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[導(dǎo)讀] 不涉及任何數(shù)學(xué)變換,而直接在時(shí)間變量域內(nèi)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析,稱為系統(tǒng)的時(shí)域分析。其方法有兩種:時(shí)域經(jīng)典法與時(shí)域卷積法。 時(shí)域經(jīng)典法就是直接求解系統(tǒng)微分方程的方

不涉及任何數(shù)學(xué)變換,而直接在時(shí)間變量域內(nèi)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析,稱為系統(tǒng)的時(shí)域分析。其方法有兩種:時(shí)域經(jīng)典法與時(shí)域卷積法。

 時(shí)域經(jīng)典法就是直接求解系統(tǒng)微分方程的方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是直觀,物理概念清楚,缺點(diǎn)是求解過(guò)程冗繁,應(yīng)用上也有局限性。所以在20世紀(jì)50年代以前,人們普遍喜歡采用變換域分析方法(例如拉普拉斯變換法),而較少采用時(shí)域經(jīng)典法。20世紀(jì)50年代以后,由于δ(t)函數(shù)及計(jì)算機(jī)的普遍應(yīng)用,時(shí)域卷積法得到了迅速發(fā)展,且不斷成熟和完善,已成為系統(tǒng)分析的重要方法之一。時(shí)域分析法是各種變換域分析法的基礎(chǔ)。

 在本章中,首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程,然后用經(jīng)典法求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),用時(shí)域卷積法求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),再把零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)相加,即得系統(tǒng)的全響應(yīng)。其思路與程序是:

 其次,將介紹:系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)微分方程;系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)傳輸算子H(p);系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)信號(hào)——沖激響應(yīng)h(t)。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析,就是研究激勵(lì)信號(hào)f(t)與沖激響應(yīng)信號(hào)h(t)之間的關(guān)系,這種關(guān)系就是卷積積分。

2-1    系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程與傳輸算子

          研究系統(tǒng),首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程。建立電路系統(tǒng)微分方程的依據(jù)是電路的兩種約束:拓?fù)浼s束(KCL,KVL)與元件約束(元件的時(shí)域伏安關(guān)系)。為了使讀者容易理解和接受,我們采取從特殊到一般的方法來(lái)研究。

 圖2-1(a)所示為一含有三個(gè)獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的雙網(wǎng)孔電路,其中 為激勵(lì), , 為響應(yīng)。對(duì)兩個(gè)網(wǎng)孔回路可列出KVL方程為

                 

   上兩式為含有兩個(gè)待求變量 , 的聯(lián)立微分積分方程。

為了得到只含有一個(gè)變量的微分方程,

須引用微分算子 ,即

 

 , ,…,

 

在引入了微分算子 后,上述微分方程即可寫

 

 

 即

       

     (2-1)

   根據(jù)式(2-1)可畫(huà)出算子形式的電路模型,如圖2-1(b)所示。將圖2-1(a)與(b)對(duì)照,

可很容易地根據(jù)圖2-1(a)畫(huà)出圖2-1(b),即將L改寫成Lp,將C改寫成  ,

其余一切均不變。當(dāng)畫(huà)出了算子電路模型后,即可很容易地根據(jù)圖2-1(b)算子電路模型列寫出式(2-1)。

  給式(2-1)等號(hào)兩端同時(shí)左乘以p,即得聯(lián)立的微分方程,即

 

將已知數(shù)據(jù)代入上式,得

                

  (2-2)

用行列式法從式(2-2)中可求得響應(yīng)i1(t)為

            

注意,在上式的演算過(guò)程中,消去了分子與分母中的公因子p。這是因?yàn)樗芯康碾娐肥侨A的,

因而電路的微分方程也應(yīng)是三階的。但應(yīng)注意,并不是在任何情況下分子與分母中的公因子都可消去。

有的情況可以消去,有的情況則不能消去,視具體情況而定。故有

            

            

           

上式即為待求變量為i1(t)的三階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。

方程等號(hào)左端為響應(yīng)i1(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合,

等號(hào)右端為激勵(lì)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合。

    利用同樣的方法可求得i2(t)為

                 

                

                   

               

上式即為描述響應(yīng)i2(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程。

    推廣之,對(duì)于n階系統(tǒng),若設(shè)y(t)為響應(yīng)變量, f(t)為激勵(lì),如圖2-2所示,則系統(tǒng)微分方程的一般形式為

                              

(2-3)

                        

用微分算子 表示則為

            

            

 

或?qū)懗?/p>

                                             

又可寫成

                    

式中

 

 

稱為系統(tǒng)或微分方程式(2-3)的特征多項(xiàng)式;

              

              

(2-4)

H(p)稱為響應(yīng)y(t)對(duì)激勵(lì)f(t)的傳輸算子或轉(zhuǎn)移算子,它為p的兩個(gè)實(shí)系數(shù)有理多項(xiàng)式之比,

其分母即為微分方程的特征多項(xiàng)式D(p)。H(p)描述了系統(tǒng)本身的特性,與系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)無(wú)關(guān)。

    這里指出一點(diǎn):字母p在本質(zhì)上是一個(gè)微分算子,但從數(shù)學(xué)形式的角度,以后可以人為地把它看成是

一個(gè)變量(一般是復(fù)數(shù))。這樣,傳輸算子H(p)就是p的兩個(gè)實(shí)系數(shù)有理多項(xiàng)式之比。

例2-1  圖2-3(a)所示電路。求響應(yīng)u1(t),u2(t)對(duì)激勵(lì) 的傳輸算子及u1(t),u2(t)分別對(duì)i(t)的微分方程。

     解  其算子形式的電路如圖2-3(b)所示。對(duì)節(jié)點(diǎn)①,②列算子形式的KCL方程為

               

代入數(shù)據(jù)得               

              

    對(duì)上式各項(xiàng)同時(shí)左乘以p,并整理得

                     

用行列式法聯(lián)解得

                  

                  

故得u1(t)對(duì)i(t),u2(t)對(duì)i(t)的傳輸算子分別為

                                  

                    

進(jìn)而得u1(t),u2(t)分別對(duì)i(t)的微分方程

               

               

               

               

可見(jiàn),對(duì)不同的響應(yīng)u1(t),u2(t),其特征多項(xiàng)式 都是相同的,

這就是系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的不變性與相同性。

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