手把手教系列之IIR數(shù)字濾波器設計實現(xiàn)
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何為IIR濾波器？
無限沖激響應（IIR：Infinite Impulse Response）是一種適用于許多線性時不變系統(tǒng)的屬性，這些系統(tǒng)的特征是具有一個沖激響應h（t），該沖激響應h（t）不會在特定點上完全變?yōu)榱悖菬o限期地持續(xù)。這與有限沖激響應（FIR：Finite Impulse Response）系統(tǒng)形成對比，在有限沖激響應（FIR）系統(tǒng)中，對于某個有限T，在時間t> T時，沖激響應確實恰好變?yōu)榱?。線性時不變系統(tǒng)的常見示例是大多數(shù)電子和數(shù)字濾波器。具有此屬性的系統(tǒng)稱為IIR系統(tǒng)或IIR濾波器。對于什么叫沖激響應，這里就不展開解釋了，有興趣的可以查閱相關書籍。
這是常見的教科書式數(shù)學嚴謹定義，很多人看到這一下就蒙了，能說人話嗎？
線性時不變系統(tǒng)理論俗稱LTI系統(tǒng)理論，源自應用數(shù)學，直接在核磁共振頻譜學、地震學、電路、信號處理和控制理論等技術領域運用。它研究的是線性、非時變系統(tǒng)對任意輸入信號的響應。雖然這些系統(tǒng)的軌跡通常會隨時間變化（例如聲學波形）來測量和跟蹤，但是應用到圖像處理和場論時，LTI系統(tǒng)在空間維度上也有軌跡。因此，這些系統(tǒng)也被稱為線性非時變平移，在最一般的范圍理論給出此理論。在離散（即采樣）系統(tǒng)中對應的術語是線性非時變平移系統(tǒng)。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統(tǒng)的一個很好的例子。比如一個運放系統(tǒng)在一定頻帶范圍內滿足信號的時域疊加，輸入一個100Hz和200Hz正弦信號，輸出頻率是這兩種信號的線性疊加。
用數(shù)學對LTI系統(tǒng)描述：
線性：輸入x1(t)，產生響應 y1(t),而輸入x2(t),產生相應y2(t) , 那么放縮和加和輸入 ax1(t)+bx1(t), 產生放縮、加和的響應ay1(t)+by1(t)，其中a和b是標量，對于任意的有：
輸入
產生響應為：
時不變性：指如果將系統(tǒng)的輸入信號延遲δ秒，那么得到的輸出響應也相應延時δ秒。用數(shù)學描述，也即如果輸入x1(t),產生響應y1(t) ，而輸入x1(t+δ) ，產生響應 y1(t+δ)。
這么描述還是不易懂，來個圖，有圖有真相：
假定一個信號放大電路對100Hz正弦信號放大2倍,則輸出為：
而對200Hz的正弦信號，假定其放大倍數(shù)為1.7倍。（做過運放電路設計的朋友應該有經驗，在其同頻帶其放大倍數(shù)往往并不平坦，也即幅頻響應在頻帶內不平坦，這是比較常見的）。也即輸入為：
則響應為:
那么如果輸入100Hz和200Hz的時域疊加信號，則其輸入為：
則其響應為：
由這些圖可看出，輸入信號的形狀保持不變，輸出為對應輸入的線性時域疊加。對于時不變，就不用圖描述了，在一個真實電路中，如果輸入延遲一定時間，則響應對應延遲相同時間輸出。
