再聊PID

網(wǎng)上關(guān)于PID算法的文章很多，但是感覺(jué)有必要自己再進(jìn)行一次總結(jié)，抽絲剝繭地重新認(rèn)識(shí)了一下PID；

• 1 前言

• 2 開(kāi)環(huán)控制

• 3 閉環(huán)控制

• 4 PID

• 4.1 系統(tǒng)架構(gòu)

• 4.2 理論基礎(chǔ)

• 4.3 離散化

• 4.4 偽算法

• 5 C++實(shí)現(xiàn)

• 6 總結(jié)

1 前言

控制系統(tǒng)通常根據(jù)有沒(méi)有反饋會(huì)分為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)，在閉環(huán)系統(tǒng)的控制中，PID算法非常強(qiáng)大，其三個(gè)部分分別為；

• P：比例環(huán)節(jié)；
• I：積分環(huán)節(jié)；
• D：微分環(huán)節(jié)；

PID算法可以自動(dòng)對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確且迅速的校正，因此被廣泛地應(yīng)用于工業(yè)控制系統(tǒng)。

2 開(kāi)環(huán)控制

首先來(lái)看開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)，如下圖所示，隆哥蒙著眼，需要走到虛線旗幟所表示的目標(biāo)位置，由于缺少反饋（眼睛可以感知當(dāng)前距離和位置，由于眼睛被蒙上沒(méi)有反饋，所以這也是一個(gè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)），最終隆哥會(huì)較大概率偏離預(yù)期的目標(biāo)，可能會(huì)運(yùn)行到途中實(shí)線旗幟所表示的位置。

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)如下所示；

這里做一個(gè)不是很恰當(dāng)?shù)谋扔鳎?/p>

• Input：告訴隆哥目標(biāo)距離的直線位置（ 10米）；
• Controller：隆哥大腦中計(jì)算出到達(dá)目標(biāo)所需要 走多少步；
• Process：雙腿作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，輸出了相應(yīng)的步數(shù)，但是最終仍然偏離了目標(biāo)；

看來(lái)沒(méi)有反饋的存在，很難準(zhǔn)確到達(dá)目標(biāo)位置。

3 閉環(huán)控制

所以為了準(zhǔn)確到達(dá)目標(biāo)位置，這里就需要引入反饋，具體如下圖所示；

在這里繼續(xù)舉個(gè)不怎么恰當(dāng)?shù)谋扔?；隆哥重獲光明之后，基本可以看到目標(biāo)位置了；

• 第一步 Input：告訴隆哥目標(biāo)距離的直線位置（ 10米）；
• 第二步 Controller：隆哥大腦中計(jì)算出到達(dá)目標(biāo)所需要 走多少步；
• 第三步 Process：雙腿作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，輸出了相應(yīng)的步數(shù)，但是最終仍然偏離了目標(biāo)；
• 第四步 Feedback： 通過(guò)視覺(jué)獲取到目前已經(jīng)前進(jìn)的距離，（比如 前進(jìn)了2米，那么還有 8米的偏差）；
• 第五步 err：根據(jù) 偏差重新計(jì)算所需要的步數(shù)，然后重復(fù)上述四個(gè)步驟，最終隆哥達(dá)到最終的目標(biāo)位置。
  
  

4 PID

4.1 系統(tǒng)架構(gòu)

雖然在反饋系統(tǒng)下，隆哥最終到達(dá)目標(biāo)位置，但是現(xiàn)在又來(lái)了新的任務(wù)，就是又快又準(zhǔn)地到達(dá)目標(biāo)位置。所以這里隆哥開(kāi)始采用PID Controller，只要適當(dāng)調(diào)整P，I和D的參數(shù)，就可以到達(dá)目標(biāo)位置，具體如下圖所示；

隆哥為了最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)目標(biāo)位置，進(jìn)行了不斷的嘗試，分別出現(xiàn)了以下幾種情況；

• 跑得太快，最終導(dǎo)致沖過(guò)了目標(biāo)位置還得往回跑；
• 跑得太慢，最終導(dǎo)致到達(dá)目標(biāo)位置所用時(shí)間太長(zhǎng)；

