模糊滑模控制在蹺蹺板系統(tǒng)中的應用研究

 1 引言
      一般來說，大多數物理過程都具有復雜、高度非線性、易受外界干擾影響，且存在很大的不可知性等特點。利用傳統(tǒng)的控制器來處理該類系統(tǒng)是非常困難的。然而，隨著控制理論的不斷發(fā)展，智能控制即使在不知道系統(tǒng)的數學模型的情況下也能獲得比傳統(tǒng)控制方法更好的控制效果[1]。蹺蹺板系統(tǒng)是一個比倒立擺系統(tǒng)更為復雜，更接近于實際應用的典型控制系統(tǒng)。它具有嚴重的非線性、強耦合、對干擾敏感、模型過于復雜等特點[2-5]。蹺蹺板系統(tǒng)是由一部小車、一個直流伺服電動機、兩個分別用于測量角度和位置的電位計以及蹺蹺板三角體組成。而讓蹺蹺板平衡的機制就是利用蹺蹺板系統(tǒng)中小車的移動來完成平衡的目的^[6]。
      由于蹺蹺板系統(tǒng)具有高度的非線性和強耦合性等特點以及變結構控制的抖振問題，本文將模糊滑?？刂?/strong>算法引入系統(tǒng)控制中以柔化控制量。使用模糊控制策略不僅可以使控制系統(tǒng)滑動模態(tài)的品質得到保證和改善，同時消除了滑?？刂浦械亩墩瘳F象。
      2 蹺蹺板系統(tǒng)的數學模型
      蹺蹺板系統(tǒng)示意圖如圖（1）所示。

圖（1）蹺蹺板系統(tǒng)示意圖

  圖中各參數定義如下：
       杠桿的傾斜角度；X : 小車的位置；d₁ : 杠桿相對支點高度0.125 m；d₂ : 杠桿中心點相對支點高度0.058 m；I_w : 轉動慣量0.395kg.m²；m_b : 小車的質量0.57㎏；m_w : 杠桿的質量3.6㎏； : 重力加速度9.81N/㎏。
      定義拉格朗日算子
                                          L=T-U         （1）
      其中T 為系統(tǒng)的動能，U 為系統(tǒng)的勢能。取狀態(tài)變量為 ，為構造拉格朗日方程，分別求出

      將（4）式代入（2）式和（3）式，即可得到（5）和（6）式

      通過（5）和（6）式可分別求得 和 的表達式

      方程組（7）即為系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程表達式。

      3 模糊滑?？刂破鞯脑O計
      滑模變結構控制具有響應速度快、魯棒性強等優(yōu)點，被廣泛應用與非線性系統(tǒng)控制當中，但是滑模控制容易引起系統(tǒng)的抖振現象，導致系統(tǒng)的最終不穩(wěn)定。模糊滑?？刂剖窃诓淮_定環(huán)境下，對于復雜對象進行有效控制的一種智能控制方法。它不依賴系統(tǒng)的模型，而且對干擾具有完全的魯棒性，同時保持了模糊控制和滑模控制的優(yōu)點。模糊滑模控制的基本設計方法是在滑?？刂葡到y(tǒng)的趨近階段通過模糊邏輯調節(jié)控制作用來補償未建模動力學的影響，其目的是提高控制系統(tǒng)的品質、減少到達滑動面時間、降低抖振。文中利用模糊控制規(guī)則調整控制輸入量 的大小，保證滑?？刂频竭_條件得到滿足。模糊滑?？刂圃砣鐖D1所示。

 圖1 模糊滑模控制原理圖

      由圖可知，模糊滑?？刂葡到y(tǒng)由三部分組成，即切換函數、模糊控制器、和被控對象?；：瘮档妮斎霝橄到y(tǒng)狀態(tài)變量，切換函數設計為s=C·X
          （1）
      模糊控制器的輸入為切換函數 及其變化率 ，這樣可有效的減少模糊規(guī)則的數量，很好的解決高階系統(tǒng)多輸入中存在的規(guī)則爆炸問題?？刂频淖兓?作為滑?？刂破鞯妮敵觯墒鼓：？刂瞥蔀闊o模型控制，依賴于被控對象的程度較小^[7]。
      根據模糊控制原理，定義模糊集 ，

    [!--empirenews.page--]  其中PB，PM，PS，ZO，NS，NM，NB分別表示為正大，正中，正小，零，負小，負中，負大。在滿足不等式的條件下設計 ，所獲得的控制表如表1所示。使用的模糊規(guī)則是

      表1 模糊控制規(guī)則表

      表中所有的控制規(guī)則是根據滿足 這個達到滑模的充要條件所設計的[8]，所以設計的模糊滑?？刂葡到y(tǒng)是穩(wěn)定的。

      4 仿真研究
      定義S ， ， 其論域分別為
 ， ， ，模糊化變量均選擇正態(tài)分布隸屬函數。
（1）式中取 。仿真結果如圖2~5所示。

 
圖2 小車位置隨時間變化曲線
 
圖3 杠桿角度隨時間變化曲線
 
圖4 切換函數對時間變化曲線

圖5 控制律隨時間變化曲線

  由以上仿真結果可以看出，利用本文方案設計的控制器大大加快了系統(tǒng)的響應速度，且能有效地減小系統(tǒng)的最大偏差，系統(tǒng)的抖振現象也基本可以消除。

      5結論
      本文介紹了蹺蹺板系統(tǒng)的工作原理,建立了蹺蹺板系統(tǒng)的數學模型。針對常規(guī)滑?？刂浦写嬖诘亩墩瘳F象，將模糊滑?？刂品椒ㄒ胲E蹺板控制系統(tǒng)中,通過仿真可以看出，將模糊滑模控制應用于具有強耦合、非線性特性的蹺蹺板系統(tǒng)是切實可行的，而且使用滑模模糊控制算法設計出來的控制器具有很強的魯棒性。
 
      參考文獻
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      [8] 劉金琨.滑模變結構控制MATLAB仿真[M].北京，清華大學出版社,2005.