為什么?sin(x2) sin(y2)=1?的圖像這么復(fù)雜？
時(shí)間：2021-10-20 16:50:44
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[導(dǎo)讀]為什么sin(x2)sin(y2)=1的圖像這么復(fù)雜？其原因有兩個(gè)：一是看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式可以生成十分復(fù)雜的圖像圖形，二是看似十分復(fù)雜的圖像圖形可以由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式實(shí)現(xiàn)。顯然，這兩句話是一個(gè)意思，也并沒有什么營(yíng)養(yǎng)。不如先給大家講個(gè)段子：妹妹看到哥哥在抓耳撓腮地做作業(yè)，就跑過去問：...
為什么 sin(x2) sin(y2)=1 的圖像這么復(fù)雜？其原因有兩個(gè)：一是看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式可以生成十分復(fù)雜的圖像圖形，二是看似十分復(fù)雜的圖像圖形可以由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式實(shí)現(xiàn)。顯然，這兩句話是一個(gè)意思，也并沒有什么營(yíng)養(yǎng)。
不如先給大家講個(gè)段子：
妹妹看到哥哥在抓耳撓腮地做作業(yè)，就跑過去問：“哥哥，你在做什么作業(yè)？”
哥哥回答：“數(shù)學(xué)?！?/span>
妹妹看了一眼哥哥寫的東西，就說：“你騙人，你明明寫的都是英文?！?/span>
哥哥含著眼淚對(duì)妹妹說：“妹子，你還太小，數(shù)學(xué)的險(xiǎn)惡你還不懂！本來我的數(shù)學(xué)學(xué)得非常好，直到有一天，他們喪心病狂地在數(shù)字里添加了字母！”
最初我以為笑話里講的“數(shù)字里添加的字母”是代數(shù)里用的x、y、z。后來我慢慢意識(shí)到，罪孽深重最大惡極的sin會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)變得更加險(xiǎn)惡。
為了洞悉數(shù)學(xué)的險(xiǎn)惡，我曾試圖將數(shù)學(xué)以圖形圖像的方式顯示出來，并寫過幾個(gè)程序DEMO可以利用數(shù)學(xué)公式轉(zhuǎn)化成圖形圖像?，F(xiàn)在很多數(shù)學(xué)軟件都有類似的功能，我只是習(xí)慣用自己的這套邏輯，自得其樂而已。文中所發(fā)的圖片都是從我寫的程序DEMO中截屏出來的。
01
正弦波
提到“波”這個(gè)詞，我第一會(huì)想到波波，第二則想到正弦sin。很容易畫出函數(shù)y=sin(x)的圖形：
▍正弦波
我有個(gè)大學(xué)同學(xué)曾經(jīng)說過：“人生就像一條正弦波，有時(shí)在波峰，有時(shí)在波谷。我現(xiàn)在正處于波谷，但我相信將來不久，我就會(huì)爬上波峰?！?/span>
然而，這個(gè)比喻并不準(zhǔn)確，否則人生就不會(huì)起起落落落落落落落落......了。我覺得更準(zhǔn)確的比喻是：人生就像若干條正弦波的疊加，你永遠(yuǎn)不知道自己下一步是起還是落。
看看這個(gè)正弦波疊加函數(shù)：
y = sin(x) sin(x*2)/2 sin(x*4)/4 ? sin(x*8)/8 sin(x*16)/16 sin(x*32)/32 sin(x*64)/64 sin(x*128)/128
▍有規(guī)律的正弦波疊加
該函數(shù)由8個(gè)正弦波疊加組成，每個(gè)波有它的振幅和頻率。然而世事無常，每個(gè)波的振幅和頻率決不會(huì)那么地有規(guī)律，如果用隨機(jī)數(shù)設(shè)置這8個(gè)波的振幅和頻率，可以得到如下圖像：
▍隨機(jī)的正弦波疊加
現(xiàn)在問題來了，隨意選中圖像所繪曲線上的一點(diǎn)，該如何判斷該點(diǎn)將來是漲還是跌？漲又能漲多少？跌又能跌多少？這只有知道每個(gè)正弦波的振幅和頻率才能知道。小時(shí)候看電視劇《大時(shí)代》，里面講炒股要追“勢(shì)”，將股票的波動(dòng)曲線析構(gòu)成一個(gè)個(gè)的“勢(shì)”的作用結(jié)果。通過對(duì)股票波動(dòng)曲線的研究，分析出每個(gè)“勢(shì)”的大小和周期，以此漲勢(shì)則買入，跌勢(shì)則賣出，無往不利。然而單看這么一根根屌絲一樣的曲線，我是沒有辦法得到振幅和頻率的具體數(shù)值，我甚至連有幾個(gè)正弦波都看不出來。理論是美好的，現(xiàn)實(shí)是殘酷的，我斷然沒有這方面的才能，所以不敢踏入股市。就如同我知道一點(diǎn)點(diǎn)概率論的知識(shí)（投入值大于期望值八成會(huì)虧本），就不敢買彩票一樣。
加大正弦波的振幅，加快正弦波的頻率，可以生成類似下面這樣的圖像：
▍波動(dòng)圖
是不是感覺有點(diǎn)亂糟糟的，還可以更亂嗎？當(dāng)然可以！
看看函數(shù)：y = fract(sin(x)*1000000.0)。fract是對(duì)實(shí)數(shù)忽略整數(shù)位只取小數(shù)位的操作。這個(gè)函數(shù)的圖像如下：
▍隨機(jī)圖
這個(gè)函數(shù)的用處就是為了生成隨機(jī)數(shù)。當(dāng)然真正大神寫的隨機(jī)數(shù)生成的函數(shù)是：
y = fract(sin(x*12.9898)*43758.5453123)。
至于為什么設(shè)置12.9898和43758.5453123這兩個(gè)常數(shù)值，我也不知道呀！大神的思維不是我等凡人所能理解的，我只知道如果設(shè)置了其他數(shù)，生成的數(shù)值可能就不夠隨機(jī)了。
02
二維三維......
