)則為前第M次濾波器的輸出。

說了這么多，只是為了更好的理解概念，只有概念理解正確，才能使用正確。概念理解這對工程師而言，非常之重要。

如何設(shè)計呢？

MATLAB提供了非常容易使用的FDATool幫助我們設(shè)計數(shù)字濾波器，真正精彩的地方開始了，讓我們拭目以待究竟如何一步一步設(shè)計并實施一個IIR濾波器。首先打開MATLAB,在命令行中敲fdatool，然后敲回車

彈出窗體就是fdatool了，如下：

• A(V)(dB)=20lg(Vo/Vi)；電壓增益,Vo 為輸出電壓，Vi為輸入電壓

• A(I)(dB)=20lg(Io/Ii)；電流增益,Io 為輸出電流，Ii為輸入電流

• A(p)(dB)=10lg(Po/Pi)；功率增益，Po 為輸出功率，Pi為輸入功率

濾波器類型：這里有Butterworth(巴特沃斯)、Chebyshev Type I,Chebyshev Type II、(切比雪夫)、Elipic 等可選。

• 巴特沃斯 Butterworth，也被稱作最大平坦濾波器。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有紋波。

• 切比雪夫 Chebyshev，是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動的濾波器。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應(yīng)的幅頻特性不如后者平坦。

• 橢圓 Elliptic，橢圓濾波器是在通帶和阻帶等波紋的一種濾波器。

• …這里就不一一介紹了，有興趣可以去查信號處理書籍。

就其特點，這里對其中幾種略作介紹：

• 巴特沃斯具有最平坦的通帶。

• 橢圓濾波器衰減最快，但是通帶、阻帶都有波紋。

• 切比雪夫濾波器衰減比巴特沃斯快，但比橢圓濾波器慢，波紋區(qū)域可選擇。

假設(shè)我們需要設(shè)計一個IIR濾波器，采樣率為32000Hz, 有用信號頻率在10000Hz內(nèi)，設(shè)計IIR濾波器對信號進(jìn)行數(shù)字濾波。這里為節(jié)省算力，我們指定濾波器的階數(shù)，也即傳遞函數(shù)中N/M中的最大值，一般而言N大于M。

這里指定階數(shù)為8階，類型指定為巴特沃斯型IIR濾波器，輸入階數(shù)8階，采樣率32000Hz,然后點擊Design Filter如下圖所示：

其相頻響應(yīng)曲線如下：

除此之外，我們還可以將幅頻與相頻曲線放在一個頻率坐標(biāo)上去看設(shè)計結(jié)果：

導(dǎo)出濾波器參數(shù)，這里我們選擇，

然后就得到了一個文件，保存2KHz_LPF.fcf，文件名隨你喜歡。

% Generated by MATLAB(R) 8.4 and the Signal Processing Toolbox 6.22.
% Generated on: 27-Mar-2020 21:27:06

% Coefficient Format: Decimal

% Discrete-Time IIR Filter (real)                            
% -------------------------------                            
% Filter Structure    : Direct-Form II, Second-Order Sections
% Number of Sections  : 4                                    
% Stable              : Yes                                  
% Linear Phase        : No                                   


SOS Matrix:                                                  
1  2  1  1  -1.7193929141691948  0.8610574795347461          
1  2  1  1  -1.5237898734101736  0.64933827386370635         
1  2  1  1  -1.4017399331200424  0.51723237044751591         
1  2  1  1  -1.3435020629061745  0.45419615396638446         

Scale Values:                                                
0.035416141341387819                                         
0.031387100113383172                                         
0.028873109331868367                                         
0.027673522765052503                                          

部署測試濾波器

到這里，沒有經(jīng)驗的朋友可能會說，這么一堆參數(shù)我該咋用呢？

需要自己去寫前面描述的計算公式嗎？當(dāng)然你也可以這么做，這里就不寫了,ARM的CMSIS庫已經(jīng)幫大家設(shè)計好了種類繁多的數(shù)字信號處理函數(shù)實現(xiàn)了，而且經(jīng)過了測試，這里直接拿來用即可。有興趣自己寫也不難，只要理解Z傳遞函數(shù)概念內(nèi)涵，非常容易實現(xiàn)。這里我們采用32位浮點實現(xiàn)函數(shù)：

arm_biquad_cascade_df1_f32。該函數(shù)位于：

CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c

CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_f32.c

我們來看一看這個函數(shù)：

arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c：

/*
*作用      :初始化濾波器
*S        :指向浮點SOS級聯(lián)結(jié)構(gòu)的實例。
*numStages:濾波器中二階SOS的數(shù)量
*pCoeffs  :濾波器參數(shù)指針,參數(shù)按下列順序存儲
*          {b10, b11, b12, a11, a12, b20, b21, b22, a21, a22, ...}
*pState   :歷史狀態(tài)緩沖區(qū)指針
*/
void arm_biquad_cascade_df1_init_f32(
        arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
        uint8_t numStages,
  const float32_t * pCoeffs,
        float32_t * pState)
{
  /* Assign filter stages */
  S->numStages = numStages;

