[導(dǎo)讀]之前在做學(xué)校項(xiàng)目的時(shí)候用到了CRC原理,但在網(wǎng)上查找的過程中,發(fā)現(xiàn)講解CRC知識的資源很多,但是對新手比較友好的、講的十分清楚的又很少,很多資料也不完善,讀起來心中常常不由自主地奔騰過上千個(gè)“為什么”“為什么”,本文盡可能的對新手友好、解答CRC里面的一些知識點(diǎn),而不是簡單的應(yīng)用。 依據(jù)學(xué)習(xí)目的不同,如果大家只想簡單應(yīng)用,不求原理,那么直接復(fù)制--粘貼最后的代碼即可。
之前在做學(xué)校項(xiàng)目的時(shí)候用到了CRC 原理,但在網(wǎng)上查找的過程中,發(fā)現(xiàn)講解CRC知識的資源很多,但是對新手比較友好的、講的十分清楚的又很少,很多資料也不完善,讀起來心中常常不由自主地奔騰過上千個(gè)“為什么”“為什么”, 本文盡可能的對新手友好、解答CRC里面的一些知識點(diǎn),而不是簡單的應(yīng)用。
依據(jù)學(xué)習(xí)目的不同,如果大家只想簡單應(yīng)用,不求原理,那么直接復(fù)制--粘貼最后的代碼即可。
1. CRC 算法原理
在對信息的處理過程中,我們可以將要被處理的數(shù)據(jù)塊M看成一個(gè)n階的二進(jìn)制多項(xiàng)式,其形式如下:
CRC校驗(yàn)就是基于這種多項(xiàng)式進(jìn)行的運(yùn)算,以GF(2)(The integers modulo 2)多項(xiàng)式算術(shù)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ),即
(模-2)除法
的余數(shù)運(yùn)算(其實(shí)說白了就是異或Xor(見2.2)),使用的除數(shù)不同,CRC的類型也就不一樣。CRC傳輸實(shí)際上就是在長度為?k?的數(shù)據(jù)后面添加供差錯(cuò)檢測(Frame Check Sequence)?用的?r?位冗余碼(Redundant code 沒錯(cuò)CRC里面的R就是這個(gè)),使原數(shù)據(jù)構(gòu)成?n = k + r?位并發(fā)送出去,?此方式又叫(n, k)碼??梢宰C明存在一個(gè)最高次冪為n-k=r的多項(xiàng)式G(x),??根據(jù)G(x)可以生成k位信息的校驗(yàn)碼,而?G(x)?叫做這個(gè)CRC碼的生成多項(xiàng)式( Poly )。而根據(jù)?k?值的不同,就形成了不同的CRC碼的生成多項(xiàng)式,以下為各種常用的多項(xiàng)表達(dá)式:
這些多項(xiàng)表達(dá)式的值便是(模-2)除法的除數(shù),本博客這里選取CRC-32多項(xiàng)式(即為對應(yīng)除數(shù))格式,通過取余做操,獲取CRC檢驗(yàn)碼。
2. CRC?傳輸過程
2.1 傳輸原理
按?1. CRC?算法原理?所述,將長度為?k?位的數(shù)據(jù)塊對應(yīng)一個(gè)GF(2)多項(xiàng)式M,以?8?位數(shù)據(jù)塊11100110舉例,如果先傳輸MSB(Most Significant Bit),則它對應(yīng)的多項(xiàng)式為x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x (8位對應(yīng)x的7次冪,因?yàn)閺膞0?開始計(jì)數(shù),2進(jìn)制為1時(shí)有效)。發(fā)送端和接收端約定一個(gè)次數(shù)為?r?的CRC多項(xiàng)式,取CRC-4?為例:x^4 + x + 1,r = 4。在數(shù)據(jù)塊后面加上r個(gè)0對應(yīng)的多項(xiàng)式為M',顯然有M' = Mx^r?。用?M'?除以CRC-4?將得到一個(gè)次數(shù)等于或小于?r-1?的余數(shù)多項(xiàng)式?R,其對應(yīng)的?r?位數(shù)值則為校驗(yàn)碼。發(fā)送方通過指定的CRC多項(xiàng)式產(chǎn)生r位的CRC校驗(yàn)碼,接收方則通過該CRC多項(xiàng)式來驗(yàn)證收到的報(bào)文碼的CRC校驗(yàn)碼是否為0。
設(shè)CRC多項(xiàng)式為G(x):
假設(shè)發(fā)送信息用信息多項(xiàng)式C(x)表示,將C(x)左移?r?位,則可表示成C(x)x^r,這樣C(x)的右邊就會(huì)空出r位校驗(yàn)碼的位置,使用GF(2)