經(jīng)過(guò)不斷的嘗試，終于找到了最佳的方式，其過(guò)程大概如下圖所示；這里依然舉一個(gè)不是很恰當(dāng)?shù)谋扔鳎?/p>

• 第一步：得到與目標(biāo)位置的距離偏差（比如最開(kāi)始是 10米，后面會(huì)逐漸變小）；
• 第二步：根據(jù)誤差，預(yù)估需要多少速度，如何估算呢，看下面幾步；

P比例則是給定一個(gè)速度的大致范圍，滿足下面這個(gè)公式；

因此比例作用相當(dāng)于某一時(shí)刻的偏差（err）與比例系數(shù) 的乘積，具體如下所示；

綠色線為上述例子中從初始位置到目標(biāo)位置的距離變化；紅色線為上述例子中從初始位置到目標(biāo)位置的偏差變化，兩者為互補(bǔ)的關(guān)系；

I積分則是誤差在一定時(shí)間內(nèi)的和，滿足以下公式；

如下圖所示；

紅色曲線陰影部分面積即為積分作用的結(jié)果，其不斷累積的誤差，最終乘以積分系數(shù) 就得到了積分部分的輸出；

D微分則是誤差變化曲線某處的導(dǎo)數(shù)，或者說(shuō)是某一點(diǎn)的斜率，因此這里需要引入微分；

從圖中可知，當(dāng)偏差變化過(guò)快，微分環(huán)節(jié)會(huì)輸出較大的負(fù)數(shù)，作為抑制輸出繼續(xù)上升，從而抑制過(guò)沖。

綜上， ，分別增加其中一項(xiàng)參數(shù)會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成的影響總結(jié)如下表所示；

4.2 理論基礎(chǔ)

上面扯了這么多，無(wú)非是為了初步理解PID在負(fù)反饋系統(tǒng)中的調(diào)節(jié)作用，下面開(kāi)始推導(dǎo)一下算法實(shí)現(xiàn)的具體過(guò)程；PID控制器的系統(tǒng)框圖如下所示；

因此不難得出輸入 和輸出 的關(guān)系；

是比例增益； 是積分增益； 是微分增益；

4.3 離散化

在數(shù)字系統(tǒng)中進(jìn)行PID算法控制，需要對(duì)上述算法進(jìn)行離散化；假設(shè)系統(tǒng)采樣時(shí)間為 則將輸入 序列化得到；

將輸出 序列化得到；

• 比例項(xiàng)：
• 積分項(xiàng)：
• 微分項(xiàng)：

所以最終可以得到式①，也就是網(wǎng)上所說(shuō)的位置式PID：

將式①再做一下簡(jiǎn)化；

最終得到增量式PID的離散公式如下：

4.4 偽算法

這里簡(jiǎn)單總結(jié)一下增量式PID實(shí)現(xiàn)的偽算法；

previous_error?:=?0??//上一次偏差
integral?:=?0???//積分和

//循環(huán)?
//采樣周期為dt
loop:
?//setpoint?設(shè)定值
?//measured_value?反饋值
????error?:=?setpoint???measured_value?//計(jì)算得到偏差
????integral?:=?integral?+?error?×?dt?//計(jì)算得到積分累加和
????derivative?:=?(error???previous_error)?/?dt?//計(jì)算得到微分
????output?:=?Kp?×?error?+?Ki?×?integral?+?Kd?×?derivative?//計(jì)算得到PID輸出
????previous_error?:=?error?//保存當(dāng)前偏差為下一次采樣時(shí)所需要的歷史偏差
????wait(dt)?//等待下一次采用
????goto?loop

5 C++實(shí)現(xiàn)

這里是增量式PID算法的C語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)；

pid.cpp

#ifndef?_PID_SOURCE_
#define?_PID_SOURCE_

#include?
#include?
#include?"pid.h"

using?namespace?std;

class?PIDImpl
{
????public:
????????PIDImpl(?double?dt,?double?max,?double?min,?double?Kp,?double?Kd,?double?Ki?);
????????~PIDImpl();
????????double?calculate(?double?setpoint,?double?pv?);

