AES算法中S-box和列混合單元的優(yōu)化

1 S-box的優(yōu)化設(shè)計(jì)

在AES標(biāo)準(zhǔn)算法中定義了兩個(gè)較大的列表。S-box和逆S-box。將S-box用于兩個(gè)應(yīng)用：字節(jié)替代和密鑰擴(kuò)展。而逆S-box則用于逆字節(jié)替代。這兩個(gè)列表是不相同的，因此必須建立兩個(gè)不同的ROM(256×8 b)，用以存儲(chǔ)這兩個(gè)列表。另外，在AES設(shè)計(jì)中使用平行結(jié)構(gòu)，這就需要用到多個(gè)列表，這樣會(huì)使硬件過于復(fù)雜，需要對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。以下主要對(duì)S-box模塊進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

1.1 S-box和逆S-box的組合

在一個(gè)高速128 b的AES設(shè)計(jì)中，一般需要總共20個(gè)S-box模塊和16個(gè)逆S-box模塊。其中，16個(gè)S-box模塊用于實(shí)現(xiàn)字節(jié)替代的功能，4個(gè)S-box用于實(shí)現(xiàn)密鑰擴(kuò)展的功能，而16個(gè)逆S-box模塊用于實(shí)現(xiàn)逆字節(jié)替代功能。在這種情形下，如果字節(jié)替代和逆字節(jié)替代時(shí)使用不同的列表，就會(huì)占用大量的硬件資源。所以非常需要一種減少硬件復(fù)雜性的方法。

就如AES標(biāo)準(zhǔn)所描述的那樣，S-box的操作過程可以表示為：



因?yàn)閙ultiplicative_inverse(乘法求逆)是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的方程，最常用的實(shí)現(xiàn)S-box的方法是運(yùn)用look-up列表來由x得到y(tǒng)。等式(1)的逆等式如下：



因?yàn)閙ultiplicative_inverse^-1和multiplicative_inverse是相同的，所以等式(3)可以表述為：



最后，必須找到M^-1，即矩陣M的有限域逆矩陣。由有限域逆矩陣的運(yùn)算方法可知，可以計(jì)算出矩陣M的逆矩陣，命名為M’，如式(5)所示：



在式(1)和式(6)中，只使用了一個(gè)普通的look-up列表，從而將S-box和逆S-box集成，大大減少了字節(jié)替代和逆字節(jié)替代的硬件需求。圖1展示了集成的S-box／逆S-box模塊，可應(yīng)用于AES的加密和解密。



1.2 S-box單元中乘法求逆電路的優(yōu)化

由第1.1節(jié)可知，S-box盒的生成電路由加密仿射電路(實(shí)現(xiàn)out=(in+c)M^-1等式功能)，解密仿射電路(實(shí)現(xiàn)out=in·M+c等式功能)以及乘法求逆電路三個(gè)模塊組成。要減少組合邏輯的復(fù)雜度，需要對(duì)乘法求逆電路進(jìn)行優(yōu)化。下面說明求逆電路的優(yōu)化過程。

S-box硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)的主要部件是乘法求逆。在有限域GF(2⁸)上，乘法求逆是一種相當(dāng)復(fù)雜的函數(shù)，直接在域GF(2⁸)上生成S-box盒，組合邏輯復(fù)雜度高，會(huì)使電路中邏輯電路的門數(shù)大大增加。根據(jù)有限域的性質(zhì)，利用域GF(2⁸)與GF[(2⁴)²]的同構(gòu)變換，把GF(2⁸)上的求逆轉(zhuǎn)化在GF[(2⁴)²]上的求逆運(yùn)算，從而生成S-box單元，可以降低邏輯關(guān)系運(yùn)算的復(fù)雜度，優(yōu)化S-box的面積。

所采用有限域GF(2⁸)上的乘法求逆電路模塊優(yōu)化過程如圖2所示。優(yōu)化的乘法求逆過程可表述如下：

(1)通過線性變換T將GF(2⁸)的輸入X映射到域GF(2⁴)上的元素b，c；

(2)構(gòu)建相應(yīng)的域GF(2⁴)的一次多項(xiàng)式，定義域GF(2⁴)上的加法、乘法和求逆運(yùn)算。利用域GF(2⁴)上的加法、乘法和求逆運(yùn)算，得到域GF(2⁴)上元素b，c的逆元素p，q；

(3)構(gòu)建線性變換T^-1，將域GF(2⁴)上的元素p，q映射到域GF(2⁸)上，得到域GF(2⁸)上的元素x的逆元素y=T^-1(p，q)。



由有限域的知識(shí)可知，復(fù)合域GF[(2⁴)²]中每個(gè)元素都可表示為系數(shù)在GF(2⁴)上的一次多項(xiàng)式bx+c。設(shè)定義有限域GF[(2⁴)²]的乘法的二次不可約多項(xiàng)式x²+Ax+B，可驗(yàn)證此時(shí)GF[(2⁴)²]中的任一元素bx+c的乘逆元素是：



式中：(b²B+bcA+c²)^-1是b²B+bcA+c²在GF(2⁴)上的乘法逆元。各部分的邏輯實(shí)現(xiàn)過程可描述如下：

(1)有限域GF(2⁸)到復(fù)合域GF[(2⁴)²]映射。通過GF(2⁸)上的即約多項(xiàng)式p(x)=x²+Ax+B構(gòu)造線性變換T，根據(jù)式(8)將GF(2⁸)的輸入x映射到GF(2⁴)上的元素b，c：