  /* Assign coefficient pointer */
  S->pCoeffs = pCoeffs;

  /* Clear state buffer and size is always 4 * numStages */
  memset(pState, 0, (4U * (uint32_t) numStages) * sizeof(float32_t));

  /* Assign state pointer */
  S->pState = pState;
}

arm_math.h 定義了須用到的結(jié)構(gòu)體，對于本例相關(guān)的結(jié)構(gòu)體為arm_biquad_casd_df1_inst_f32

typedef struct
{
  unsigned int numStages; /*2階節(jié)的個數(shù)，應(yīng)為2*numStages.        */
  float *pState;          /*狀態(tài)系數(shù)數(shù)組指針，數(shù)組長度為4*numStages*/
  float *pCoeffs;         /*系數(shù)數(shù)組指針， 數(shù)組的長度為5*numStages.*/
} arm_biquad_casd_df1_inst_f32;

濾波器具體濾波函數(shù)為：

arm_biquad_cascade_df1_f32

/**
 *  *S       ：指向浮點Biquad級聯(lián)結(jié)構(gòu)的實例.
 *  *pSrc    ：指向輸入數(shù)據(jù)塊。
 *  *pDst    ：指向輸出數(shù)據(jù)塊。
 *  blockSize：每次調(diào)用要處理的樣本數(shù)。
 *  返回值    ：無.
 */
void arm_biquad_cascade_df1_f32(
  const arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
  float * pSrc,
  float * pDst,
  unsigned int blockSize)
{
  float *pIn = pSrc;                         /*源指針     */
  float *pOut = pDst;                        /*目的指針    */
  float *pState = S->pState;                 /*狀態(tài)指針    */
  float *pCoeffs = S->pCoeffs;               /*參數(shù)指針    */
  float acc;                                 /*累加器      */
  float b0, b1, b2, a1, a2;                  /*濾波器參數(shù)   */
  float Xn1, Xn2, Yn1, Yn2;                  /*濾波器狀態(tài)變量*/
  float Xn;                                  /*臨時輸入     */
  unsigned int sample, stage = S->numStages; /*循環(huán)計數(shù)     */

  do
  {
    /* Reading the coefficients */
    b0 = *pCoeffs++;
    b1 = *pCoeffs++;
    b2 = *pCoeffs++;
    a1 = *pCoeffs++;
    a2 = *pCoeffs++;

    Xn1 = pState[0];
    Xn2 = pState[1];
    Yn1 = pState[2];
    Yn2 = pState[3];

    sample = blockSize >> 2u;

    while(sample > 0u)
    {
      /* 讀第一個輸入 */
      Xn = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      Yn2 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);

      /* Store the result in the accumulator in the destination buffer. */
      *pOut++ = Yn2;

      /* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應(yīng)更新. */
      /* 狀態(tài)應(yīng)更新為:  */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */

      /* Read the second input */
      Xn2 = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      Yn1 = (b0 * Xn2) + (b1 * Xn) + (b2 * Xn1) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);

      /* 將結(jié)果存儲在目標(biāo)緩沖區(qū)的累加器中. */
      *pOut++ = Yn1;

      /* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應(yīng)更新. */
      /* 狀態(tài)應(yīng)更新為:  */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */

      /*讀第三個輸入 */
      Xn1 = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      Yn2 = (b0 * Xn1) + (b1 * Xn2) + (b2 * Xn) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);

      /* 將結(jié)果存儲在目標(biāo)緩沖區(qū)的累加器中. */
      *pOut++ = Yn2;

      /* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應(yīng)更新. */
      /* 狀態(tài)應(yīng)更新為: */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */
      /* 讀第四個輸入 */
      Xn = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      Yn1 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);

      /* 將結(jié)果存儲在目標(biāo)緩沖區(qū)的累加器中. */
      *pOut++ = Yn1;

      /* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應(yīng)更新. */
      /* 狀態(tài)應(yīng)更新為:  */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */
      Xn2 = Xn1;
      Xn1 = Xn;

      /* 遞減循環(huán)計數(shù)器 */
      sample--;
    }

    /* 如果blockSize不是4的倍數(shù)，
    *請在此處計算任何剩余的輸出樣本。
    *不使用循環(huán)展開. */
    sample = blockSize & 0x3u;

    while(sample > 0u)
    {
      /* 讀取輸入 */
      Xn = *pIn++;

      /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
      acc = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);

      /* 將結(jié)果存儲在目標(biāo)緩沖區(qū)的累加器中. */
      *pOut++ = acc;

      /* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應(yīng)更新。 */
      /* 狀態(tài)應(yīng)更新為:    */
      /* Xn2 = Xn1    */
      /* Xn1 = Xn     */
      /* Yn2 = Yn1    */
      /* Yn1 = acc   */
      Xn2 = Xn1;
      Xn1 = Xn;
      Yn2 = Yn1;
      Yn1 = acc;

