定點(diǎn)DSP中高精度除法的實(shí)現(xiàn)方法

引 言
    各種集成化單片數(shù)字信號(hào)處理器(DSP)以其功能強(qiáng)、集成度高、應(yīng)用靈活、性價(jià)比高等優(yōu)點(diǎn)，在信號(hào)處理和系統(tǒng)控制中的主導(dǎo)性地位日益明顯。許多信號(hào)處理和控制需要運(yùn)用除法運(yùn)算。一般的數(shù)字信號(hào)處理器中沒有現(xiàn)成的除法指令。十多年前誕生的浮點(diǎn)DSP，由于其用硬件完成浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算，在數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算能力上大大超出定點(diǎn)DSP，處理除法運(yùn)算也比定點(diǎn)DSP更為簡單。但是定點(diǎn)DSP每器件產(chǎn)品的價(jià)格更低，這對(duì)大規(guī)模的大眾市場應(yīng)用而言是相當(dāng)重要的優(yōu)勢，也是定點(diǎn)器件至今仍是業(yè)界主流的主要原因。所以，討論定點(diǎn)DSP中除法的實(shí)現(xiàn)仍不失其意義。在定點(diǎn)DSP中雖然已經(jīng)有人給出除法的算法，但是由于其運(yùn)算的復(fù)雜和精度難以如愿，致使一些帶有除法的好的算法在信號(hào)處理中難以得到應(yīng)用。
    為了提高運(yùn)算結(jié)果的精度，本文在已有除法算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一些改進(jìn)，最大限度地保證了結(jié)果的精度。最后在TI公司的TMS320C5416芯片里具體實(shí)現(xiàn)并驗(yàn)證了這一高精度除法。

1 經(jīng)典算法
    DSP中沒有現(xiàn)成的除法指令，除法是靠被除數(shù)與除數(shù)之間的移位相減來實(shí)現(xiàn)的。在C54X系列里利用減法指令SUBC和循環(huán)指令RPT實(shí)現(xiàn)2個(gè)16位數(shù)的相除。下面以C54X為例來具體實(shí)現(xiàn)經(jīng)典的除法：
    C54X提供的SuBC指令僅對(duì)無符號(hào)數(shù)進(jìn)行操作，所以在移位相減開始之前必須先將被除數(shù)和除數(shù)取絕對(duì)值，僅考慮2個(gè)正數(shù)的除法。此時(shí)除法運(yùn)算有兩種情況：
    當(dāng)|被除數(shù)|<|除數(shù)|時(shí)，將|被除數(shù)|存放在累加器的高16位，然后用SUBC完成15次移位相減，相減之后在累加器A的低16位中存放商的絕對(duì)值。根據(jù)運(yùn)算前被除數(shù)和除數(shù)的符號(hào)是否相同來決定是否要改變所得結(jié)果的符號(hào)。
    當(dāng)|被除數(shù)|≥|除數(shù)|時(shí)，將|被除數(shù)|存放在累加器的低16位，然后用SUBC完成16次移位相減，相減之后在累加器A的低16位中存放商的絕對(duì)值。根據(jù)運(yùn)算前被除數(shù)和除數(shù)的符號(hào)是否相同來決定是否要改變所得結(jié)果的符號(hào)。
    從實(shí)現(xiàn)的過程分析，當(dāng)|被除數(shù)|<|除數(shù)|時(shí)，移位相減開始時(shí)|被除數(shù)|和|除數(shù)|的小數(shù)點(diǎn)位置正好相差一位。第一次相減后在累加器A的O位最低位存進(jìn)的數(shù)值正是商的最高位，該位為商的小數(shù)點(diǎn)后第一位。在15次移位相減之后，累加器A低16位所得的結(jié)果為Q值為15的小數(shù)。當(dāng)|被除數(shù)|≥|除數(shù)|時(shí)，在第l6次相減時(shí)，|被除數(shù)|位于A的高16位(30～15位)上，小數(shù)點(diǎn)位在A的15位后，和|除數(shù)|的小數(shù)點(diǎn)位正好對(duì)齊，則此次相減后在A的0位加上的值正好是商的最低有效整數(shù)位，相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)中的個(gè)位。所以在16次移位相減之后，累加器A低16位所得的結(jié)果為Q值為0的整數(shù)。以此分析，當(dāng)商的精確值不是整數(shù)，或者超出Q值15所表示的范圍時(shí)，此算法所得結(jié)果就達(dá)不到16位數(shù)據(jù)所能表達(dá)的精確度。
    表1中任取幾組數(shù)據(jù)來說明。