上面這么多文字只是為了描述在什么場合可以使用IIR濾波器對信號進行數(shù)字濾波。總結而言，就是在線性時不變系統(tǒng)中適用。換言之，在大多數(shù)電路系統(tǒng)中我們都可以嘗試采用IIR濾波器進行數(shù)字濾波。
那么究竟什么是IIR濾波器呢？從數(shù)字信號處理的書籍中我們能看到這樣的Z變換信號流圖：
在時域中對于上述流圖，用時域描述即為：
如果熟悉Z變換，則Z變換傳遞函數(shù)為：
上述數(shù)字濾波器，如果從編程的角度來看，x(n-1),表示上一次的信號，可能是來自ADC的上次采樣，而y(n-1)則為上一次濾波器的輸出值，對應就比較好理解x(n-N)就表示前第n次輸入樣本信號，而y(n-M)則為前第M次濾波器的輸出。
說了這么多，只是為了更好的理解概念，只有概念理解正確，才能使用正確。概念理解這對工程師而言，非常之重要。
如何設計呢？
MATLAB提供了非常容易使用的FDATool幫助我們設計數(shù)字濾波器，真正精彩的地方開始了，讓我們拭目以待究竟如何一步一步設計并實施一個IIR濾波器。首先打開MATLAB,在命令行中敲fdatool，然后敲回車
彈出窗體就是fdatool了，如下：
A(V)(dB)=20lg(Vo/Vi)；電壓增益,Vo 為輸出電壓，Vi為輸入電壓
A(I)(dB)=20lg(Io/Ii)；電流增益,Io 為輸出電流，Ii為輸入電流
A(p)(dB)=10lg(Po/Pi)；功率增益，Po 為輸出功率，Pi為輸入功率
濾波器類型：這里有Butterworth(巴特沃斯)、Chebyshev Type I,Chebyshev Type II、(切比雪夫)、Elipic 等可選。
巴特沃斯 Butterworth，也被稱作最大平坦濾波器。巴特沃斯濾波器的特點是通頻帶內的頻率響應曲線最大限度平坦，沒有紋波。
切比雪夫 Chebyshev，是在通帶或阻帶上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如后者平坦。
橢圓 Elliptic，橢圓濾波器是在通帶和阻帶等波紋的一種濾波器。
…這里就不一一介紹了，有興趣可以去查信號處理書籍。
就其特點，這里對其中幾種略作介紹：
巴特沃斯具有最平坦的通帶。
橢圓濾波器衰減最快，但是通帶、阻帶都有波紋。
切比雪夫濾波器衰減比巴特沃斯快，但比橢圓濾波器慢，波紋區(qū)域可選擇。
假設我們需要設計一個IIR濾波器，采樣率為32000Hz, 有用信號頻率在10000Hz內，設計IIR濾波器對信號進行數(shù)字濾波。這里為節(jié)省算力，我們指定濾波器的階數(shù)，也即傳遞函數(shù)中N/M中的最大值，一般而言N大于M。
這里指定階數(shù)為8階，類型指定為巴特沃斯型IIR濾波器，輸入階數(shù)8階，采樣率32000Hz,然后點擊Design Filter如下圖所示：
其相頻響應曲線如下：
除此之外，我們還可以將幅頻與相頻曲線放在一個頻率坐標上去看設計結果：
導出濾波器參數(shù)，這里我們選擇，
然后就得到了一個文件，保存2KHz_LPF.fcf，文件名隨你喜歡。
文件內容如下：
% Generated by MATLAB(R) 8.4 and the Signal Processing Toolbox 6.22.