題目提到的方程是個(gè)二元方程，對(duì)應(yīng)的圖形是個(gè)二維圖形。我們先從簡(jiǎn)單的來講：
函數(shù)y = sin(x)擴(kuò)展到二維可以是z = sin(x) sin(y),也可以是z = sin(x y)，還可以是z = sin(x）*sin(y)、z = sin(x * y)。每一個(gè)函數(shù)都是讓人頭暈?zāi)快牛瑧{我怎么去想，也想不清晰這些函數(shù)應(yīng)該是什么樣。
有一天晚上，我半夜醒來睡不覺，就閉著眼睛想z = sin(x) sin(y)這個(gè)函數(shù)應(yīng)該是什么樣，這貨應(yīng)該是圓的還是方的呢？怎么都想不清楚，第二天早上，起來用程序畫了一下。OK，原來它是這個(gè)樣子的：
z = sin(x) sin(y)
加點(diǎn)偽彩顏色后，看讓去不會(huì)那么讓人眼暈：
z = sin(x) sin(y)原來這貨是既圓又方，這圖像真讓人眩暈，如果那晚我能想象出這個(gè)函數(shù)的圖像，應(yīng)該會(huì)很快再度安然入睡。。
方程sin(x) sin(y) = 1的圖像：
sin(x) sin(y) = 1方程sin(x) sin(y) = 0的圖像：
sin(x) sin(y) = 0如果再增加一維，函數(shù)變?yōu)椋簑 = sin(x) sin(y) sin(z)，這就有點(diǎn)難畫了。這是個(gè)三維函數(shù)，屬于體素?cái)?shù)據(jù)，是個(gè)實(shí)心的。要看體素的內(nèi)部數(shù)值，可以使用體繪制，但我只有顯示其切片的辦法。當(dāng)然切片不一定是平面，可以用個(gè)曲面來切，將切到的數(shù)值以顏色的形式顯示出來。下圖為用一個(gè)半徑為40的球體切割函數(shù)w = sin(x) sin(y) sin(z)，然后把數(shù)值轉(zhuǎn)化成灰度，得到的圖形：
w = sin(x) sin(y) sin(z)灰度圖看著不爽，加點(diǎn)偽彩顏色瞧瞧：
w = sin(x) sin(y) sin(z)球看著也不爽，既然z = sin(x) sin(y)可以生成一個(gè)平面地形高度圖形，那么就可以用w = sin(x) sin(y) sin(z)生成一個(gè)星球高度圖形：
w = sin(x) sin(y) sin(z)w = sin(x) sin(y) sin(z)如果你們還想知道四元及以上的可視化效果，諸如：k = sin(x) sin(y) sin(z) sin(w)，我也沒辦法??！四維世界的險(xiǎn)惡，我做為三維世界的生物根本看不到，也想不懂。
03
sin(x2) sin(y2)=1
話題回到問題中的方程上。先看函數(shù)y = sin(x2)，我們可以很容易畫出它的圖像：
y = sin(x2)然后將一元變量的函數(shù)擴(kuò)展到二元變量：z = sin(x2) sin(y2)
可以將該函數(shù)以地形高度圖的方式進(jìn)行顯示：
正面反面然后用平面z = 1橫切該地形，就可以得到方程sin(x2) sin(y2)=1的圖像：
sin(x2) sin(y2)=1不過我更愿意將z轉(zhuǎn)化成一個(gè)像素值而不是高度值，下圖為將z轉(zhuǎn)化成灰度值生成的一幅黑白圖像：
灰度圖可以將z = 1的區(qū)域用紅色標(biāo)識(shí)一下：
灰色圖 勾勒sin(x2) sin(y2)=1既然是灰度值，就可以對(duì)其做偽彩調(diào)色，以生成更漂亮的彩色圖像：
偽彩圖1偽彩圖2偽彩圖3再增加一維，函數(shù)變?yōu)椋簑 = sin(x2) sin(y2) sin(z2)。下圖為用一個(gè)半徑為10的球體切割得到的圖形：
w = sin(x2) sin(y2) sin(z2)w = sin(x2) sin(y2) sin(z2)w = sin(x2) sin(y2) sin(z2)w = sin(x2) sin(y2) sin(z2)最后，大家想不想看看方程sin(x2) sin(y2) sin(z2)=1的圖形效果？圖形中含有很多可愛的激凸喲！
數(shù)值范圍(-2.2, 2.2)數(shù)值范圍(-3.3, 3.3)數(shù)值范圍(-4.15, 4.15)數(shù)值范圍(-10, 10)數(shù)值范圍(-10, 10)當(dāng)然也有方程sin(x2) sin(y2) sin(z2)=0的圖形效果，密集恐懼癥患者的福利：數(shù)值范圍(-6, 6)數(shù)值范圍(-10, 10)作者：葉飛影，來源：知乎原文地址：www.zhihu.com/question/325445882/answer/692389802版權(quán)歸原作者所有，如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系刪除。
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