如何預(yù)測直接數(shù)字頻率合成器(DDS)輸出頻譜中主相位截斷雜散的頻率和幅度

現(xiàn)代直接數(shù)字頻率合成器(DDS)通常利用累加器和數(shù)字頻率調(diào)諧字(FTW)在累加器輸出端產(chǎn)生周期性的N位數(shù)字斜坡（見圖1）。 此數(shù)字斜坡可依據(jù)公式1定義DDS的輸出頻率(fO)，其中fS為DDS采樣速率（或系統(tǒng)時鐘頻率）。(1)DDS給定時，組成FTW的位數(shù)(N)定義了fO的最小可能變化，這發(fā)生在FTW值僅更改最低有效位(LSB)時。 也就是說，F(xiàn)TW中的1 LSB變化定義了DDS的調(diào)諧分辨率。 例如，N = 32的DDS的調(diào)諧分辨率高于N = 24的DDS。為了證實(shí)DDS的極佳調(diào)諧能力，以AD9912為例，N = 48產(chǎn)生的調(diào)諧分辨率為1/248（即1/281,474,976,710,656）。 事實(shí)上，fS = 1 GHz時，AD9912產(chǎn)生的頻率調(diào)諧分辨率約為3.6 µHz (0.0000036 Hz)。若DDS的FTW為N位，細(xì)看圖1可知，累加器輸出端的位數(shù)(N)和角度轉(zhuǎn)幅度模塊輸入端的位數(shù)(P)之間存在明顯的差異，即P ≤ N。這種差異會導(dǎo)致DDS輸出頻譜中出現(xiàn)相位截斷雜散。知道給定DDS的P值對預(yù)測相位截斷雜散非常重要。 本應(yīng)用筆記介紹了一種用于計算特定相位截斷雜散的頻率和幅度的方法，尤其適合給定FTW的主相位截斷(PPT)。圖1. DDS功能框圖相位截斷累加器和FTW組成DDS的頻率控制元件。 但是，除了頻率控制元件外，DDS還具有將N位累加器輸出從相位值轉(zhuǎn)換為幅度值的角度轉(zhuǎn)幅度模塊。 角度轉(zhuǎn)幅度模塊占據(jù)了DDS數(shù)字電路的很大一部分。 因此，通過增大N來提高DDS的調(diào)諧分辨率會大幅增加角度轉(zhuǎn)幅度模塊所需的電路數(shù)。 同樣，將所有N位相位信息轉(zhuǎn)換為幅度不太實(shí)際。 如圖1所示，實(shí)際DDS使用累加器位的子集進(jìn)行相位幅度轉(zhuǎn)換，即P最高有效位(MSB)。 這種位截斷會大幅減少角度轉(zhuǎn)幅度模塊所需的電路數(shù)。 但代價是需要在DDS輸出端引入可能的頻譜偽像（具體而言就是相位截斷雜散）。相位截斷雜散根據(jù)定義，按P = N設(shè)計的DDS沒有相位截斷。 因此，其輸出頻譜中沒有相位截斷雜散。 但是在實(shí)際DDS中，P < N，這會產(chǎn)生相位截斷。有三類相位截斷雜散： 一階、二階和三階。 這幾個分類源于DDS中相位幅度轉(zhuǎn)換器和數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)的級聯(lián)組合的頻譜特性。 圖2結(jié)合圖形說明將傅里葉變換技術(shù)應(yīng)用于角度轉(zhuǎn)幅度模塊（帶P位相位輸入）和呈現(xiàn)諧波失真的非理想DAC所產(chǎn)生的譜線。 一般而言，頻譜由2P個頻率構(gòu)成，指數(shù)范圍為0至2P − 1，分類詳情如表1。圖2. 角度轉(zhuǎn)幅度模塊和DAC的頻譜特性主相位截斷(PPT)雜散每階（一階、二階和三階）的許多相位截斷雜散可能在DDS的輸出頻譜中出現(xiàn)，具體取決于FTW的特定值。 本應(yīng)用筆記重點(diǎn)介紹最大的一階雜散，即PPT雜散。由于DDS輸出是從相位采樣生成波形的結(jié)果（即累加器輸出），因此DDS輸出頻譜遵循奈奎斯特采樣理論的規(guī)則。 