% Generated on: 27-Mar-2020 21:27:06
% Coefficient Format: Decimal
% Discrete-Time IIR Filter (real)
% -------------------------------
% Filter Structure : Direct-Form II, Second-Order Sections
% Number of Sections : 4
% Stable : Yes
% Linear Phase : No
SOS Matrix:
1 2 1 1 -1.7193929141691948 0.8610574795347461
1 2 1 1 -1.5237898734101736 0.64933827386370635
1 2 1 1 -1.4017399331200424 0.51723237044751591
1 2 1 1 -1.3435020629061745 0.45419615396638446
Scale Values:
0.035416141341387819
0.031387100113383172
0.028873109331868367
0.027673522765052503
至此設計工作就結束了，馬上進入濾波器的部署測試階段。
這里有個概念需要略作解釋：什么叫直接II型 SOS
所謂直接II型，SOS（second order section）理解很簡單，本質是將IIR Z傳遞函數(shù)分解為上述二階塊的級聯(lián)形式。
部署測試濾波器
到這里，沒有經驗的朋友可能會說，這么一堆參數(shù)我該咋用呢？
需要自己去寫前面描述的計算公式嗎？當然你也可以這么做，這里就不寫了,ARM的CMSIS庫已經幫大家設計好了種類繁多的數(shù)字信號處理函數(shù)實現(xiàn)了，而且經過了測試，這里直接拿來用即可。有興趣自己寫也不難，只要理解Z傳遞函數(shù)概念內涵，非常容易實現(xiàn)。這里我們采用32位浮點實現(xiàn)函數(shù)：
arm_biquad_cascade_df1_f32。該函數(shù)位于：
CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c
CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm_biquad_cascade_df1_f32.c
我們來看一看這個函數(shù)：
arm_biquad_cascade_df1_init_f32.c：
/*
*作用 :初始化濾波器
*S :指向浮點SOS級聯(lián)結構的實例。
*numStages:濾波器中二階SOS的數(shù)量
*pCoeffs :濾波器參數(shù)指針,參數(shù)按下列順序存儲
* {b10, b11, b12, a11, a12, b20, b21, b22, a21, a22, ...}
*pState :歷史狀態(tài)緩沖區(qū)指針
*/
void arm_biquad_cascade_df1_init_f32(
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
uint8_t numStages,
const float32_t * pCoeffs,
float32_t * pState)
{
/* Assign filter stages */
S->numStages = numStages;
/* Assign coefficient pointer */
S->pCoeffs = pCoeffs;
/* Clear state buffer and size is always 4 * numStages */
memset(pState, 0, (4U * (uint32_t) numStages) * sizeof(float32_t));
/* Assign state pointer */
S->pState = pState;
}
arm_math.h 定義了須用到的結構體，對于本例相關的結構體為arm_biquad_casd_df1_inst_f32
typedef struct
{
unsigned int numStages; /*2階節(jié)的個數(shù)，應為2*numStages. */
float *pState; /*狀態(tài)系數(shù)數(shù)組指針，數(shù)組長度為4*numStages*/
float *pCoeffs; /*系數(shù)數(shù)組指針， 數(shù)組的長度為5*numStages.*/
} arm_biquad_casd_df1_inst_f32;
濾波器具體濾波函數(shù)為：
arm_biquad_cascade_df1_f32
/**
* *S ：指向浮點Biquad級聯(lián)結構的實例.
* *pSrc ：指向輸入數(shù)據(jù)塊。
* *pDst ：指向輸出數(shù)據(jù)塊。
* blockSize：每次調用要處理的樣本數(shù)。
* 返回值 ：無.
*/
void arm_biquad_cascade_df1_f32(
const arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
float * pSrc,
float * pDst,
unsigned int blockSize)
{
float *pIn = pSrc; /*源指針 */
float *pOut = pDst; /*目的指針 */
float *pState = S->pState; /*狀態(tài)指針 */
float *pCoeffs = S->pCoeffs; /*參數(shù)指針 */
float acc; /*累加器 */
float b0, b1, b2, a1, a2; /*濾波器參數(shù) */
float Xn1, Xn2, Yn1, Yn2; /*濾波器狀態(tài)變量*/
float Xn; /*臨時輸入 */
unsigned int sample, stage = S->numStages; /*循環(huán)計數(shù) */
do
{
/* Reading the coefficients */
b0 = *pCoeffs++;
b1 = *pCoeffs++;
b2 = *pCoeffs++;
a1 = *pCoeffs++;
a2 = *pCoeffs++;
Xn1 = pState[0];
Xn2 = pState[1];
Yn1 = pState[2];
Yn2 = pState[3];
sample = blockSize >> 2u;
while(sample > 0u)
{
/* 讀第一個輸入 */
