神經網絡在1980年代復興歸功于物理學家約翰·霍普菲爾德（Hopfield）。1982年，霍普菲爾德提出了一種新的神經網絡，可以解決一大類模式識別問題，還可以給出一類組合優(yōu)化問題的近似解。這種神經網絡模型后被稱為Hopfield神經網絡。
Hopfield神經網絡是一種循環(huán)神經網絡［請參見公眾號“科技優(yōu)化生活”之人工智能（23）］，由約翰·霍普菲爾德發(fā)明，他將物理學的相關思想（動力學）引入到神經網絡的構造中，從而形成了Hopfield神經網絡。貝爾實驗室在1987年成功在Hopfield神經網絡的基礎上研制出了神經網絡芯片。
Hopfield神經網絡是一種遞歸神經網絡，從輸出到輸入均有反饋連接，每一個神經元跟所有其他神經元相互連接，又稱為全互聯(lián)網絡。
Hopfield神經網絡概述：
Hopfield神經網絡HNN（Hopfiled Neural Network）是一種結合存儲系統(tǒng)和二元系統(tǒng)的神經網絡。它保證了向局部極小的收斂，但收斂到錯誤的局部極小值（local minimum），而非全局極?。╣lobal minimum）的情況也可能發(fā)生。Hopfield神經網絡也提供了模擬人類記憶的模型。
Hopfield神經網絡是反饋神經網絡，其輸出端又會反饋到其輸入端，在輸入的激勵下，其輸出會產生不斷的狀態(tài)變化，這個反饋過程會一直反復進行。假如Hopfield神經網絡是一個收斂的穩(wěn)定網絡，則這個反饋與迭代的計算過程所產生的變化越來越小，一旦達到了穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，Hopfield網絡就會輸出一個穩(wěn)定的恒值。
對于一個Hopfield神經網絡來說，關鍵在于確定它在穩(wěn)定條件下的權系數(shù)。
Hopfield神經網絡分為兩種：1）離散型Hopfield神經網絡；2）連續(xù)型Hopfield神經網絡。
離散型Hopfield神經網絡：
Hopfield最早提出的網絡是二值神經網絡，各神經元的激勵函數(shù)為階躍函數(shù)或雙極值函數(shù)，神經元的輸入、輸出只取{0，1}或者{ -1，1}，所以也稱為離散型Hopfield神經網絡DHNN（Discrete Hopfiled Neural Network）。在DHNN中，所采用的神經元是二值神經元；因此，所輸出的離散值1和0或者1和-1分別表示神經元處于激活狀態(tài)和抑制狀態(tài)。
離散Hopfield神經網絡DHNN是一個單層網絡，有n個神經元節(jié)點，每個神經元的輸出均接到其它神經元的輸入。各節(jié)點沒有自反饋。每個節(jié)點都可處于一種可能的狀態(tài)（1或－1），即當該神經元所受的刺激超過其閥值時，神經元就處于一種狀態(tài)（比如1），否則神經元就始終處于另一狀態(tài)（比如－1）。
DHNN有兩種工作方式：
1）串行（異步）方式：在時刻t時，只有某一個神經元j的狀態(tài)發(fā)生變化，而其他n-1個神經元的狀態(tài)不變，稱為串行工作方式。并且有：
2）并行（同步）方式：在任一時刻t，所有的神經元的狀態(tài)都產生了變化，稱為并行工作方式。并且有：
DHNN穩(wěn)定性：
假設一個DHNN，其狀態(tài)為Y（t）：
如果對于任何Δt》0，當神經網絡從t=0開始，有初始狀態(tài)Y（0）。經過有限時刻t，有：
Y（t+Δt）=Y（t）
則認為該DHNN網絡是穩(wěn)定的，稱其狀態(tài)為為穩(wěn)定狀態(tài)。DHNN網絡的穩(wěn)定狀態(tài)X就是網絡的吸引子（attractor），用于存儲記憶信息。串行方式下的穩(wěn)定性稱為串行穩(wěn)定性；并行方式下的穩(wěn)定性稱為并行穩(wěn)定性。
DHNN是一種多輸入、含有閾值的二值非線性動態(tài)系統(tǒng)。在動態(tài)系統(tǒng)中，平衡穩(wěn)定狀態(tài)可以理解為系統(tǒng)某種形式的能量函數(shù)（energy funcTIon）在系統(tǒng)運行過程中，其能量不斷減少，最后處于最小值。
