溫溫故，知知新 | 考量運(yùn)算放大器在Type-2補(bǔ)償器中的動(dòng)態(tài)響應(yīng) 第一篇

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本篇文章節(jié)選自國際知名電源專家Christophe Basso所著的《考量運(yùn)算放大器在Type-2補(bǔ)償器中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)》。本篇文章是此次系列文章的第一篇，完整文章共五篇，第二篇將于下周六發(fā)布，歡迎大家持續(xù)關(guān)注~

作者簡介

Christophe Basso

安森美半導(dǎo)體法國圖盧茲 Technical Fellow

他擁有超過20年的電子電路設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，在電力電子轉(zhuǎn)換領(lǐng)域擁有近30項(xiàng)專利，他原創(chuàng)了許多集成電路芯片，其中代表性為 NCP120X 系列，它重新定義了電源低待機(jī)功耗設(shè)標(biāo)準(zhǔn)。

Christophe Basso出版了多部著作，《開關(guān)模式 SPICE 仿真和實(shí)用設(shè)計(jì)》深受廣大工程師的歡迎并二次改版，《為線性和開關(guān)電源設(shè)計(jì)控制回路：教程指南》為工程師設(shè)計(jì)補(bǔ)償和環(huán)路穩(wěn)定性提供了實(shí)用指南，《線性電路傳遞函數(shù)：介紹快速分析技術(shù)》以說教的方式，為學(xué)生和需要強(qiáng)大的工具以快速分析日常工作中的復(fù)雜電子電路的工程師提供對電路分析的不同角度。

考量運(yùn)算放大器在Type-2補(bǔ)償器中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)（第一篇）

補(bǔ)償器是使控制系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)運(yùn)行中快速穩(wěn)定的電子濾波器。在絕大多數(shù)研究中，補(bǔ)償器是置于運(yùn)算放大器(運(yùn)放)周圍的一個(gè)有源電路，其特性鑒定為完美。如果這種方法適用于低帶寬系統(tǒng)，如今的轉(zhuǎn)換器即使輸出電容小，只要交越頻率超過100千赫就能確保足夠快的瞬態(tài)響應(yīng)以限制輸出壓降。
在這些應(yīng)用中，若一個(gè)完美運(yùn)放不行的話，最終會導(dǎo)致嚴(yán)重的增益和相位失真。如果展示開環(huán)增益和所選運(yùn)放的低、高頻兩個(gè)極點(diǎn)如何影響整體動(dòng)態(tài)響應(yīng)，您就可選擇恰當(dāng)?shù)脑獬绊懡辉剿璧脑鲆婧拖辔恍阅鼙碚?。文本共有兩部分，這第一部分主要介紹開環(huán)增益的影響，特意先不談低頻和高頻兩極點(diǎn)。

01

不同補(bǔ)償器的類別

補(bǔ)償器的作用是形成一個(gè)給定電路的頻率響應(yīng)，以便一旦閉環(huán)，控制系統(tǒng)表現(xiàn)出所需的交越頻率fc和適當(dāng)?shù)南辔?增益裕度。補(bǔ)償器通過在fc的一些中期波段的增益或衰減強(qiáng)行形成0 dB交越點(diǎn)。相位裕度jm由補(bǔ)償器在fc表現(xiàn)出的相位提升 (phase boost)量調(diào)節(jié)。增益裕度取決于交越后補(bǔ)償器調(diào)降增益的能力。
補(bǔ)償器有不同的類型，其在開關(guān)轉(zhuǎn)換器中通常稱為type 1、type 2和type 3。所有三個(gè)型號在原點(diǎn)都有一個(gè)極點(diǎn)以提供最大可用準(zhǔn)靜態(tài)增益 （S=0），從而提供一個(gè)精確的輸出變量。type-1補(bǔ)償器是個(gè)簡單的積分電路，完全不提供相位提升。type 2基于type 1，增加了一個(gè)極/零對，最多有90°的相位提升，常見于電流模式電源，可提供大量補(bǔ)償。type-3電路提供另一個(gè)極零對，可提升相位達(dá)180°。更多信息請查閱[1]。

圖1：您選擇的補(bǔ)償器與您想要的相位提升量有關(guān)

Type 1 – 無提升

Type 2 – 提升達(dá)90°

Type 3 – 提升達(dá)180°

02

簡介快速分析技術(shù)（FACTs）

快速分析技術(shù) （Fast Analytical Techniques ，簡稱FACT）的基本原理是確定在兩個(gè)不同條件下的電路時(shí)間常數(shù)：激勵(lì)信號消失 （Vout降至0V）時(shí)和響應(yīng)清零 （VFB=0）時(shí)。
一個(gè)具有非零準(zhǔn)靜態(tài)增益的第一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為：