Xn = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn2 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
/* Store the result in the accumulator in the destination buffer. */
*pOut++ = Yn2;
/* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應更新. */
/* 狀態(tài)應更新為: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
/* Read the second input */
Xn2 = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn1 = (b0 * Xn2) + (b1 * Xn) + (b2 * Xn1) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);
/* 將結果存儲在目標緩沖區(qū)的累加器中. */
*pOut++ = Yn1;
/* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應更新. */
/* 狀態(tài)應更新為: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
/*讀第三個輸入 */
Xn1 = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn2 = (b0 * Xn1) + (b1 * Xn2) + (b2 * Xn) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
/* 將結果存儲在目標緩沖區(qū)的累加器中. */
*pOut++ = Yn2;
/* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應更新. */
/* 狀態(tài)應更新為: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
/* 讀第四個輸入 */
Xn = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
Yn1 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);
/* 將結果存儲在目標緩沖區(qū)的累加器中. */
*pOut++ = Yn1;
/* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應更新. */
/* 狀態(tài)應更新為: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
Xn2 = Xn1;
Xn1 = Xn;
/* 遞減循環(huán)計數(shù)器 */
sample--;
}
/* 如果blockSize不是4的倍數(shù)，
*請在此處計算任何剩余的輸出樣本。
*不使用循環(huán)展開. */
sample = blockSize & 0x3u;
while(sample > 0u)
{
/* 讀取輸入 */
Xn = *pIn++;
/* acc = b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
acc = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
/* 將結果存儲在目標緩沖區(qū)的累加器中. */
*pOut++ = acc;
/* 每次計算輸出后，狀態(tài)都應更新。 */
/* 狀態(tài)應更新為: */
/* Xn2 = Xn1 */
/* Xn1 = Xn */
/* Yn2 = Yn1 */
/* Yn1 = acc */
Xn2 = Xn1;
Xn1 = Xn;
Yn2 = Yn1;
Yn1 = acc;
/* d遞減循環(huán)計數(shù)器 */
sample--;
}
/* 將更新后的狀態(tài)變量存儲回pState數(shù)組中 */
*pState++ = Xn1;
*pState++ = Xn2;
*pState++ = Yn1;
*pState++ = Yn2;
/*第一階段從輸入緩沖區(qū)到輸出緩沖區(qū). */
/*隨后的numStages在輸出緩沖區(qū)中就地發(fā)生*/
pIn = pDst;
/* 重置輸出指針 */
pOut = pDst;
/* 遞減循環(huán)計數(shù)器 */
stage--;
} while(stage > 0u);
}
開始測試：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
/*
SOS Matrix:
1 2 1 1 -1.7193929141691948 0.8610574795347461
1 2 1 1 -1.5237898734101736 0.64933827386370635
1 2 1 1 -1.4017399331200424 0.51723237044751591
1 2 1 1 -1.3435020629061745 0.45419615396638446
Scale Values:
0.035416141341387819
0.031387100113383172
0.028873109331868367
0.027673522765052503
做如下轉換：
1.縮放
[1 2 1] * 0.035416141341387819
[1 2 1] * 0.031387100113383172
[1 2 1] * 0.028873109331868367
[1 2 1] * 0.027673522765052503
得到：
[0.035416141341387819 2*0.035416141341387819 0.035416141341387819]
[0.031387100113383172 2*0.031387100113383172 0.031387100113383172]
[0.028873109331868367 2*0.028873109331868367 0.028873109331868367]
[0.027673522765052503 2*0.027673522765052503 0.027673522765052503]
2.舍掉第四列參數(shù)
3.將后兩列分別乘以-1，即：
0.035416141341387819 2*0.035416141341387819 0.035416141341387819 -1.7193929141691948 0.8610574795347461
