史上最經(jīng)典的“史密斯圓圖”講解

不管多么經(jīng)典的射頻教程，為什么都做成黑白的呢？

讓想理解史密斯原圖的同學(xué)一臉懵逼。

這是什么東東？

今天解答三個(gè)問題：是什么？為什么？干什么？

1

是什么？

該圖表是由菲利普·史密斯(Phillip Smith)于1939年發(fā)明的，當(dāng)時(shí)他在美國(guó)的RCA公司工作。史密斯曾說過，“在我能夠使用計(jì)算尺的時(shí)候，我對(duì)以圖表方式來表達(dá)數(shù)學(xué)上的關(guān)聯(lián)很有興趣”。

史密斯圖表的基本在于以下的算式：

當(dāng)中的Γ代表其線路的反射系數(shù)(reflection coefficient)。

即S參數(shù)(S-parameter)里的S11，ZL是歸一負(fù)載值，即ZL / Z0。當(dāng)中，ZL是線路本身的負(fù)載值，Z0是傳輸線的特征阻抗(本征阻抗)值，通常會(huì)使用50Ω。

簡(jiǎn)單的說：就是類似于數(shù)學(xué)用表一樣，通過查找，知道反射系數(shù)的數(shù)值。

2

為什么？

我們現(xiàn)在也不知道，史密斯先生是怎么想到“史密斯圓圖”表示方法的靈感，是怎么來的。

很多同學(xué)看史密斯原圖，死記硬背，不得要領(lǐng)，其實(shí)沒有揣摩，史密斯老先生的創(chuàng)作意圖。

我個(gè)人揣測(cè)：是不是受到黎曼幾何的啟發(fā)，把一個(gè)平面的坐標(biāo)系，給“掰彎”了。

我在表述這個(gè)“掰彎”的過程，你就理解，這個(gè)圖的含義了。(坐標(biāo)系可以掰彎、人盡量不要“彎”；如果已經(jīng)彎了，本人表示祝福）

現(xiàn)在，我就掰彎給你看。

世界地圖，其實(shí)是一個(gè)用平面表示球體的過程，這個(gè)過程是一個(gè)“掰直”。

史密斯原圖，巧妙之處，在于用一個(gè)圓形表示一個(gè)無窮大的平面。

2.1 "無窮大"的平面

首先的首先，我們復(fù)習(xí)一下理想的電阻、電容、電感的阻抗。

在具有電阻、電感和電容的電路里，對(duì)電路中的電流所起的阻礙作用叫做阻抗。阻抗常用Z表示，是一個(gè)復(fù)數(shù)，實(shí)際稱為電阻，虛稱為電抗，其中電容在電路中對(duì)交流電所起的阻礙作用稱為容抗 ,電感在電路中對(duì)交流電所起的阻礙作用稱為感抗，電容和電感在電路中對(duì)交流電引起的阻礙作用總稱為電抗。 阻抗的單位是歐姆。

R，電阻：在同一電路中，通過某一導(dǎo)體的電流跟這段導(dǎo)體兩端的電壓成正比，跟這段導(dǎo)體的電阻成反比,這就是歐姆定律。

標(biāo)準(zhǔn)式： 

理想的電阻就是實(shí)數(shù)，不涉及復(fù)數(shù)的概念。

如果引入數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)的概念，就可以將電阻、電感、電容用相同的形式復(fù)阻抗來表示。既：電阻仍然是實(shí)數(shù)R(復(fù)阻抗的實(shí)部)，電容、電感用虛數(shù)表示，分別為：

Z=R+i(ωL–1/(ωC))

說明：負(fù)載是電阻、電感的感抗、電容的容抗三種類型的復(fù)物，復(fù)合后統(tǒng)稱“阻抗”，寫成數(shù)學(xué)公式即是：阻抗Z= R+i(ωL–1/(ωC))。其中R為電阻，ωL為感抗，1/(ωC)為容抗。

（1）如果(ωL–1/ωC)>0，稱為“感性負(fù)載”；

（2）反之，如果(ωL–1/ωC)<0，稱為“容性負(fù)載”。

我們仔細(xì)看阻抗公式，它不再是一個(gè)實(shí)數(shù)。因?yàn)殡娙?、電感的存在，它變成了一個(gè)復(fù)數(shù)。

電路中如果只有電阻，只影響幅度變化。

我們通過上圖，我們知道，正弦波的幅度發(fā)生了變化，同時(shí)，相位也發(fā)生了變化，同時(shí)頻率特性也會(huì)變化。所以我們?cè)谟?jì)算的過程中，即需要考慮實(shí)部，也需要考慮虛部。