(模2除法),得到的余數(shù)R就是校驗(yàn)碼。發(fā)送的CRC編碼是, 至于驗(yàn)證接收到的報(bào)文編碼是否至正確,方法依然是做模2除:,若余數(shù)為0則正確。
2.2?邏輯異或運(yùn)算
CRC校驗(yàn)是基于多項(xiàng)式進(jìn)行的運(yùn)算,其加減法運(yùn)算以2為模GF(2)?,加減時(shí)不進(jìn)(借)位,實(shí)際上與邏輯異或(XOR)運(yùn)算是一致, XOR是將參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)據(jù),按二進(jìn)制位進(jìn)行“異或”運(yùn)算。
異或運(yùn)算規(guī)則(^)規(guī)則如下:
0^0=0;??0^1=1;? 1^0=1;?? 1^1=0;
即:參加運(yùn)算的兩個(gè)對象,如果兩個(gè)相應(yīng)位為“異”(值不同),則該位結(jié)果為1,否則為0。
2.3 傳輸計(jì)算示例
以G(X)=X4+X3+1為例,設(shè)原數(shù)據(jù)為10110011。
?(1)G(X)=X4+X3+1,?二進(jìn)制比特串為11001。(在?X?的n?次方不為0處2的n次方的位=1?)
?(2)因?yàn)樾r?yàn)碼4位,所以10110011后面需加4個(gè)0,得到101100110000,用“模2除法”?(即邏輯亦或^)?即可得出結(jié)果:
(3)即CRC^101100110000得到101100110100,并發(fā)送到接收端。
(4)接收端收到101100110100后除以11001(以“模2除法”方式去除),余數(shù)為0則無差錯(cuò)。
3. CRC?的實(shí)現(xiàn)(Reversed 反向校驗(yàn)?zāi)J剑?/strong>
一般來說CRC有多種實(shí)現(xiàn)方式,在本文中我們以C語言為例,并給出?直接生成法?和?查表法?兩個(gè)例子。
直接生成法?適用于 CRC 次冪較小的格式,當(dāng)CRC 次冪逐漸增高時(shí),因?yàn)槠鋸?fù)雜的Xor 邏輯運(yùn)算會(huì)拖累系統(tǒng)運(yùn)行速度,不再建議使用直接生成法,取而代之的是查表法——將數(shù)據(jù)塊M 的一部分提前運(yùn)算好,并將結(jié)果存入數(shù)組中,系統(tǒng)開始執(zhí)行運(yùn)算時(shí),相當(dāng)于省去了之前的操作,直接從類似中間的位置開始計(jì)算,所以會(huì)提高效率。
在計(jì)算CRC時(shí)也可以選擇正向校驗(yàn)(Normal)?或者反向校驗(yàn)(Reversed),由于 Normal 和 Reversed 是鏡像關(guān)系,兩種方法會(huì)影響到最后的校驗(yàn)碼,使得兩種方式最后得到的校驗(yàn)碼呈現(xiàn)鏡像關(guān)系。但這對CRC 本身的成功率并沒有影響,只不過是:正向走一遍,還是鏡像走一遍罷了。
那為什么還會(huì)有Reversed格式呢?是因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)硬件系統(tǒng)的傳輸中,普遍先發(fā)送LSB,而Reversed 的CRC 正是滿足于這種LSB First 的格式,因此適用。
設(shè)數(shù)據(jù)塊為Mx, CRC校驗(yàn)式為G(x) FCS位數(shù)為?r。
如下表所示,當(dāng)采取反向校驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí), 需進(jìn)行以下操作:
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Polynomial Representations
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(1)將翻轉(zhuǎn)后的Mx^r的后r位放入一個(gè)長度為r的寄存器中;
(2)如果寄存器的首位為1,將寄存器右移1位(將Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的MSB(高八位)),再與G(x)?的后r位異或,否則僅將寄存器右移1位(將Mx^r剩下部分的LSB(低八位)移入寄存器的LSB);
(3)重復(fù)第2步,直到M全部?Mx^r?移入寄存器;
unsigned int CRC;//int的大小是32位,作32位CRC寄存器
unsigned int CRC_32_Table[256];//用來保存CRC碼表
void GenerateCRC32_Table()