????private:
????????double?_dt;
????????double?_max;
????????double?_min;
????????double?_Kp;
????????double?_Kd;
????????double?_Ki;
????????double?_pre_error;
????????double?_integral;
};


PID::PID(?double?dt,?double?max,?double?min,?double?Kp,?double?Kd,?double?Ki?)
{
????pimpl?=?new?PIDImpl(dt,max,min,Kp,Kd,Ki);
}
double?PID::calculate(?double?setpoint,?double?pv?)
{
????return?pimpl->calculate(setpoint,pv);
}
PID::~PID()?
{
????delete?pimpl;
}


/**
?*?Implementation
?*/
PIDImpl::PIDImpl(?double?dt,?double?max,?double?min,?double?Kp,?double?Kd,?double?Ki?)?:
????_dt(dt),
????_max(max),
????_min(min),
????_Kp(Kp),
????_Kd(Kd),
????_Ki(Ki),
????_pre_error(0),
????_integral(0)
{
}

double?PIDImpl::calculate(?double?setpoint,?double?pv?)
{
????
????//?Calculate?error
????double?error?=?setpoint?-?pv;

????//?Proportional?term
????double?Pout?=?_Kp?*?error;

????//?Integral?term
????_integral?+=?error?*?_dt;
????double?Iout?=?_Ki?*?_integral;

????//?Derivative?term
????double?derivative?=?(error?-?_pre_error)?/?_dt;
????double?Dout?=?_Kd?*?derivative;

????//?Calculate?total?output
????double?output?=?Pout?+?Iout?+?Dout;

????//?Restrict?to?max/min
????if(?output?>?_max?)
????????output?=?_max;
????else?if(?output?????????output?=?_min;

????//?Save?error?to?previous?error
????_pre_error?=?error;

????return?output;
}

PIDImpl::~PIDImpl()
{
}

#endif

pid.h

#ifndef?_PID_H_
#define?_PID_H_

class?PIDImpl;
class?PID
{
????public:
????????//?Kp?-??proportional?gain
????????//?Ki?-??Integral?gain
????????//?Kd?-??derivative?gain
????????//?dt?-??loop?interval?time
????????//?max?-?maximum?value?of?manipulated?variable
????????//?min?-?minimum?value?of?manipulated?variable
????????PID(?double?dt,?double?max,?double?min,?double?Kp,?double?Kd,?double?Ki?);

????????//?Returns?the?manipulated?variable?given?a?setpoint?and?current?process?value
????????double?calculate(?double?setpoint,?double?pv?);
????????~PID();

????private:
????????PIDImpl?*pimpl;
};

#endif

pid_example.cpp

#include?"pid.h"
#include?

int?main()?{

????PID?pid?=?PID(0.1,?100,?-100,?0.1,?0.01,?0.5);

????double?val?=?20;
????for?(int?i?=?0;?i?100;?i++)?{
????????double?inc?=?pid.calculate(0,?val);
????????printf("val:%?7.3f?inc:%?7.3f\n",?val,?inc);
????????val?+=?inc;
????}

????return?0;
}

編譯并測(cè)試；

g++?-c?pid.cpp?-o?pid.o
#?To?compile?example?code:
g++?pid_example.cpp?pid.o?-o?pid_example

6 總結(jié)

本文總結(jié)了PID控制器算法在閉環(huán)系統(tǒng)中根據(jù)偏差變化的具體調(diào)節(jié)作用，每個(gè)環(huán)節(jié)可能對(duì)系統(tǒng)輸出造成什么樣的變化，給出了位置式和增量式離散PID算法的推導(dǎo)過(guò)程，并給出了位置式算法的C++程序?qū)崿F(xiàn)。

由于作者能力和水平有限，文中難免存在錯(cuò)誤和紕漏，請(qǐng)不吝賜教。

電子設(shè)計(jì)競(jìng)賽(4)-常用的兩種PID算法