輸出頻譜顯示為兩個完全相同的頻譜，每個頻譜跨越采樣頻率(fS)一半的頻率范圍。 這兩個頻譜是彼此的鏡像，反映奈奎斯特頻率(fS/2)。 同樣，PPT雜散將其自身表示為兩個雜散。 一個PPT雜散出現(xiàn)在0 Hz和fS/2之間，另一個作為其鏡像出現(xiàn)在fS/2和fS之間。請注意，盡管兩個PPT雜散是最大的一階相位截斷雜散，但整體而言，這些雜散可能不是最大的相位截斷雜散。 由于相位截斷雜散在DDS輸出頻譜中的分配機(jī)制，部分二階相位截斷雜散的幅度可能大于PPT雜散。我們無法預(yù)測二階或三階相位截斷雜散的幅度。 二階相位截斷雜散幅度取決于DAC的諧波失真特性，這些特性因器件而異。 三階相位截斷雜散幅度與量化誤差相關(guān)，而量化誤差基本上是隨機(jī)的。表1. 圖2中顯示的頻率分類最右側(cè)的非零位計算PPT雜散的幅度和頻率位置需要知道以下參數(shù)：•DDS采樣速率(fS)•兩個DDS參數(shù)：N和P•FTW的特定值對于給定應(yīng)用，N和P固定，fS通常為恒定值。 相反，F(xiàn)TW完全可變，控制fO的值（詳見公式1）。FTW的值不僅控制DDS輸出頻譜中fO的位置，而且控制相位截斷雜散的位置。 事實(shí)上，對于DDS輸出頻譜，給定FTW的最重要特性是以二進(jìn)制形式表示時的尾隨零數(shù)量。 尾隨零數(shù)量定義了重要參數(shù)L，即FTW最右側(cè)非零位的位置。FTW中的L位位置取決于FTW的特定值（切記，F(xiàn)TW的值依據(jù)所需DDS輸出頻率而變化，詳見公式1）。 這種依賴性非常大，因?yàn)槿我饨o定FTW的L位位置決定相位截斷雜散在DDS輸出頻譜中的分配方式。對于任意給定FTW，圖3演示了如何找到L的值。首先，將FTW轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制。 然后，將指數(shù)值分配給FTW位，MSB的起始指數(shù)值為1。圖3為一個32位FTW的示例；因此，指數(shù)范圍為1至32。L值是值為1的最后一位的指數(shù)（從MSB向LSB讀）。 圖3中的FTW值為0x0036e580（十六進(jìn)制），因此，采用本協(xié)議時，此特定FTW的L的值為25。給定FTW的L的值最為重要。 首先，L決定相位截斷雜散是否出現(xiàn)在DDS輸出頻譜中。 若L ≤ P，則沒有相位截斷雜散。 若L > P，則包括PPT雜散在內(nèi)的相位截斷雜散出現(xiàn)在DDS輸出頻譜中。 其次，L和P的值可確定PPT雜散的幅度和頻率（假定L > P）。PPT幅度兩個PPT雜散具有相同的幅度（見公式2）。 若已知特定FTW的值和給定DDS設(shè)計的P值，兩個PPT雜散的幅度為：其中，PPT幅度的值以dBc為單位： 與頻率為fO時主DDS輸出信號的幅度相關(guān)的分貝。請注意，公式2中的兩個正弦函數(shù)的參數(shù)以弧度為單位。 例如，假設(shè)DDS的P = 19，F(xiàn)TW如圖3所示，則使用公式2得到的PPT雜散幅度為−114.38789 dBc。

PPT頻率需要多個步驟才能確定這兩個PPT頻率。 第一步，得出K的值，F(xiàn)TW的十進(jìn)制值截斷為L位。 要得到K，在FTW為二進(jìn)制形式的情況下，消除尾隨0并將得到的L位FTW轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的十進(jìn)制值。 例如，圖3中的FTW可得到K = 28,107（通過將二進(jìn)制數(shù)字0000000000110110111001011轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)字得出）。