      /* d遞減循環(huán)計數(shù)器 */
      sample--;
    }

    /*  將更新后的狀態(tài)變量存儲回pState數(shù)組中 */
    *pState++ = Xn1;
    *pState++ = Xn2;
    *pState++ = Yn1;
    *pState++ = Yn2;

    /*第一階段從輸入緩沖區(qū)到輸出緩沖區(qū).     */
    /*隨后的numStages在輸出緩沖區(qū)中就地發(fā)生*/
    pIn = pDst;

    /* 重置輸出指針 */
    pOut = pDst;

    /* 遞減循環(huán)計數(shù)器 */
    stage--;

  } while(stage > 0u);
}

#include <stdio.h>
#include <math.h>
/*
SOS Matrix:                                                  
1  2  1  1  -1.7193929141691948  0.8610574795347461          
1  2  1  1  -1.5237898734101736  0.64933827386370635         
1  2  1  1  -1.4017399331200424  0.51723237044751591         
1  2  1  1  -1.3435020629061745  0.45419615396638446         

Scale Values:                                                
0.035416141341387819                                         
0.031387100113383172                                         
0.028873109331868367                                         
0.027673522765052503  
做如下轉(zhuǎn)換：
1.縮放
[1  2  1] * 0.035416141341387819
[1  2  1] * 0.031387100113383172
[1  2  1] * 0.028873109331868367
[1  2  1] * 0.027673522765052503
得到：
[0.035416141341387819  2*0.035416141341387819  0.035416141341387819]
[0.031387100113383172  2*0.031387100113383172  0.031387100113383172] 
[0.028873109331868367  2*0.028873109331868367  0.028873109331868367] 
[0.027673522765052503  2*0.027673522765052503  0.027673522765052503]
2.舍掉第四列參數(shù)
3.將后兩列分別乘以-1，即：
0.035416141341387819  2*0.035416141341387819  0.035416141341387819  -1.7193929141691948  0.8610574795347461          
0.031387100113383172  2*0.031387100113383172  0.031387100113383172  -1.5237898734101736  0.64933827386370635         
0.028873109331868367  2*0.028873109331868367  0.028873109331868367  -1.4017399331200424  0.51723237044751591         
0.027673522765052503  2*0.027673522765052503  0.027673522765052503  -1.3435020629061745  0.45419615396638446 
這樣就得到了濾波器系數(shù)組了
*/
#define IIR_SECTION 4                /*見前面設(shè)計輸出為4個SOS塊*/
static float iir_state[4*IIR_SECTION];/*歷史狀態(tài)緩沖區(qū)         */
const float iir_coeffs[5*IIR_SECTION]={
    0.035416141341387819,2*0.035416141341387819,0.035416141341387819,1.7193929141691948,-0.8610574795347461,    0.031387100113383172,2*0.031387100113383172,0.031387100113383172,1.5237898734101736,-0.64933827386370635,    0.028873109331868367,2*0.028873109331868367,0.028873109331868367,1.4017399331200424,-0.51723237044751591,    0.027673522765052503,2*0.027673522765052503,0.027673522765052503,1.3435020629061745,-0.45419615396638446
};
static arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
/*假定采樣512個點*/
#define BUF_SIZE 512
#define PI 3.1415926
#define SAMPLE_RATE  32000 /*32000Hz*/
int main()
{
    float raw[BUF_SIZE];
    float raw_4k[BUF_SIZE];
    float raw_out[BUF_SIZE];

    float raw_noise[BUF_SIZE];
    float raw_noise_out[BUF_SIZE];

    arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
    FILE *pFile=fopen("./simulation.csv","wt+");
    if(pFile==NULL)
    {
        printf("file opened failed");
        return -1;
    }

    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
 /*模擬800Hz正弦幅度171，疊加幅度50隨機噪聲 */
 raw[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*800*i/32000.0f)+rand()%50;
        raw_4k[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*4000*i/32000.0f);
        /*模擬800Hz +4000Hz+隨機噪聲疊加輸入 */
        raw_noise[i] = raw[i] + raw_4k[i];
    }
 /*初始化濾波器，以及濾波*/
    arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
    arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw, raw_out, BUF_SIZE);

    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
       fprintf(pFile,"%f,",raw[i]);
    }

    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",raw_4k[i]);
    }
    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",raw_out[i]);
    }

    /*初始化濾波器，以及濾波*/
    arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
    arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw_noise, raw_noise_out, BUF_SIZE);

    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",raw_noise[i]);
    }

    fprintf(pFile,"\n");
    for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
    {
        fprintf(pFile,"%f,",raw_noise_out[i]);
    }

    fclose(pFile);

    return 0;
}

如果喜歡右下點個在看，也會讓我倍感鼓舞