2 高精度算法
    由于經(jīng)典算法在結(jié)果上存在精度不高的問題，所以應(yīng)考慮精度盡可能高的除法算法。
    和經(jīng)典算法一致，本算法也采用移位相減實(shí)現(xiàn)除法。但不同的是，在進(jìn)行移位相減之前算法對(duì)除數(shù)與被除數(shù)進(jìn)行了一些處理，并且在移位相減時(shí)不再分兩種情況。下面具體介紹算法的流程。
    首先給出被除數(shù)y和除數(shù)x。由于定點(diǎn)DSP中所有的數(shù)據(jù)都以整數(shù)的形式存在，所以在這里就把y和x看成是整數(shù)，不考慮它們本身的Q值。在圖1所示的流程圖中，A和B是C5416的2個(gè)累加器。算法第一步是將x和y相乘，結(jié)果存放在B中，以便在最后從B中提取商的符號(hào)(商的符號(hào)與B的符號(hào)相同)。第二步分別對(duì)x和y取絕對(duì)值以進(jìn)行無符號(hào)數(shù)相除。第三步，分別判斷x和y在最高有效位之前共有多少個(gè)O，分別記為n和m，即在x和y的分別有(16一n)和(16一m)個(gè)有效位。然后將x和y分別左移(n一1)位和(m一2)位，即x=x·2n-1，y=y·2m-2。第四步，將前面所得x和y再進(jìn)行移位相減，把y存放在A的高位，即AH=y，利用SUBC指令進(jìn)行1 5次移位相減。在所得的結(jié)果當(dāng)中，A的低位即為商的絕對(duì)值，B的符號(hào)即為商的符號(hào)，兩者結(jié)合得到quot值。由于在移位相減之前分別對(duì)除數(shù)和被除數(shù)有一個(gè)左移放大的操作，所以在結(jié)果中就必須考慮商的Q值。

    [!--empirenews.page--]假設(shè)給定的除數(shù)和被除數(shù)是x0和y0，則進(jìn)行移位相減的兩數(shù)分別為x=x0·2n-1，y=y0·2m-2。根據(jù)計(jì)算的過程可以得到商的Q值為(14+m-n)，所以最后的結(jié)果應(yīng)該包括quot值和Q值(14+m—n)兩部分。即商=quot·2-Q。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論
    前一節(jié)中詳細(xì)介紹了高精度算法的具體流程，可以發(fā)現(xiàn)其與經(jīng)典算法相比，不同之處在于進(jìn)行移位相減之前把除數(shù)和被除數(shù)進(jìn)行了不同位數(shù)的左移，保證進(jìn)行移位相減的除數(shù)的數(shù)據(jù)位最高位是l，即14位為1，而被除數(shù)的第13位為1。正是這個(gè)左移使結(jié)果的精度得到了提高。
    在所引用的經(jīng)典算法中，當(dāng)1被除數(shù)l<l除數(shù)I時(shí)所得的商為小數(shù)，而當(dāng)|被除數(shù)|≥|除數(shù)|時(shí)所得的商為整數(shù)。實(shí)際上商為小數(shù)時(shí)其Q值為15，商為整數(shù)時(shí)其Q值為O。根據(jù)后面給出的算法，結(jié)果的Q值為(14+m一n)。當(dāng)|被除數(shù)|<|除數(shù)|時(shí)，可以得到n≤m，則商的Q值≥14；當(dāng)|被除數(shù)|≥|除數(shù)|時(shí)，可以得到n≥m，則商的Q值≤14。從對(duì)比中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)|被除數(shù)|≥|除數(shù)|時(shí)結(jié)果的Q值提高了(14+m—n)。
    利用高精度算法在TMS320C5416中計(jì)算上面的4組數(shù)據(jù)，所得結(jié)果如表2所列。