（1）

首項(xiàng)G0是S=0時(shí)系統(tǒng)表現(xiàn)出的增益。分子的N(s)控制傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。在數(shù)學(xué)上，零點(diǎn)是個(gè)特定的點(diǎn)sz，無信號響應(yīng)。從理論上講，考慮到激勵(lì)信號覆蓋整個(gè)s面 （諧波模式下不僅在垂直軸），當(dāng)輸入信號調(diào)到零角頻率sz，零點(diǎn)表現(xiàn)為無信號的輸出響應(yīng)。電路中一些特定阻抗組合阻擋了信號傳播，響應(yīng)為0V，盡管存在激勵(lì)源。零點(diǎn)是分子的根。
分母D(s)由電路自然時(shí)間常數(shù)構(gòu)成。通過設(shè)置激勵(lì)信號為0和確定這種結(jié)構(gòu)中所考慮的電容或電感“所示”的阻抗而得出這些時(shí)間常數(shù)t= RC或t= L/R。如您想象把歐姆表置于暫時(shí)移除的電容或電感器，并讀取它顯示的電阻。您看圖2的無源電路，可看到一個(gè)注入源 （換言之，一個(gè)激勵(lì)源）正加偏壓于左邊網(wǎng)絡(luò)。輸入信號通過網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)傳輸，形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)。

圖2：確定電路的時(shí)間常數(shù)需要將激勵(lì)源設(shè)為0，并看看從電路中暫時(shí)移除的能量存儲元件所提供的電阻。

The response：響應(yīng)

The excitation：激勵(lì)源

本例我們將激勵(lì)源設(shè)為0 （由短路代替0V電壓源，開路代替0A電流源），拆下電容器。然后我們想象連接一個(gè)歐姆表，以確定由電容器端提供的電阻 (如圖3)。

圖3：由短路代替0V源后確定電容器端的電阻。

The excitation is set to 0：激勵(lì)源設(shè)為0

For example：例如

您“想象” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時(shí)間常數(shù)只通過R和C1即可計(jì)算得出：

（2）

我們可證明，第一階系統(tǒng)的極點(diǎn)是其時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。因此：

（3）

s = 0時(shí)這個(gè)電路的準(zhǔn)靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應(yīng)用于圖2的電路，繪制成如圖4所示。想象在R4前斷開連接，會看到一個(gè)含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧 (Thévenin)電壓為：

（4）

輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器 (由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：

（5）

圖4：您斷開直流電路中的電容器，計(jì)算這簡單的電阻配置的傳遞函數(shù)。

我們?nèi)绾沃朗欠裼辛泓c(diǎn)？技巧是：您想象圖2的電路，使電容C1短路?，F(xiàn)在假設(shè)您為具有短路電容器的電路提供激勵(lì)信號。您能夠基于示波器觀察Vout的響應(yīng)嗎？當(dāng)然rC使R3短路，盡管振幅可能低，輸入信號仍會傳輸并有響應(yīng)。若“盡管C1短路但仍有響應(yīng)”，那么有與C1有關(guān)的零點(diǎn)。處理含電感L1的電路亦然 (但采用電感開路)。
零點(diǎn)通過阻斷激勵(lì)信號的傳輸而在電路中表現(xiàn)出來，輸出響應(yīng)為0。若我們考慮一個(gè)變形電路–其中C1由代替–如圖5，當(dāng)激勵(lì)源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號響應(yīng)？無信號響應(yīng)只意味流過R3的電流為0。若電阻沒有電流，沒有電壓施加和Vout是0 V，這不是短路，而是虛擬的接地。

圖5：在這變形電路中，當(dāng)串聯(lián)的rC和C1轉(zhuǎn)化為短路，響應(yīng)消失。

若R3沒有電流，那么串聯(lián)的rC和轉(zhuǎn)化為短路：

（6）

根sz是我們想要的零點(diǎn)位置：

（7）

從而有：

（8）

現(xiàn)在，我們可組合所有這些結(jié)果，形成以圖2電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：

（9）

這就是所謂的低熵表達(dá)式，您可立即識別增益、極點(diǎn)和零點(diǎn)。高熵表達(dá)式將在考慮阻抗分壓器時(shí)通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得，如：

（10）

請注意（9）沒有一行代數(shù)。這易于發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)單獨(dú)修復(fù)。（9）的校正很容易。現(xiàn)嘗試對（10）進(jìn)行相同的修正，無需從頭開始。您比對一下，采用Mathcad®表繪制的表達(dá)式（9）和（10）的頻率響應(yīng)相同（圖6）。

圖6：快速M(fèi)athcad®顯示用FACT推導(dǎo)出的表達(dá)式是否與由原表達(dá)式返回的響應(yīng)相匹配。

未完待續(xù)，下周六見…


參考文獻(xiàn)

1、C. Basso, “ Designing      Control Loops for Linear and Switching Converters – A Tutorial Guide”,      Artech House 2012, ISBN 978-1-60807-557-7

2、C. Basso, “Linear      Circuit Transfer Functions – An Introduction to Fast Analytical Techniques”,      Wiley 2016, ISBN 978-1-119-23637-5

3、V. Vorpérian, “Fast      Analytical Techniques for Electrical and Electronic Circuits”, Cambridge University Press 2002, ISBN      978-0-521-624428

4、C. Basso, “Fast      Analytical Techniques at Work with Small-Signal Modeling”, APEC      Professional Seminar, Long Beach (CA), 2016, http://cbasso.pagesperso-orange.fr/Spice.htm

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