{
for(int i=0;i<256;++i)//用++i以提高效率
{ CRC=i;
for(int j=0;j<8;++j)
{
if(CRC&1)// LSM為1
CRC=(CRC>>1)^0xEDB88320;//采取反向校驗(yàn)
else //0xEDB88320就是CRC-32多項(xiàng)表達(dá)式的reversed值
CRC>>=1;
}
CRC_32_Table[i]=CRC;
}
}
4.?生成多項(xiàng)式的選擇
不同的CRC生成多項(xiàng)式,其檢錯(cuò)能力是不同的。要使用R位校驗(yàn)碼,生成多項(xiàng)式的次冪應(yīng)為R。同時(shí)生成多項(xiàng)式應(yīng)該包含項(xiàng)"1",否則校驗(yàn)碼的LSB(Least Significant Bit)將始終為0。如果數(shù)據(jù)塊M (包括校驗(yàn)碼)?在傳輸過程中產(chǎn)生了差錯(cuò),則接收端收到的消息可以表示為M +R’。若R’?不能被CRC?生成多項(xiàng)式G?除盡,則該差錯(cuò)可以被檢測出??紤]以下幾種情況:
1) 1位差錯(cuò),即R’?= x^n = 100...00,n >= 0。只要G至少有2位1,R'就不能被G除盡。這是因?yàn)?/span>G x^k相當(dāng)于將G左移k位,對任意多項(xiàng)式Q,QG相當(dāng)于將多個(gè)不同的G的左移相加。如果G至少有兩位1,它的多個(gè)不同的左移相加結(jié)果至少有兩位1。
2)奇數(shù)位差錯(cuò),只要G含有因子F = x + 1, ?R'?就不能被G除盡。這是因?yàn)?/span>QG = Q'F,由1)的分析,F的多個(gè)不同的左移相加結(jié)果1的位數(shù)必然是偶數(shù)。
3)爆炸性差錯(cuò),即R' = (x^n + ... + 1)x^m = 1...100...00,n >= 1,m >= 0,顯然只要G包含項(xiàng)"1",且次數(shù)大于n,就不能除盡R'。
4)2位差錯(cuò),即R' = (x^n + 1)x^m = 100...00100...00,n >= 0。設(shè)x^n + 1 = QG + R,則R' = QGx^m + Rx^m,由3)可知R'能被G除盡當(dāng)且僅當(dāng)R為0。因此只需分析x^n + 1,對于次數(shù)R,總存在一個(gè)生成多項(xiàng)式G,使得n最小為2^R - 1時(shí),才能除盡x^n + 1。稱該生成多項(xiàng)式是原始的(primitive),它提供了在該次數(shù)上檢測2位差錯(cuò)的最高能力,因?yàn)楫?dāng)n = 2^R - 1時(shí),x^n + 1能被任何R次多項(xiàng)式除盡。
5.?Q & A
Q: 為什么寄存器初始化置0?
A:?寄存器的初始值不為 0,那么寄存器中的值就相當(dāng)于是待測數(shù)據(jù),這樣算出的 CRC 結(jié)果并不正確。再考慮CRC32 模型的 Init=0xFFFFFFFF,待測數(shù)據(jù)的內(nèi)容和長度為隨機(jī),如果寄存器初始值為 0,那么待測字節(jié)則為 1 字節(jié)?0x00,計(jì)算出來的 CRC32 值也就為 0。寄存器用0xFFFFFFFF 進(jìn)行初始化,就可以避免這個(gè)問題
Q:為什么先移位再XOR?
A:?0xEDB88320已經(jīng)是Gx 去掉最高項(xiàng)的簡寫,為了確保運(yùn)算無誤,所以需要先移位再XOR。這不會(huì)影響最后的結(jié)果,因?yàn)樵谧鯴OR運(yùn)算時(shí),gx 的最高位都會(huì)被消掉(因?yàn)樵诔ㄟ\(yùn)算中每次循環(huán)都是從1 開始除, 而gx 的最高項(xiàng)就是1,所以每次都會(huì)被消掉)
Q: 查表法的index 是什么,而內(nèi)容又是什么?
A:?Index 為數(shù)據(jù)塊M 的前8位,內(nèi)容是前8位與CRC XOR后的值,用時(shí)需再與gx異或。
Q: 查表法為什么會(huì)有256個(gè)字符?
A:?在CRC-16和32中,一次移出的待測數(shù)據(jù)為 8 位 bits,即一次進(jìn)行一個(gè)字節(jié)的計(jì)算,則表格有 2^8=256 個(gè)表值。一個(gè)字節(jié)有8位二進(jìn)制數(shù),每一位都有2種選擇。
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