0.031387100113383172 2*0.031387100113383172 0.031387100113383172 -1.5237898734101736 0.64933827386370635
0.028873109331868367 2*0.028873109331868367 0.028873109331868367 -1.4017399331200424 0.51723237044751591
0.027673522765052503 2*0.027673522765052503 0.027673522765052503 -1.3435020629061745 0.45419615396638446
這樣就得到了濾波器系數(shù)組了
*/
#define IIR_SECTION 4 /*見前面設計輸出為4個SOS塊*/
static float iir_state[4*IIR_SECTION];/*歷史狀態(tài)緩沖區(qū) */
const float iir_coeffs[5*IIR_SECTION]={
0.035416141341387819,2*0.035416141341387819,0.035416141341387819,1.7193929141691948,-0.8610574795347461, 0.031387100113383172,2*0.031387100113383172,0.031387100113383172,1.5237898734101736,-0.64933827386370635, 0.028873109331868367,2*0.028873109331868367,0.028873109331868367,1.4017399331200424,-0.51723237044751591, 0.027673522765052503,2*0.027673522765052503,0.027673522765052503,1.3435020629061745,-0.45419615396638446
};
static arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
/*假定采樣512個點*/
#define BUF_SIZE 512
#define PI 3.1415926
#define SAMPLE_RATE 32000 /*32000Hz*/
int main()
{
float raw[BUF_SIZE];
float raw_4k[BUF_SIZE];
float raw_out[BUF_SIZE];
float raw_noise[BUF_SIZE];
float raw_noise_out[BUF_SIZE];
arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
FILE *pFile=fopen("./simulation.csv","wt+");
if(pFile==NULL)
{
printf("file opened failed");
return -1;
}
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
/*模擬800Hz正弦幅度171，疊加幅度50隨機噪聲 */
raw[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*800*i/32000.0f)+rand()%50;
raw_4k[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*4000*i/32000.0f);
/*模擬800Hz +4000Hz+隨機噪聲疊加輸入 */
raw_noise[i] = raw[i] + raw_4k[i];
}
/*初始化濾波器，以及濾波*/
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw, raw_out, BUF_SIZE);
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw[i]);
}
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_4k[i]);
}
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_out[i]);
}
/*初始化濾波器，以及濾波*/
arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw_noise, raw_noise_out, BUF_SIZE);
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_noise[i]);
}
fprintf(pFile,"\n");
for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
{
fprintf(pFile,"%f,",raw_noise_out[i]);
}
fclose(pFile);
return 0;
}
利用csv文件，將模擬數(shù)據(jù)存儲，直接用excel打開，將行數(shù)據(jù)生成曲線圖如下：
有興趣也可以寫個界面直接顯示，甚至繪制出譜線圖，做進一步分析。
第一幅圖，為800Hz信號混入隨機噪聲的波形
第二幅圖，為4000Hz信號，對假定系統(tǒng)為無用干擾信號
第三幅圖， 為800Hz 混入隨機噪聲過濾后，已經很好的還原有用信號頻率
第四幅圖， 為800Hz信號混入隨機噪聲，同時疊加4000Hz干擾的波形，對系統(tǒng)而言，從時域中，明顯可見，有用信號已經完全扭曲
第五幅圖，為800Hz信號混入隨機噪聲，同時疊加4000Hz干擾的輸入，經過該低通濾波器后的波形，與第三幅圖基本一樣，已經非常好的濾除了干擾信號。
總結：
IIR濾波器在線性時不變系統(tǒng)中可以很好的解決工程中一般噪聲問題
如果需要設計帶通、高通濾波器其步驟基本類似，只是濾波器的參數(shù)以及SOS塊個數(shù)可能不一樣而已
需要提醒的時，IIR的相頻響應不線性，如果系統(tǒng)對相頻響應有嚴格要求，就需要采用其他的數(shù)字濾波器拓撲形式了
實際應用中，如果階數(shù)不高時，現(xiàn)在算力強勁的單片機或者DSP以及可以直接使用浮點處理。
如果對處理速度有嚴格的實時要求，需要在極短時間進行濾波處理，可以考慮降低階數(shù)，或采用定點IIR濾波算法實現(xiàn)。也或者將文中函數(shù)進行匯編級優(yōu)化。
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