溫溫故，知知新 | 考量運算放大器在Type-2補償器中的動態(tài)響應(yīng) 第一篇
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本篇文章節(jié)選自國際知名電源專家Christophe Basso所著的《考量運算放大器在Type-2補償器中的動態(tài)響應(yīng)》。本篇文章是此次系列文章的第一篇，完整文章共五篇，第二篇將于下周六發(fā)布，歡迎大家持續(xù)關(guān)注~
作者簡介
Christophe Basso
安森美半導(dǎo)體法國圖盧茲 Technical Fellow
他擁有超過20年的電子電路設(shè)計經(jīng)驗，在電力電子轉(zhuǎn)換領(lǐng)域擁有近30項專利，他原創(chuàng)了許多集成電路芯片，其中代表性為 NCP120X 系列，它重新定義了電源低待機功耗設(shè)標(biāo)準(zhǔn)。
Christophe Basso出版了多部著作，《開關(guān)模式 SPICE 仿真和實用設(shè)計》深受廣大工程師的歡迎并二次改版，《為線性和開關(guān)電源設(shè)計控制回路：教程指南》為工程師設(shè)計補償和環(huán)路穩(wěn)定性提供了實用指南，《線性電路傳遞函數(shù)：介紹快速分析技術(shù)》以說教的方式，為學(xué)生和需要強大的工具以快速分析日常工作中的復(fù)雜電子電路的工程師提供對電路分析的不同角度。
考量運算放大器在Type-2補償器中的動態(tài)響應(yīng)（第一篇）
補償器是使控制系統(tǒng)在動態(tài)運行中快速穩(wěn)定的電子濾波器。在絕大多數(shù)研究中，補償器是置于運算放大器(運放)周圍的一個有源電路，其特性鑒定為完美。如果這種方法適用于低帶寬系統(tǒng)，如今的轉(zhuǎn)換器即使輸出電容小，只要交越頻率超過100千赫就能確保足夠快的瞬態(tài)響應(yīng)以限制輸出壓降。
在這些應(yīng)用中，若一個完美運放不行的話，最終會導(dǎo)致嚴(yán)重的增益和相位失真。如果展示開環(huán)增益和所選運放的低、高頻兩個極點如何影響整體動態(tài)響應(yīng)，您就可選擇恰當(dāng)?shù)脑?，免除影響交越所需的增益和相位性能表征。文本共有兩部分，這第一部分主要介紹開環(huán)增益的影響，特意先不談低頻和高頻兩極點。
01
不同補償器的類別
補償器的作用是形成一個給定電路的頻率響應(yīng)，以便一旦閉環(huán)，控制系統(tǒng)表現(xiàn)出所需的交越頻率fc和適當(dāng)?shù)南辔?增益裕度。補償器通過在fc的一些中期波段的增益或衰減強行形成0 dB交越點。相位裕度jm由補償器在fc表現(xiàn)出的相位提升 (phase boost)量調(diào)節(jié)。增益裕度取決于交越后補償器調(diào)降增益的能力。
補償器有不同的類型，其在開關(guān)轉(zhuǎn)換器中通常稱為type 1、type 2和type 3。所有三個型號在原點都有一個極點以提供最大可用準(zhǔn)靜態(tài)增益 （S=0），從而提供一個精確的輸出變量。type-1補償器是個簡單的積分電路，完全不提供相位提升。type 2基于type 1，增加了一個極/零對，最多有90°的相位提升，常見于電流模式電源，可提供大量補償。type-3電路提供另一個極零對，可提升相位達180°。更多信息請查閱[1]。
圖1：您選擇的補償器與您想要的相位提升量有關(guān)
Type 1 – 無提升
Type 2 – 提升達90°
Type 3 – 提升達180°
02
簡介快速分析技術(shù)（FACTs）
快速分析技術(shù) （Fast Analytical Techniques ，簡稱FACT）的基本原理是確定在兩個不同條件下的電路時間常數(shù)：激勵信號消失 （Vout降至0V）時和響應(yīng)清零 （VFB=0）時。
一個具有非零準(zhǔn)靜態(tài)增益的第一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為：
（1）
首項G0是S=0時系統(tǒng)表現(xiàn)出的增益。分子的N(s)控制傳遞函數(shù)的零點。在數(shù)學(xué)上，零點是個特定的點sz，無信號響應(yīng)。從理論上講，考慮到激勵信號覆蓋整個s面 （諧波模式下不僅在垂直軸），當(dāng)輸入信號調(diào)到零角頻率sz，零點表現(xiàn)為無信號的輸出響應(yīng)。電路中一些特定阻抗組合阻擋了信號傳播，響應(yīng)為0V，盡管存在激勵源。零點是分子的根。
分母D(s)由電路自然時間常數(shù)構(gòu)成。通過設(shè)置激勵信號為0和確定這種結(jié)構(gòu)中所考慮的電容或電感“所示”的阻抗而得出這些時間常數(shù)t= RC或t= L/R。如您想象把歐姆表置于暫時移除的電容或電感器，并讀取它顯示的電阻。您看圖2的無源電路，可看到一個注入源 （換言之，一個激勵源）正加偏壓于左邊網(wǎng)絡(luò)。輸入信號通過網(wǎng)格和節(jié)點傳輸，形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)。
