溫溫故，知知新 | 開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換器動(dòng)態(tài)分析采用快速分析技術(shù) 一（文末有獎(jiǎng)）

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開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換器動(dòng)態(tài)分析采用快速分析技術(shù)（一）

如果采用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)（mesh-node）分析能很好地求解電路的傳遞函數(shù)，那么立即獲得一個(gè)有意義的符號(hào)公式通常是不可能的，需要額外的工作才能得出。應(yīng)用經(jīng)典的分析技術(shù)來(lái)獲得所謂的低熵表達(dá)式–即分?jǐn)?shù)形式，從中您可識(shí)別增益、極點(diǎn)和零點(diǎn)–往往導(dǎo)致如Middlebrook博士曾在他的文獻(xiàn)[1]、[2]中提到的代數(shù)失效（algebraic paralysis）。

在此，快速分析電路技術(shù)（FACTs）可幫助您基于您在大學(xué)里學(xué)到的東西而擴(kuò)展，以大大簡(jiǎn)化分析。通過(guò)使用FACTs，不僅加快您的執(zhí)行速度，而且最終結(jié)果將以有序的多項(xiàng)式形式出現(xiàn)，通常無(wú)需進(jìn)一步的因子分解工作[3]、[4]。

本文首先介紹后文用于確定開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換器的控制到輸出傳遞函數(shù)的FACTs。這個(gè)主題很大，在此我們只談及表面，希望激勵(lì)您進(jìn)一步挖掘這個(gè)主題。我們選擇了電壓模式耦合電感單端初級(jí)電感轉(zhuǎn)換器（SEPIC）工作于非連續(xù)導(dǎo)電模式（DCM）。PWM開(kāi)關(guān)[5]將用于形成小信號(hào)模型。

01

FACTs背后的基本原理在于電路時(shí)間常數(shù)的確定–t=RC或t=L/R–此時(shí)在兩種不同的條件下觀察所研究的電路：當(dāng)激勵(lì)信號(hào)降至0時(shí)和響應(yīng)清零時(shí)。通過(guò)使用這種技術(shù)，您將體會(huì)到確定特定傳遞函數(shù)有多快和直觀?；谶@種方法的分析技術(shù)始于幾十年前，如[6]和[7]中記載的。

傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，它把激勵(lì)信號(hào)、激勵(lì)物，和由這種激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)信號(hào)聯(lián)系起來(lái)。如果我們考慮一個(gè)線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)無(wú)延時(shí)，具有靜態(tài)增益H0–例如開(kāi)關(guān)轉(zhuǎn)換器的線性理想功率級(jí)-其連接控制信號(hào)Verr（激勵(lì)）和輸出Vout（響應(yīng)）的傳遞函數(shù)H可表示為：

（1）

首項(xiàng)H0是系統(tǒng)在s=0評(píng)估表現(xiàn)出的增益或衰減。該項(xiàng)將帶傳遞函數(shù)的單位（或維度），如果有的話。如果響應(yīng)和激勵(lì)都用伏特表示，在此我們表示為Verr和Vout，H是沒(méi)有單位的。分子N(s)控制傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。數(shù)學(xué)意義上，零點(diǎn)是函數(shù)幅值為零的根。通過(guò)FACTs，我們用數(shù)學(xué)抽象思維以輕松地揭開(kāi)這些零點(diǎn)。我們不會(huì)像通常在諧波分析（s=jw）中所做的僅僅考慮在s平面的垂直軸，而是覆蓋考慮到負(fù)數(shù)根的整個(gè)平面。

因此，如果電路存在零點(diǎn)，將表現(xiàn)為當(dāng)輸入信號(hào)調(diào)到零角頻率sz時(shí)無(wú)信號(hào)的輸出響應(yīng)。在這種情況下，在變形的電路中的一些阻抗阻擋了信號(hào)傳播，響應(yīng)為零，盡管存在激勵(lì)源：當(dāng)變形的電路在s=sz點(diǎn)被激勵(lì)時(shí)，在信號(hào)路徑的串聯(lián)阻抗趨于無(wú)窮或分支將該激勵(lì)分流到地面。

請(qǐng)注意，這種方便的數(shù)學(xué)抽象通過(guò)觀察提供了巨大的幫助來(lái)找到零點(diǎn)，通常無(wú)需寫(xiě)一行無(wú)源電路的代數(shù)。圖1提供了簡(jiǎn)單的流程圖，詳細(xì)介紹了過(guò)程。關(guān)于這種方法的更多細(xì)節(jié)見(jiàn)[8]。

圖一

分母D(s)由電路自然時(shí)間常數(shù)構(gòu)成。通過(guò)設(shè)置激勵(lì)信號(hào)為0和確定從電路中臨時(shí)移除的所考慮的電容或電感“所示”的阻抗，來(lái)得出這些時(shí)間常數(shù)。

通過(guò)“觀察”，您可想象把一個(gè)歐姆表置于暫時(shí)移除的儲(chǔ)能元件（C或L），并讀取它顯示的電阻。這其實(shí)是個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的運(yùn)用，正如圖2中的第二個(gè)流程圖所詳述的。