我們可以在一個(gè)復(fù)平面里面，以實(shí)部為x軸、以虛部為y軸，表示任意一個(gè)復(fù)數(shù)。我們的阻抗，不管多少電阻、電容、電感串聯(lián)、并聯(lián)，之后，都可以表示在一個(gè)復(fù)平面里面。

在RLC串聯(lián)電路中，交流電源電壓U=220V，頻率f=50Hz，R=30 Ω，L=445mH，C=32 mF。

在上圖中，我們看到通過幾個(gè)矢量的疊加，最終阻抗在復(fù)平面中，落在了藍(lán)色的圓點(diǎn)位置。

所以，任意一個(gè)阻抗的計(jì)算結(jié)果，我們都可以放在這個(gè)復(fù)平面的對(duì)應(yīng)位置。

各種阻抗的情況，組成了這個(gè)無窮大的平面。

2.2 反射公式

信號(hào)沿傳輸線向前傳播時(shí)，每時(shí)每刻都會(huì)感受到一個(gè)瞬態(tài)阻抗，這個(gè)阻抗可能是傳輸線本身的，也可能是中途或末端其他元件的。對(duì)于信號(hào)來說，它不會(huì)區(qū)分到底是什么，信號(hào)所感受到的只有阻抗。如果信號(hào)感受到的阻抗是恒定的，那么他就會(huì)正常向前傳播，只要感受到的阻抗發(fā)生變化，不論是什么引起的(可能是中途遇到的電阻、電容、電感、過孔、PCB轉(zhuǎn)角、接插件)，信號(hào)都會(huì)發(fā)生反射。 

錢塘江大潮，就是河道的寬度變化引起了反射，這跟電路中阻抗不連續(xù)，導(dǎo)致信號(hào)反射，可以類比。反射聚集的能量疊加在一起，引起的過沖。也許這個(gè)比喻不恰當(dāng)，但是挺形象。

那么有多少被反射回傳輸線的起點(diǎn)？衡量信號(hào)反射量的重要指標(biāo)是反射系數(shù)，表示反射電壓和原傳輸信號(hào)電壓的比值。

反射系數(shù)定義為：

其中：Z0為變化前的阻抗，ZIN為變化后的阻抗。假設(shè)PCB線條的特性阻抗為50歐姆，傳輸過程中遇到一個(gè)100歐姆的貼片電阻，暫時(shí)不考慮寄生電容電感的影響，把電阻看成理想的純電阻，那么反射系數(shù)為：

信號(hào)有1/3被反射回源端。

如果傳輸信號(hào)的電壓是3.3V電壓，反射電壓就是1.1V。 純電阻性負(fù)載的反射是研究反射現(xiàn)象的基礎(chǔ)，阻性負(fù)載的變化無非是以下四種情況：阻抗增加有限值、減小有限值、開路（阻抗變?yōu)闊o窮大）、短路（阻抗突然變?yōu)?）。 

初始電壓，是源電壓Vs（2V）經(jīng)過Zs（25歐姆）和傳輸線阻抗（50歐姆）分壓。

Vinitial=1.33V

后續(xù)的反射率按照反射系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算：

源端的反射率，是根據(jù)源端阻抗（25歐姆）和傳輸線阻抗（50歐姆）根據(jù)反射系數(shù)公式計(jì)算為-0.33。

終端的反射率，是根據(jù)終端阻抗（無窮大）和傳輸線阻抗（50歐姆）根據(jù)反射系數(shù)公式計(jì)算為1。

我們按照每次反射的幅度和延時(shí)，在最初的脈沖波形上進(jìn)行疊加就得到了這個(gè)波形，這也就是為什么，阻抗不匹配造成信號(hào)完整性不好的原因。

那么我們做一個(gè)重要的假設(shè)！

為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Z0(特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù)，是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值，如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。

假設(shè)Z0一定，為50歐姆。(為什么是50歐姆，此處暫時(shí)不表；當(dāng)然也可以做其他假設(shè)，便于理解，我們先定死為50Ω)

那么，根據(jù)反射公式，我們得到一個(gè)重要的結(jié)論：

每一個(gè)Zin對(duì)應(yīng)唯一的 “?！保瓷湎禂?shù)。

我們把對(duì)應(yīng)關(guān)系描繪到剛剛我們說的“復(fù)平面”。

于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗：

據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫為：

好了，我們?cè)趶?fù)平面里面，忘記Zin，只記得z(小寫)和反射系數(shù)“?！薄?/span>

準(zhǔn)備工作都做好了，下面我們準(zhǔn)備“彎了”