圖2：確定電路的時間常數(shù)需要將激勵源設(shè)為0，并看看從電路中暫時移除的能量存儲元件所提供的電阻。
The response：響應(yīng)
The excitation：激勵源
本例我們將激勵源設(shè)為0 （由短路代替0V電壓源，開路代替0A電流源），拆下電容器。然后我們想象連接一個歐姆表，以確定由電容器端提供的電阻 (如圖3)。
圖3：由短路代替0V源后確定電容器端的電阻。
The excitation is set to 0：激勵源設(shè)為0
For example：例如
您“想象” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時間常數(shù)只通過R和C1即可計算得出：
（2）
我們可證明，第一階系統(tǒng)的極點是其時間常數(shù)的倒數(shù)。因此：
（3）
s = 0時這個電路的準(zhǔn)靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應(yīng)用于圖2的電路，繪制成如圖4所示。想象在R4前斷開連接，會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧 (Thévenin)電壓為：
（4）
輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器 (由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：
（5）
圖4：您斷開直流電路中的電容器，計算這簡單的電阻配置的傳遞函數(shù)。
我們?nèi)绾沃朗欠裼辛泓c？技巧是：您想象圖2的電路，使電容C1短路?，F(xiàn)在假設(shè)您為具有短路電容器的電路提供激勵信號。您能夠基于示波器觀察Vout的響應(yīng)嗎？當(dāng)然rC使R3短路，盡管振幅可能低，輸入信號仍會傳輸并有響應(yīng)。若“盡管C1短路但仍有響應(yīng)”，那么有與C1有關(guān)的零點。處理含電感L1的電路亦然 (但采用電感開路)。
零點通過阻斷激勵信號的傳輸而在電路中表現(xiàn)出來，輸出響應(yīng)為0。若我們考慮一個變形電路–其中C1由代替–如圖5，當(dāng)激勵源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號響應(yīng)？無信號響應(yīng)只意味流過R3的電流為0。若電阻沒有電流，沒有電壓施加和Vout是0 V，這不是短路，而是虛擬的接地。
圖5：在這變形電路中，當(dāng)串聯(lián)的rC和C1轉(zhuǎn)化為短路，響應(yīng)消失。
若R3沒有電流，那么串聯(lián)的rC和轉(zhuǎn)化為短路：
（6）
根sz是我們想要的零點位置：
（7）
從而有：
（8）
現(xiàn)在，我們可組合所有這些結(jié)果，形成以圖2電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：
（9）
這就是所謂的低熵表達式，您可立即識別增益、極點和零點。高熵表達式將在考慮阻抗分壓器時通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得，如：
（10）
請注意（9）沒有一行代數(shù)。這易于發(fā)現(xiàn)錯誤時單獨修復(fù)。（9）的校正很容易?，F(xiàn)嘗試對（10）進行相同的修正，無需從頭開始。您比對一下，采用Mathcad®表繪制的表達式（9）和（10）的頻率響應(yīng)相同（圖6）。
圖6：快速Mathcad®顯示用FACT推導(dǎo)出的表達式是否與由原表達式返回的響應(yīng)相匹配。
未完待續(xù)，下周六見…
參考文獻
1、C. Basso, “ Designing Control Loops for Linear and Switching Converters – A Tutorial Guide”, Artech House 2012, ISBN 978-1-60807-557-7
2、C. Basso, “Linear Circuit Transfer Functions – An Introduction to Fast Analytical Techniques”, Wiley 2016, ISBN 978-1-119-23637-5
3、V. Vorpérian, “Fast Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits”, Cambridge University Press 2002, ISBN 978-0-521-624428
4、C. Basso, “Fast Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling”, APEC Professional Seminar, Long Beach (CA), 2016, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm
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