淺析傅里葉分析

傅里葉分析的起源

傅里葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他在1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，論文里描述運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)此論文的發(fā)表，而后在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。
那到底誰(shuí)才是正確的呢？拉格朗日的觀點(diǎn)是：正弦曲線無(wú)法組成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。這是對(duì)的，但是，我們卻可以用正弦信號(hào)來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種方法不存在能量差異，這樣來(lái)理解的話，那傅里葉是正確的。

如何表示的？

傅里葉在這里所提出的，任何連續(xù)周期信號(hào)都可以用一組連續(xù)的正弦曲線組合而成，是怎么一個(gè)表示法呢，我們用一個(gè)例子來(lái)進(jìn)行說(shuō)明：

從上圖中，我們可以看出，a 圖是一個(gè)正弦波，b 圖是三個(gè)不同頻率的正弦波疊加而成，c 圖是由 7 個(gè)不同頻率的正弦波疊加而成，d 圖是由 19 個(gè)不同頻率的正弦波疊加而成。從上圖中可以看出，隨著疊加的波形個(gè)數(shù)的增加，得到的波形愈來(lái)愈接近一個(gè)方波。
到這里也很容易想明白，明明是正弦波，疊加起來(lái)卻趨近成一個(gè)方波，隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個(gè)矩形就這么疊加而成了。那需要多少個(gè)這樣的波形呢？答案也是顯然的，需要無(wú)窮個(gè)。
下面是一個(gè)更加直觀的圖：

在有了上述的直觀理解之后，我們?cè)賮?lái)觀察傅里葉級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，

可以看到 f(t) 可以分解成各個(gè)頻率的正弦信號(hào)的疊加，最開(kāi)始的 a0 可以看成是一個(gè)直流分量的疊加。

有何意義

再明白了任意一個(gè)周期信號(hào)都可以由一組適當(dāng)?shù)恼倚盘?hào)組成之后，我們來(lái)看一下這樣做的意義又是如何呢？這里就要引入頻域的概念。
我們?cè)谏钪心軌蚋惺艿降氖侨f(wàn)事萬(wàn)物都在隨著時(shí)間發(fā)生改變，但是很多情況下，如果從時(shí)間的尺度去觀察，不能看出什么比較顯著的特征，這個(gè)時(shí)候，就需要從頻域的尺度去觀察。
在這里，筆者仍舊以方波為例進(jìn)行分析，下圖是方波分解得到的一系列的正弦信號(hào)，以及圖片中所展示的，頻域圖像和時(shí)域圖像。

我們通過(guò)上圖可以看到頻域圖像是由方波所得到的一系列的正弦信號(hào)的幅值在對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)上的投影，這樣就構(gòu)成了我們的頻域圖像。也就是說(shuō)我們通過(guò)傅里葉變換將原信號(hào)進(jìn)行分解，然后將分解出的信號(hào)的幅值投影在其所對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)處，從而使得我們能夠從頻域的角度去分析和處理信號(hào)，其中最為普遍的一個(gè)應(yīng)用就是在得到的原始信號(hào)的頻域圖后，我們就可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，去除我們所不需要的頻率成分。下圖是一個(gè)關(guān)于傅里葉變換的動(dòng)圖展示，能夠方便我們更好地理解.

傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換的關(guān)系

我們?cè)诮佑|到傅里葉分析信號(hào)的時(shí)候，會(huì)涉及到兩個(gè)概念，一個(gè)就是傅里葉級(jí)數(shù)，一個(gè)就是傅里葉變換，那兩者之間的關(guān)系是什么呢？對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)講，它是針對(duì)于周期信號(hào)的，但是不能夠處理非周期的信號(hào)，而傅里葉變換就可以處理非周期的信號(hào)。
下圖展示了這樣一個(gè)區(qū)別：

我們可以看到 （a）和 （b）就是針對(duì)于周期信號(hào)而言的，它通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)的方式將圖像變換到頻域，并且由圖像可以看出周期信號(hào)變換得到的頻域圖像是離散的，但是針對(duì)于 （c）圖來(lái)說(shuō)，信號(hào)是非周期的，針對(duì)于非周期信號(hào)的處理方式需要使用傅里葉變換來(lái)進(jìn)行處理，他的頻域圖像是連續(xù)的。進(jìn)一步來(lái)進(jìn)行分析，a -> b -> c 的原始信號(hào)的周期可以看成是依次增大的一個(gè)過(guò)程，非周期信號(hào)的周期可以看成是無(wú)窮大，周期越大，頻率也就越小，那么對(duì)應(yīng)于頻域譜的譜線之間的距離就越近，周期無(wú)窮大，那么頻域也就變成連續(xù)的了。

總結(jié)

針對(duì)于傅里葉分析來(lái)說(shuō)，筆者上述所分享的內(nèi)容都沒(méi)有對(duì)應(yīng)的計(jì)算說(shuō)明，只是通過(guò)圖進(jìn)行直觀地闡述，雖然理解起來(lái)更加直觀了，但是，如果要達(dá)到對(duì)于傅里葉分析的深刻理解，仍然要進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，從數(shù)學(xué)層面去深刻理解，才能達(dá)到對(duì)于這個(gè)知識(shí)的熟練運(yùn)用。