DHNN穩(wěn)定的充分條件：如果DHNN的權系數(shù)矩陣W是一個對稱矩陣，并且對角線元素為0，則這個網絡是穩(wěn)定的。即在權系數(shù)矩陣W中，如果：
則該DHNN是穩(wěn)定的。
W是一個對稱矩陣僅是充分條件，不是必要條件。
DHNN聯(lián)想記憶功能：
DHNN一個重要功能是可以用于聯(lián)想記憶，即聯(lián)想存儲器，這是人類的智能特點之一。
要實現(xiàn)聯(lián)想記憶，DHNN必須具有兩個基本條件：
1） 網絡能收斂到穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，并以其作為樣本的記憶信息；
2） 具有回憶能力，能夠從某一殘缺的信息回憶起所屬的完整的記憶信息。
DHNN實現(xiàn)聯(lián)想記憶過程分為兩個階段：
1）學習記憶階段： 設計者通過某一設計方法確定一組合適的權值，使DHNN記憶期望的穩(wěn)定平衡點。
2）聯(lián)想回憶階段： DHNN的工作過程。
記憶是分布式的，而聯(lián)想是動態(tài)的。
對于DHNN，由于網絡狀態(tài)是有限的，不可能出現(xiàn)混沌狀態(tài)。
DHNN局限性：
1）記憶容量的有限性；
2）偽穩(wěn)定點的聯(lián)想與記憶；
3）當記憶樣本較接近時，網絡不能始終回憶出正確的記憶等；
4）DHNN平衡穩(wěn)定點不可以任意設置，也沒有一個通用的方式來事先知道平衡穩(wěn)定點。
連續(xù)型Hopfield神經網絡：
連續(xù)Hopfield神經網絡CHNN（ConTInuous Hopfield Neural Network）與DHNN在拓撲結構上是一致的。
CHNN穩(wěn)定性：
CHNN穩(wěn)定條件要求：
CHNN與DHNN不同之處在于其函數(shù)g不是階躍函數(shù)，而是S型的連續(xù)函數(shù)。一般?。?/p>
CHNN在時間上是連續(xù)的，所以CHNN網絡中各個神經元是處于同步方式工作的。
當CHNN網絡的神經元傳遞函數(shù)g是連續(xù)且有界的（如Sigmoid函數(shù)），并且CHNN網絡的權值系數(shù)矩陣對稱，則這個CHNN網絡是穩(wěn)定的。
優(yōu)化問題：
在實際應用中的系統(tǒng)，如果其優(yōu)化問題可以用能量函數(shù)E（t）作為目標函數(shù)，那么CHNN網絡和優(yōu)化問題直接對應。這樣，大量優(yōu)化問題都可以用CHNN網絡來求解。這也是Hopfield網絡用于神經計算的基本原因。
CHNN與DHNN主要區(qū)別：
CHNN與DHNN的主要差別在于：CHNN神經元激活函數(shù)使用Sigmoid函數(shù)，而DHNN神經元激活函數(shù)使用了硬極限函數(shù)。
Hopfield神經網絡應用：
Hopfield神經網絡早期應用包括按內容尋址存儲器，模數(shù)轉換及優(yōu)化組合計算等。具有代表意義的是解決TSP問題，1985年Hopfield和Tank用Hopfield網絡求解N=30的TSP問題，從而創(chuàng)建了神經網絡優(yōu)化的新途徑。除此之外，Hopfield 神經網絡在人工智能之機器學習、聯(lián)想記憶、模式識別、優(yōu)化計算、VLSI和光學設備的并行實現(xiàn)等方面有著廣泛應用。
結語：
Hopfield神經網絡（HNN）是一種具有循環(huán)、遞歸特性，結合存儲和二元系統(tǒng)的神經網絡。由約翰·霍普菲爾德在1982年發(fā)明。對于一個Hopfield神經網絡來說，關鍵在于確定它在穩(wěn)定條件下的權系數(shù)。Hopfield神經網絡分為離散型和連續(xù)型兩種，主要差別在于激活函數(shù)的不同。Hopfield神經網絡（HNN）提供了模擬人類記憶的模型。它在人工智能之機器學習、聯(lián)想記憶、模式識別、優(yōu)化計算、VLSI和光學設備的并行實現(xiàn)等方面有著廣泛應用。
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