線性電路分析——網(wǎng)孔法詳析

一． 定義
由人們主觀設(shè)想的在網(wǎng)孔中流動的電流稱為網(wǎng)孔電流，如圖3-3-1中的iⅠ,iⅡ,iⅢ所示，它們的大小和參考方向均是任意設(shè)定的。以網(wǎng)孔電流為待求變量，根據(jù)KVL對各網(wǎng)孔列寫出KVL約束方程而對電路進(jìn)行分析的方法稱為網(wǎng)孔電流法，簡稱網(wǎng)孔法。
二． 網(wǎng)孔電流變量的完備性與獨立性
網(wǎng)孔電流變量的完備性是指電路中所有的支路電流都可由網(wǎng)孔電流求得。設(shè)各支路電流的大小和參考方向如圖3-3-1中所示。若認(rèn)為各網(wǎng)孔電流已被求出，則可得各支路電流為：

圖3-3-1 網(wǎng)孔法可見網(wǎng)孔電流變量具有完備性。
網(wǎng)孔電流變量的獨立性是指各網(wǎng)孔電流之間不受KCL約束，彼此獨立，不能互求。例如對于節(jié)點a，我們可列出方程：

此式為一恒等式，即不管網(wǎng)孔電流iⅠ，iⅡ為何值都恒成立。對于其他節(jié)點也能得到類似結(jié)果，所以網(wǎng)孔電流變量具有獨立性。
由于網(wǎng)孔電流變量具有完備性與獨立性，所以可作為電路分析的變量。
三． 網(wǎng)孔KVL約束方程的列寫與求解
在列寫網(wǎng)孔的KVL約束方程時，應(yīng)首先設(shè)定網(wǎng)孔電流的大小和參考方向。為了使所列方程有規(guī)律和容易寫出，一般設(shè)定網(wǎng)孔電流的參考方向都是均為順時針或均為逆時針，而且回路的循行方向就取為與網(wǎng)孔電流的參考方向一致。顯然，網(wǎng)孔電流的個數(shù)以及所列KVL約束方程的個數(shù)，都一定是等于網(wǎng)孔數(shù)。例如對于圖3-3-1所示電路可列出如下方程：

此方程稱為網(wǎng)孔電壓方程，簡稱網(wǎng)孔方程。解之即得各網(wǎng)孔電流iⅠ,iⅡ,iⅢ.
在上式中，令R11=R1+R4+R5，R22=R2+R5+R6，R33=R3+R4+R6，它們分別為網(wǎng)孔Ⅰ，網(wǎng)孔Ⅱ，網(wǎng)孔Ⅲ的自電阻，恒為正值；令R12=R21=-R5，R13=R31=-R4,R23=R32=-R6;R12,R21均稱為網(wǎng)孔Ⅱ與網(wǎng)孔Ⅲ的互電阻。若設(shè)定網(wǎng)孔電流的參考方向均為同一方向（同為順時針方向或同為逆時針方向），則互電阻均為負(fù)值，式（3-3-2）中即屬此種情況；若設(shè)定網(wǎng)孔電流的參考方向不是均為同一方向（即有順時針方向，有的為反時針方向），則互電阻中有的為正值，有的則為負(fù)值（若流過負(fù)電阻的相鄰兩個網(wǎng)孔電流的方向相同，則互電阻前取"+"號，否則取"-"號）。令us11= us1-us4，us22=-us2，us33= us3+us4，它們分別為網(wǎng)孔Ⅰ，網(wǎng)孔Ⅱ，網(wǎng)孔Ⅲ的所有電源電壓升高的代數(shù)和。這樣式（3-3-2）即可寫為

可見網(wǎng)孔方程的列寫是很有規(guī)律的。將上式寫成矩陣形式即為

或 RiM=uM(3-3-5)

　

稱為網(wǎng)孔電阻矩陣，為一對稱陣：

稱為網(wǎng)孔電流列向亮：

稱為網(wǎng)孔電壓源電壓列向量。式（3-3-4）或（3-3-5）即為矩陣形式的網(wǎng)孔方程。求解式（3-3-5）即得：

iM= R‾¹u_M （3-3-8）

四.支路電流與支路電壓的求解
將所求得的iⅠ,iⅡ,iⅢ代入式（3-3-1），即可求得各支路電流，進(jìn)一步又可根據(jù)支路的伏安關(guān)系求得各支路電壓為

五.網(wǎng)孔法的一般步驟
（1）.畫出電路圖。
（2）.設(shè)定各網(wǎng)孔電流的大小和參考方向，其參考方向一般都取為同一方向，即同為順時針方向或同為逆時針方向。
（3）.對各網(wǎng)孔KVL約束方程，方程個數(shù)與網(wǎng)孔個數(shù)相等。
（4）.聯(lián)立求解KVL約束方程組，即可得各網(wǎng)孔電流。
（5）.設(shè)定各支路電流的大小和參考方向，根據(jù)所求得的網(wǎng)孔電流，即可求出各支路電流和各支路電壓，并進(jìn)一步求出支路功率。至此，求解工作即告完畢。
例3-3-1 求圖3-3-2所示電路的各支路電流和支路電壓。

圖3-3-2 例3-3-1的電路

解：該電路的支路數(shù)b=6,網(wǎng)孔數(shù)l=3。設(shè)各網(wǎng)孔電流的大小和參考方向如圖中所示。于是可列出網(wǎng)孔的KVL方程為：

寫成矩陣形式為

解之得：iⅠ=0.99A，iⅡ=0.61A，iⅢ=0.34A
設(shè)各支路電流的大小和參考方向如圖中所示，故得：
i1=iⅠ=0.99A
i2=iⅡ-iⅠ=-0.38A
i3=iⅡ=0.61A
i4=iⅢ=0.34A
i5=iⅠ-iⅢ=0.65A
i6=iⅡ-iⅢ=0.27A
進(jìn)一步可求得各支路電壓為：
uab=10i5=6.5V
uad=-20i1+50=30.2V
uac=50i4=17V
ubd=-10i2+20=23.8V
ucd=5i3+10=13.05V
ubc=40i6=10.8V
當(dāng)支路電流與支路電壓求得后，即可很容易地求得各支路的功率。例如支路bd吸收的功率為Pbd=ubd(-i2)=23.8×0.38=9.04W,支路ad發(fā)出的功率為：Pad=uadi1=30.2×0.99=29.9W.