式中：B是GF(2⁴)上的常量元素；T是一個(gè)8×8的矩陣，矩陣的元素是0或1，T矩陣由B的取值決定；A取1，B取8；

[!--empirenews.page--]
(2)GF[(2⁴)²]到GF(2⁸)的逆映射。構(gòu)造線性變換T-1，GF(2⁴)上的逆p，q映射到GF(2⁸)上的逆元素y，如式(10)所示。其中，線性變換T^-1和乘法求遞步驟(1)中的線性變換T滿足：TT^-1=E。



(3)通過域GF(2⁴)上的運(yùn)算，求b，C的逆p，q。首先構(gòu)建GF(2⁴)，q(x)=x⁴+x+1作為域GF(2⁴)上的本源多項(xiàng)式，a(x)，d(x)，e(x)∈GF(2⁴)。其中，a(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，d(x)=d₃x³+d₂x²+d₁x+d₀，e(x)=e₃x³+e₂x²+e₁x+e₀定義域GF(2⁴)上的加法、乘法、逆運(yùn)算。

①加法為按位異或。

②乘法為多項(xiàng)式相乘后用q(x)取模，按公式e(x)=a(x)œ⊗d(x)mod q(x)進(jìn)行運(yùn)算；

③求逆根據(jù)公式公式a·a^-1=1 mod q(x)，計(jì)算GF(2⁴)上元素a的逆a^-1；

構(gòu)造GF(2⁴)上的一次多項(xiàng)式bx+c，并利用上述GF(2⁴)上的加法、乘法和求逆運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算，得到GF(2⁴)上的元素b，c的逆p，q，由式(7)可得：



p，q的計(jì)算是S-box中最復(fù)雜的邏輯運(yùn)算，占用了大量的邏輯關(guān)系，關(guān)于p，q的分量元素計(jì)算是由上述算法中的分量元素代入式(13)、式(14)求得。

在這種設(shè)計(jì)方案中，求逆運(yùn)算模塊中所選用的即約多項(xiàng)式p(x)和本源多項(xiàng)式q(x)不同，減低了求逆模塊的復(fù)雜度。根據(jù)理論分析，本文中用到的p(x)和q(x)不會(huì)減低AES算法的安全性。

2 列混合單元的優(yōu)化設(shè)計(jì)

在列混合(MixColumn)和逆列混合(InvMixColumn)的操作中，由以下兩式定義了兩個(gè)主要操作：



將式(15)和式(16)所做的操作及結(jié)果列于表1中，由步驟1～步驟5處理的結(jié)果得到out_x，接著由out_x和w₈得到out_y。因此，在執(zhí)行過程中，操作所用到的硬件資源及其所得結(jié)果可以應(yīng)用到步驟9，步驟10中。如圖3所示，這種新型結(jié)構(gòu)(字節(jié)-列混合模塊)僅需8個(gè)加法器和4個(gè)乘法器。與原方案相比，此設(shè)計(jì)大大減少了硬件復(fù)雜度并顯著節(jié)省了資源的消耗。

[!--empirenews.page--]
圖3中：Xt模塊(AES中的乘法器)的計(jì)算公式為：



更進(jìn)一步，會(huì)發(fā)現(xiàn)，要建立一個(gè)全局的逆選擇列混合模塊，需要將4個(gè)字節(jié)一列混合模塊集成在一起，形成一個(gè)全新的字一列混合模塊(Word_MixColumn模塊)，如圖4所示。



這種模塊設(shè)計(jì)可以通過部分分享硬件來同時(shí)實(shí)現(xiàn)列混合和逆列混合的功能，實(shí)現(xiàn)了硬件資源的節(jié)省。

3 綜合結(jié)果

在同等頻率要求的前提下，對(duì)S-box及列混合單元進(jìn)行了優(yōu)化，目的是減小設(shè)計(jì)面積。優(yōu)化后的算法在ModelSimSE 6.2b下進(jìn)行仿真，并在Xilinx Spartan 3系列FPGA上進(jìn)行綜合驗(yàn)證，時(shí)鐘頻率達(dá)到166 MHz，占用3 212個(gè)基本邏輯門(一個(gè)基本邏輯門等效于兩輸入／輸出的與門)，與參考文獻(xiàn)[1]中方法相比節(jié)約52％。由于本文中S-box和InvS-box共用求逆電路，與文獻(xiàn)[2]中的優(yōu)化方法相比硬件資源節(jié)約66％。



其中硬件復(fù)雜度為門級(jí)電路個(gè)數(shù)。

4  結(jié)  語

在AES的經(jīng)典算法中S-box常常采用查找表的形式來實(shí)現(xiàn)，這樣會(huì)占用大量的硬件資源。本文采用S-box與逆S-box組合以及GF(2⁸)到GF(2⁴)同構(gòu)變換的方法對(duì)S-box進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)，對(duì)AES中較復(fù)雜的列混合模塊進(jìn)行了集成優(yōu)化。優(yōu)化后的方案在不降低密碼算法安全性的前提下，較好的降低了硬件復(fù)雜度，非常適用于信用卡以及其它對(duì)硬件規(guī)模要求嚴(yán)格的應(yīng)用。