自適應(yīng)耦合TV和高階PDE的圖像放大模型

　　圖像放大指增大圖像尺寸或提高其分辨率，同時(shí)保持較高的質(zhì)量，以得到一個(gè)較好的視覺效果，或突出某些細(xì)節(jié)。圖像放大通?？煞謨刹竭M(jìn)行：首先對(duì)圖像進(jìn)行空間變換;其次對(duì)圖像進(jìn)行灰度級(jí)插值、處理。

　　傳統(tǒng)的線性插值算法有最近鄰法、雙線性插值法以及三次樣條插值法等。這些方法用一些已知的簡(jiǎn)單函數(shù)根據(jù)一定的光滑性要求逼近原圖像。它們有其固有的缺點(diǎn)，如放大后的圖像邊緣模糊化和邊緣鋸齒化，而且放大倍數(shù)越大，這些現(xiàn)象越明顯。自適應(yīng)插值方法在空間上使插值系數(shù)較好地匹配邊緣附近的局部圖像結(jié)構(gòu)，但在選擇和估計(jì)感興趣的邊緣時(shí)會(huì)導(dǎo)致誤差。邊緣指導(dǎo)的插值方法利用有限的對(duì)于邊緣的方向和幅度的量化來(lái)擬合圖像的亞像素邊緣，阻止跨邊緣的插值，因而能夠產(chǎn)生尖銳的邊緣，但對(duì)于邊緣的擬合過于簡(jiǎn)單和粗糙，且會(huì)丟失一些圖像特征。其他還有基于凸集投影的迭代方法，基于小波變換和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法等，這些方法在性能上仍然有待提高，特別是在圖像含有噪聲的情況下。

　　基于偏微分方程(ParTIal DifferenTIal EquaTIons，PDE)的圖像放大方法是在插值圖像的基礎(chǔ)上，通過迭代演化求解擴(kuò)散方程，從而得到高分辨率圖像，并去除噪聲和人工痕跡等的影響。由于可以很方便地引入先驗(yàn)知識(shí)，其獲得了良好的處理性能，已引起了廣泛關(guān)注，其中主流是基于正則化的PDE方法。各向同性擴(kuò)散的PDE模型放大圖像時(shí)容易出現(xiàn)邊緣模糊、細(xì)節(jié)特征丟失等現(xiàn)象。而各向異性擴(kuò)散的PDE雖然能在某種程度上保持放大圖像的細(xì)節(jié)特征，但隨著迭代求解次數(shù)的增加，圖像部分重要信息會(huì)偏離原圖像，導(dǎo)致圖像模糊。采用總變分(Total V-ariaTIon，TV)模型進(jìn)行圖像放大，能夠有效保持突變邊緣，且收斂速度快，但在平坦區(qū)域和漸變區(qū)域會(huì)產(chǎn)生分塊效應(yīng)。而四階PDE模型具有保持平坦區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn)，將其用于圖像放大會(huì)避免分塊效應(yīng)，但卻降低了邊緣等重要幾何結(jié)構(gòu)的清晰度。

　　為充分運(yùn)用四階PDE模型保持漸變區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn)，彌補(bǔ)總變分TV模型存在分塊效應(yīng)的不足，同時(shí)也保留了TV模型保持圖像中不連續(xù)邊緣的優(yōu)點(diǎn)，本文提出了自適應(yīng)耦合總變分TV和四階PDE的正則化圖像放大模型。根據(jù)圖像內(nèi)容合理調(diào)整耦合系數(shù)，在圖像漸變區(qū)域和平坦區(qū)域主要運(yùn)用四階模型進(jìn)行平滑，消除階梯效應(yīng)和分塊效應(yīng);在圖像的突變區(qū)域著重運(yùn)用TV模型進(jìn)行平滑，保持突變邊緣。仿真實(shí)驗(yàn)證明，本文算法能夠有效提高放大圖像的主觀視覺質(zhì)量和客觀保真度。

　　1 自適應(yīng)耦合TV和四階PDE的正則化圖像放大模型

　　TV模型最初用于圖像恢復(fù)中。設(shè)g，u分別表示低分辨率圖像和高分辨率圖像，根據(jù)極大似然原理，圖像放大可以歸結(jié)為如下不帶約束的正則化能量方程的極小化問題：

　　式中：D為圖像分辨率退化模型矩陣，刻畫了圖像獲取中的低通濾波和下采樣過程;式中第一項(xiàng)為逼近項(xiàng)，表示圖像和退化圖像的差異;第二項(xiàng)為圖像的正則化函數(shù)，它依賴于圖像，函數(shù)R(·)對(duì)圖像u加以約束，一般取為梯度的Lp(p>0)范數(shù);λ>O為L(zhǎng)agrange乘子，在逼近項(xiàng)和正則化函數(shù)之間起平衡作用。

　　如果選擇圖像梯度的L2范數(shù)作為正則化函數(shù)，則因?yàn)槔绽顾阕泳哂泻軓?qiáng)的各向同性擴(kuò)散特性，造成邊緣保持特性較差?？傋兎諸V模型用圖像梯度的L1范數(shù)代替L2范數(shù)，具有很好的邊緣保持特性。圖像的TV定義為：

　　式中：Ω是圖像區(qū)域。于是圖像放大問題就轉(zhuǎn)化成為如下無(wú)約束極小化問題：

　　式中：等式右端第一項(xiàng)為圖像的總變分范數(shù)(TV范數(shù))，它依賴于圖像的變分幅度。