使用K計算兩個PPT雜散的頻譜指數(shù)位置（R1和R2），如下面的公式3和公式4所示：例如，在DDS的P = 19且FTW如圖3所示的情況下，公式3中括號內(nèi)的數(shù)字為14,736,134,709，公式4中括號內(nèi)的數(shù)字為928,378,285,515。將225模數(shù)應(yīng)用于這些值可得到R1 = 5,739,061R2 = 27,815,371根據(jù)下面的公式5和公式6，使用R1和R2確定DDS輸出頻譜中的兩個PPT頻率位置（fPPT1和fPPT2）。例如，若fS = 250 MHz，F(xiàn)TW如圖3所示，且R1和R2的值已在前面的例子中計算出，則兩個PPT雜散頻率如下：結(jié)論盡管本應(yīng)用筆記介紹了一種相對簡單的方式來預(yù)測兩個PPT雜散的頻率和幅度，但公式3和公式4可能引起計算問題。 具體而言，括號內(nèi)的數(shù)字由一個整數(shù)定義，可能非常大。為了解釋這些計算中較大整數(shù)引起的問題，試重新考慮AD9912，其中N = 48，P = 19。假定FTW為0x400000000001（十六進(jìn)制），即70,368,744,177,665（十進(jìn)制）。 在此例中，L = 48；因此，K的值與FTW相同?，F(xiàn)在考慮公式4中括號內(nèi)的數(shù)字。2L – 2P + 1可得到以下值：248 – 219 + 1 = 281,474,976,186,369因此，由公式4中括號內(nèi)的數(shù)字可得到K × (2L – 2P + 1) = 70,368,744,177,665 × 281,474,976,186,369 = 19,807,040,591,672,948,094,687,248,385以二進(jìn)制形式表示此整數(shù)需要94位。 大部分計算軟件工具無法精確表示這種大小的整數(shù)。 例如，在64位機(jī)器上運(yùn)行的MATLAB將K × (2L – 2P + 1)表示為浮點(diǎn)數(shù)：1.980704059167295 × 1028。對應(yīng)的整數(shù)為19,807,040,591,672,950,000,000,000,000。此值與真實(shí)值偏差較大，因此得到的R2并不正確。事實(shí)上，不僅大部分軟件工具無法處理極大整數(shù)，而且大部分計算機(jī)內(nèi)部的處理器芯片也無法處理極大整數(shù)。 例如，一臺帶64位處理器的計算機(jī)無法處理94位整數(shù)。 這個問題至關(guān)重要，因?yàn)橛嬎鉘1和R2值需要極大整數(shù)計算，這超出了大部分計算機(jī)的能力。除了正確表示公式3和公式4中括號內(nèi)的數(shù)字，還需要計算括號內(nèi)數(shù)字的2L模數(shù)。 在前面的例子中，L = 48，這意味著模數(shù)達(dá)48位。 大部分計算機(jī)不支持超過32位的模數(shù)計算?？偠灾?和公式4產(chǎn)生的難題在使用軟件工具實(shí)現(xiàn)PPT雜散計算時需要特別注意。 用戶必須將括號內(nèi)的數(shù)字作為一個整數(shù)進(jìn)行正確計算（無截斷或四舍五入），并且應(yīng)在不損失精度的情況下正確處理模數(shù)計算。盡管大部分軟件工具和處理器無法直接處理極大整數(shù)，但也有例外。 例如，軟件工具Python本身支持極大整數(shù)計算。 盡管MATLAB®本身無法處理極大整數(shù)，但支持極大整數(shù)計算的可變精度整數(shù)(VPI)工具箱可在MATLAB Central的Math Works網(wǎng)站上免費(fèi)下載。