圖二

看到圖3，是一個(gè)涉及注入源的一階無(wú)源電路—該激勵(lì)源—加偏壓于左邊網(wǎng)絡(luò)。輸入信號(hào)Vin通過(guò)網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)傳播，形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)Vout。我們感興趣的是導(dǎo)出連接Vout和Vin的傳遞函數(shù)G。

圖三

為確定本例電路的時(shí)間常數(shù)，我們將激勵(lì)源設(shè)為0（由短路代替0V電壓源，開(kāi)路代替0A電流源），拆下電容器。然后，我們連接一個(gè)歐姆表來(lái)確定電容器端提供的電阻。圖4指導(dǎo)您進(jìn)行這些步驟。

圖四

如果用圖4的做法，您“看到” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時(shí)間常數(shù)只通過(guò)R和C1即可計(jì)算得出：

（2）

我們可證明第一階系統(tǒng)的極點(diǎn)是其時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。因此：

（3）

現(xiàn)在，s=0時(shí)該電路的準(zhǔn)靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開(kāi)路。把這概念應(yīng)用于圖3的電路，繪制成如圖5所示。想象在R4前斷開(kāi)連接，會(huì)看到一個(gè)含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：

（4）

輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開(kāi)的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：

（5）

圖五

基本就是這些了，我們正錯(cuò)過(guò)零點(diǎn)。我們?cè)谇拔奶岬?，零點(diǎn)通過(guò)阻斷激勵(lì)信號(hào)的傳播而在電路中表現(xiàn)出來(lái)，產(chǎn)生一個(gè)無(wú)信號(hào)的輸出響應(yīng)（見(jiàn)圖1）。

若我們考慮一個(gè)變形的電路–其中C1由代替–如圖6，當(dāng)激勵(lì)源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無(wú)信號(hào)響應(yīng)？無(wú)信號(hào)響應(yīng)只意味流過(guò)R3的電流為0。這不是短路，而是相當(dāng)于虛擬的接地。

圖六

如果在R3中沒(méi)有電流，那么串聯(lián)的rC和轉(zhuǎn)化為短路：

（6）

根sz是我們想要的零點(diǎn)位置：

（7）

從而有：

（8）

現(xiàn)在我們可組合所有這些結(jié)果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：

（9）

這就是所謂的低熵表達(dá)式，從中您可立即識(shí)別靜態(tài)增益G0、極點(diǎn)wp和零點(diǎn)wz。高熵表達(dá)式將在考慮阻抗分壓器時(shí)通過(guò)施加大規(guī)模外力到原來(lái)的電路來(lái)獲得，如：

（10）

您不只在推導(dǎo)表達(dá)式時(shí)可能會(huì)出錯(cuò)—而且將結(jié)果格式化到像（9）這樣需要更多的精力。另外，請(qǐng)注意，在這特定的例子中，在寫(xiě)（9）時(shí)我們沒(méi)有寫(xiě)一行代數(shù)。如果我們后來(lái)發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，那么很容易回到一個(gè)單獨(dú)的圖紙并單獨(dú)修復(fù)它。（9）的校正很簡(jiǎn)單?，F(xiàn)嘗試對(duì)（10）進(jìn)行相同的修正，您可能會(huì)從頭開(kāi)始。

02

FACTs同樣適用于n階無(wú)源或有源電路。通過(guò)計(jì)算狀態(tài)變量是獨(dú)立的儲(chǔ)能元件的數(shù)量來(lái)確定電路的階數(shù)。若我們考慮一個(gè)具有有限的靜態(tài)增益H0的二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可表示如下：

當(dāng)H0帶傳遞函數(shù)的單位，那么N:D的比值是沒(méi)有單位的。這意味著a1和b1的單位是時(shí)間[s]。當(dāng)a1無(wú)信號(hào)響應(yīng)，b1的激勵(lì)源為零，您將確定的時(shí)間常數(shù)相加。

對(duì)于二階系數(shù)，a2或b2，維度是時(shí)間的平方[s2]，你將時(shí)間常數(shù)結(jié)合為一個(gè)產(chǎn)物。然而，在這時(shí)間常數(shù)產(chǎn)物中，您重用了已經(jīng)確定為a1或b1的一個(gè)時(shí)間常數(shù)，而二階時(shí)間常數(shù)的確定需要一個(gè)不同的符號(hào)：

（12）

在這個(gè)定義中，您設(shè)置標(biāo)號(hào)出現(xiàn)在“冪” 中的儲(chǔ)能元件處于高頻狀態(tài)（電容被短路，電感被開(kāi)路），當(dāng)我們暫時(shí)從電路中移除二階元件端（參見(jiàn)下標(biāo)），您可從中確定電阻。當(dāng)a2必須為無(wú)信號(hào)的輸出和b2的激勵(lì)源減為0時(shí)，您可運(yùn)用此法。

當(dāng)然，當(dāng)觀察有用時(shí)，它總是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有點(diǎn)難以理解，但沒(méi)有什么不可克服的，我們用幾句話解釋您就會(huì)明白。

