增量式PID公式的4點(diǎn)疑問和理解

一開始見到PID計(jì)算公式時(shí)總會(huì)問“為什么是這樣子的一道公式”，為了理解那幾道公式，當(dāng)時(shí)將其未簡(jiǎn)化前的公式活生生地算了一遍，現(xiàn)在想來，這樣的演算過程固然有助于理解，但假如一開始就帶著對(duì)疑問的答案已有一定抽象了解后再進(jìn)行演算則會(huì)理解的更快！

首先推薦白志剛的《由入門到精通—吃透PID 2.0版》看完一、二章之后，建議你先通過實(shí)踐練習(xí)然后再去看書里接下來的其他章節(jié)，這樣你對(duì)這本書的掌握會(huì)更加高效。

PID就是對(duì)輸入偏差進(jìn)行比例積分微分運(yùn)算，然后將運(yùn)算的疊加結(jié)果去控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)。實(shí)踐練習(xí)中，如何把這一原理轉(zhuǎn)化為程序？為什么是用那幾個(gè)error進(jìn)行計(jì)算?

以下是我摘錄的一段PID程序，我曾用其對(duì)智能車的速度進(jìn)行閉環(huán)控制：

P：Proportional  比例

I：Integrating 積分

D：Differentiation 微分

Pwm_value：輸出Pwm暫空比的值

Current_error：當(dāng)前偏差

last_error：上次偏差

prev_error：上上次偏差

增量式PID計(jì)算公式：

P=Kp*(current_error﹣last_error)；

D=Kd*(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)；

I=Ki*current_error；

PID_add=Pwm_value+P﹢I﹢D；

一、為什么是PID_add=Pwm_value+（P﹢I﹢D）而不是PID_add=P+I+D？

如上圖，有一個(gè)人前往目的地A，他用眼睛視覺傳感器目測(cè)到距離目的地還有100m，即當(dāng)前與目的地的偏差為100，他向雙腳輸出Δ=100J的能量，跑呀跑，10s之后，他又目測(cè)了一次，此時(shí)距離為40m，即current_error=40，他與10s前的偏差last_error=10對(duì)比，即current_error - last_error=-60，這是個(gè)負(fù)數(shù)，他意識(shí)到自己已經(jīng)比較接近目的地，可以不用跑那么快，于是輸出Δ=100+(-60)=40J的能量，40J的能量他剛好以4m/s的速度跑呀跑，10s之后，他發(fā)現(xiàn)已經(jīng)到達(dá)目的點(diǎn)，此時(shí)current_error=0，大腦經(jīng)過思考得出current_error—last_error=0 - 40=-40，兩腳獲得的能量Δ=40+(-40)=0，即他已經(jīng)達(dá)到目的地，無需再跑。在剛才的敘述中，可知增量式P+I+D輸出的是一個(gè)增量，將該增量與調(diào)節(jié)量相加后所得到值才是最終輸出量，其反應(yīng)的是之前的輸出量是在當(dāng)前的狀態(tài)中是該增加還是該減少。

二、純比例控制P=Kp*(current_error﹣last_error)，怎樣理解﹙current_error﹣last_error ﹚？

PID中純比例控制就是把被控制量的偏差乘以一個(gè)系數(shù)作為調(diào)節(jié)器的輸出，在增量式PID中，反映在程序上的，我們被控制量就是error，而實(shí)際上，例如在速度控制中error=目標(biāo)速度﹣當(dāng)前速度，所以明確目的：我們通過控制error趨近于0，最終使得當(dāng)前速度趨近于目標(biāo)速度。

如上圖，函數(shù)經(jīng)過時(shí)間Δt，由y1變化為y2時(shí)，問y增長(zhǎng)的比例為多少？很顯然：K=﹙y2-y1﹚/Δt；

以速度控制為例，若y為error，如上圖，在時(shí)間t1到t2的過程中，我們可以得到輸出控制量error變化的趨勢(shì)為(current_error - last_error)/Δt。得到偏差的變化趨勢(shì)后，乘以Kp使輸出量與error相對(duì)變化。這個(gè)道理猶如模擬電子電路中，聲音信號(hào)經(jīng)過功放管放大輸出的信號(hào)與輸入信號(hào)相對(duì)應(yīng)的線性變化。

三、引進(jìn)微分控制？

然而，通常情況下，我們的被控制量并非純比例式地變化，如下圖：

比例表示變化趨勢(shì)，微分則表示變化趨勢(shì)的變化率，映射到一個(gè)圖像曲線中即為導(dǎo)數(shù)的變化！上圖中若求曲線中x2至x1某點(diǎn)的斜率，當(dāng)Δt足夠小時(shí)，則可近似為(y2 - y1)／Δt ，可知x3到x1導(dǎo)數(shù)的變化為﹛(y3 - y2) -(y2 - y1)﹜／Δt ＝(y3 - 2*y2﹢y1)／Δt 。將不同時(shí)間的y1、y2、y3映射為prev_error、last_error、current_error；則error變化趨勢(shì)的變化為﹛(current_error - last_error) - (last_error - prev_error)﹜／Δt=﹛﹙current_error - 2*last_error﹢prev_error﹚﹜／Δt，可得微分D=Kd*(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)。在系統(tǒng)中加入微分反映系統(tǒng)偏差信號(hào)的變化率，能預(yù)知偏差變化的趨勢(shì)，具有超前控制作用，提前處理偏差。

四、引進(jìn)積分控制？

積分控制可以消除偏差，體現(xiàn)在公式中較容易理解，當(dāng)前的偏差差經(jīng)過系數(shù)Ki的放大后映射為輸出控制量，即I=Ki*current_error。P只要前后偏差之差為0，即current_error - last_current=0，則不進(jìn)行調(diào)節(jié)，D只要前后偏差變化率為0，即(current_error﹣2*last_error﹢prev_error)=0，則不進(jìn)行調(diào)節(jié)。而對(duì)于積分只要偏差存在，調(diào)節(jié)就始終進(jìn)行，因此積分可以消除誤差度，但在在某些情況下，一定范圍內(nèi)的誤差是允許的，而如果此時(shí)積分調(diào)節(jié)始終存在，可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，如上圖，此時(shí)可通過弱化積分系數(shù)Ki使系統(tǒng)穩(wěn)定。

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