    上面的實(shí)驗(yàn)說明，該算法使計(jì)算結(jié)果的精度有了很大的提高。取表中第三組數(shù)據(jù)進(jìn)行詳細(xì)分析，y=479、x=240，利用經(jīng)典算法結(jié)果為整數(shù)1。利用改進(jìn)后的算法，得到的結(jié)果有兩部分：quot值=3FDDH，Q值=13。由這兩部分可以算得精確的商值1．995 727 539 062 5，而479／240=1．995 83，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值之間的誤差為O．000105 794 270 83。當(dāng)Q值=13時(shí)，定點(diǎn)數(shù)據(jù)表示形式允許的誤差為2-13=O．000 122 070 312 5，可見計(jì)算結(jié)果誤差在允許的誤差范圍之內(nèi)，也就是說計(jì)算結(jié)果滿足所推導(dǎo)出的精度的范圍。對(duì)比前后兩種算法，可以發(fā)現(xiàn)這里的計(jì)算結(jié)果精度由原來的1提高到了2-13。
    通過分析可知，該算法使計(jì)算結(jié)果在精度上有了非常大的提高，但是在效率上則有所降低。如表3所列：

    表3中的時(shí)鐘周期指的是DSP的機(jī)器時(shí)鐘周期。由表3可以發(fā)現(xiàn)高精度算法對(duì)于不同的數(shù)據(jù)所需的周期數(shù)是不一樣的，而且算法中計(jì)算被除數(shù)和除數(shù)的高位無效位數(shù)占用了大部分的周期數(shù)。
    經(jīng)典算法在效率上比高精度算法高，主要是因?yàn)樵诟呔人惴ㄖ懈呶粺o效位數(shù)的計(jì)算效率過低。用C5416計(jì)算|被除數(shù)|和|除數(shù)|的高位無效位數(shù)，效率低是由于在C5416中沒有現(xiàn)成的指令來探測數(shù)據(jù)中哪一位為最高有效位。表3給出的時(shí)鐘周期數(shù)是在筆者的程序中所得到的結(jié)果，由于時(shí)間匆忙和優(yōu)化方面能力的局限性，所以并不能保證在程序優(yōu)化方面做得很好，所以在C5416中對(duì)該部分程序再進(jìn)行更好的優(yōu)化以減少執(zhí)行的時(shí)間是很可能的。
    在TI公司C6000系列的定點(diǎn)DSP中，有專門的指令LMBD來快速得到累加器中從符號(hào)位開始無效0位的個(gè)數(shù)，只需幾個(gè)周期就能完成C5416里高位無效位數(shù)的計(jì)算，所以在C6000中完成整個(gè)算法的效率與經(jīng)典算法相比肯定能夠提高。并且在C6000系列中對(duì)不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算所需的時(shí)鐘周期數(shù)是一樣的，因此在C6O0O系列定點(diǎn)DSP中該算法有著更好的實(shí)用性。

結(jié) 語
    本文介紹了高精度除法在定點(diǎn)DSP中的實(shí)現(xiàn)，通過與經(jīng)典除法算法的對(duì)比，顯示了其高精度的優(yōu)點(diǎn)。定點(diǎn)TMS320C5416實(shí)驗(yàn)表明該算法使商的精度得到了很大的提高，但是在計(jì)算的效率上有待進(jìn)一步提高。