圖七

圖7是一個(gè)經(jīng)典的二階濾波器，用于確定在連續(xù)導(dǎo)通模式（CCM）中工作的電壓模式降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個(gè)激勵(lì)信號(hào)Iout與響應(yīng)信號(hào)Vout的一個(gè)傳遞函數(shù)。

此處，Iout是我們已安裝的測(cè)試生成器，而Vout是其兩端產(chǎn)生的電壓。要從（11）中確定各種系數(shù)，我們可按照?qǐng)D2的流程圖，從s = 0開(kāi)始：如圖所示，電感短路，電容開(kāi)路。該電路是簡(jiǎn)單的，電流源的電阻R0不過(guò)是rL和Rload簡(jiǎn)單的并列組合：

（13）

這個(gè)電路中有零點(diǎn)嗎？我們看看圖8所示的變形電路。我們看看當(dāng)激勵(lì)源電流Iout調(diào)為零角頻率sz時(shí)，什么樣的元件組合將使響應(yīng)Vout為零。我們可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變形的短路涉及rL–L1和rc–C2。

圖八

立即確定這兩個(gè)阻抗的根：

（14）

（15）

因此分母N(s)表示為

（16）

分母D(s)的一階系數(shù)b1是由L1兩端的阻抗提供，而C2處于直流狀態(tài)（開(kāi)路）：有t1。然后看驅(qū)動(dòng)C2而L1設(shè)置為直流狀態(tài)（短路）時(shí)的阻抗：得出t2。如圖9所示，從該草圖可立即得出b1的定義：

（17）

圖九

二階系數(shù)b2是用（12）中引入的符號(hào)來(lái)確定的。L1設(shè)置在其高頻狀態(tài)（開(kāi)路），驅(qū)動(dòng)C2以得到的阻抗，C2處于高頻狀態(tài)（短路），則驅(qū)動(dòng)L1而得到的阻抗。圖10顯示了兩種可能的整理結(jié)果。

您通常選擇最簡(jiǎn)單的表達(dá)式，或避免不確定性的一個(gè)，如果有的話(如∞×0或∞/∞)。下面對(duì)于b2的兩個(gè)定義是相同的，您看上面的是最簡(jiǎn)單的：

（18）

現(xiàn)在我們有所有的成分來(lái)組合最終的傳遞函數(shù)，定義為：

（19）

我們已經(jīng)確定了這個(gè)傳遞函數(shù)，而沒(méi)有寫(xiě)一行代數(shù)，只是拆分該電路為幾個(gè)簡(jiǎn)單的草圖個(gè)別解決。

此外，正如預(yù)期的那樣，（19）已經(jīng)是一個(gè)規(guī)范的表達(dá)式，您可輕易的看到一個(gè)靜態(tài)增益、兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)可用一個(gè)諧振分量w0和一個(gè)品質(zhì)因數(shù)Q進(jìn)一步整理的二階分母。如果不是迅速考慮Z1、Z2 和Rload的并聯(lián)組合，我們不可能得到這一結(jié)果。

圖十

采用FACTs，通過(guò)觀察可導(dǎo)出傳遞函數(shù)，特別是對(duì)于無(wú)源電路。由于電路復(fù)雜，包括電壓或電流控制源，觀察起來(lái)沒(méi)那么明顯，您需要利用經(jīng)典的網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)分析。但FACTs提供了幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：由于您將電路拆分為用于確定最終的多項(xiàng)式表達(dá)式系數(shù)的小的單個(gè)草圖，因此如果在最終的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，您總是可以回到一個(gè)特定的繪圖并個(gè)別修正。

此外，當(dāng)您確定與傳遞函數(shù)的ai和bi相關(guān)的項(xiàng)時(shí)，您自然會(huì)得到一個(gè)多項(xiàng)式表達(dá)式，而不用投入進(jìn)一步的精力來(lái)收集和重新排列這些項(xiàng)。最后，如[4]所示，在復(fù)雜的無(wú)源和有源電路中，SPICE對(duì)驗(yàn)證個(gè)別極點(diǎn)和零點(diǎn)的計(jì)算有很大幫助。

1. R. D. Middlebrook, Methods of Design-Oriented Analysis: Low-Entropy Expressions, Frontiers in Education Conference, Twenty-First Annual conference,  Santa-Barbara, 1992.

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3. V. Vorpérian, Fast Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits, Cambridge University Press, 2002.

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6. D. Feucht, Design-Oriented Circuit Dynamics, http://www.edn.com/electronics-blogs/outside-the-box-/4404226/Design-oriented-circuit-dynamics

7. D. Peter, We Can do Better: A Proven, Intuitive, Efficient and Practical Design-Oriented Circuit Analysis Paradigm is Available, so why aren't we using it to teach our Students?,

http://www.icee.usm.edu/ICEE/conferences/asee2007/papers/1362_WE_CAN_DO_BETTER__A_PROVEN__INTUITIVE__E.pdf

8. C. Basso, Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling, APEC Professional Seminar, Long Beach (CA), 2016, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

9. J. Betten, Benefits of a  coupled-inductor SEPIC, slyt411, application note, Texas-Instruments.

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