2.3 掰彎

在復(fù)平面中，有三個(gè)點(diǎn)，反射系數(shù)都為1，就是橫坐標(biāo)的無窮大，縱坐標(biāo)的正負(fù)無窮大。歷史上的某天，史密斯老先生，如有神助，把黑色線掰彎了，把上圖中，三個(gè)紅色圈標(biāo)注的點(diǎn)，捏到一起。

彎了，彎了：

圓了，圓了：

完美的圓：

雖然，無窮大的平面變成了一個(gè)圓，但是，紅線還是紅線，黑線還是黑線。

同時(shí)我們?cè)?，原來的?fù)平面中增加三根線，它們也隨著平面閉合而彎曲。

• 黑色的線上的阻抗，有個(gè)特點(diǎn)：實(shí)部為0；(電阻為0)

• 紅色的線上的阻抗，有個(gè)特點(diǎn)：虛部為0；(電感、電容為0)

• 綠色的線上的阻抗，有個(gè)特點(diǎn)：實(shí)部為1；(電阻為50歐姆)

• 紫色的線上的阻抗，有個(gè)特點(diǎn)：虛部為-1；

• 藍(lán)色的線上的阻抗，有個(gè)特點(diǎn)：虛部為1。

線上的阻抗特性，我們是從復(fù)平面，平移到史密斯原圖的，所以特性跟著顏色走，特性不變。

下半圓與上半圓是一樣的劃分。

因?yàn)槭访芩箞A圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度。

2.4 史密斯圓圖表示RF應(yīng)用的實(shí)例

已知特性阻抗為50Ω，負(fù)載阻抗如下：

對(duì)上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中(見圖A)：

圖A

我們看不清上圖。

如果是“串聯(lián)”，我們可以在清晰的史密斯原圖上，先確定實(shí)部(紅線上查找，原來復(fù)平面的橫坐標(biāo))，再根據(jù)虛部的正負(fù)，順著圓弧滑動(dòng)，找到我們對(duì)應(yīng)的阻抗。(先忽略下圖中的綠色線)

現(xiàn)在可以通過圓圖直接解出反射系數(shù)Γ。

我們既可以通過直角坐標(biāo)，去直接讀取反射系數(shù)的值，也可以通過極坐標(biāo)，讀取反射系數(shù)的值。

?直角坐標(biāo)

畫出阻抗點(diǎn)(等阻抗圓和等電抗圓的交點(diǎn))，只要讀出它們?cè)谥苯亲鴺?biāo)水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實(shí)部Γr和虛部Γi(見圖B)。

該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對(duì)應(yīng)的反射系數(shù)Γ：

 

圖B

從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)Γ的實(shí)部和虛部。

?極坐標(biāo)

極坐標(biāo)表示，有什么用？非常有用，這其實(shí)也是史密斯原圖的目的。

2.5 紅色陣營(yíng)VS綠色陣營(yíng)

剛剛我們已經(jīng)注意到，史密斯原圖，除了有紅色的曲線，是從阻抗復(fù)平面掰彎，過來的紅色世界。同時(shí)，在圖中，還有綠色的曲線，他們是從導(dǎo)納復(fù)平面，掰彎產(chǎn)生的。過程跟剛剛的過程是一樣的。

那么這個(gè)導(dǎo)納的綠色，有什么用呢？

并聯(lián)電路，用導(dǎo)納計(jì)算，我們會(huì)很便利。同時(shí)在史密斯原圖中，我們用導(dǎo)納的綠色曲線進(jìn)行查詢，也會(huì)很方便。

如圖，這樣并聯(lián)一個(gè)電容，通過綠色的曲線很快就可以查詢到對(duì)應(yīng)的歸一化阻抗和反射系數(shù)。

3

干什么？

解釋和介紹了史密斯圓圖這么長(zhǎng)的段落，別忘了，我們想干什么。我們實(shí)際是希望，我們?cè)O(shè)計(jì)的電路反射系數(shù)越接近0越好。

但是，什么樣的電路是合格的電路呢？反射系數(shù)不可能理想的為0，那么我們對(duì)反射系數(shù)，有什么樣的要求呢？

我們希望反射系數(shù)的絕對(duì)值小于1/3，即反射系數(shù)落入史密斯圓圖的藍(lán)色區(qū)域中(如下圖)。

這個(gè)藍(lán)色的球，有什么特色呢？其實(shí)我們通過史密斯原圖的數(shù)值已經(jīng)清楚的發(fā)現(xiàn)。在中軸線，也就是之前說的紅線上，分別是25歐姆，和100歐姆兩個(gè)位置。即：Zin在1/2倍Zo和2倍Zo之間的區(qū)域。

也就是，我們打靶打在藍(lán)色區(qū)域，即認(rèn)為反射系數(shù)是可以接受的。

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