連續(xù)信號(hào)（模擬信號(hào)）在有限區(qū)間上的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi),離散頻譜

先解釋下文章的題目。我們討論的是信號(hào)，首先面臨的是什么是信號(hào)，或者我們將要討論的具體“信號(hào)”代表的是什么，其實(shí)我認(rèn)為信號(hào)就是函數(shù)，之所以不稱(chēng)他為函數(shù)，是因?yàn)樗且环N特殊的函數(shù)----它攜帶了信息，所以信號(hào)就是攜帶了信息的函數(shù)。 連續(xù)信號(hào)是指，自變量連續(xù)取值的信號(hào)，也稱(chēng)為模擬信號(hào)。注意，這里并沒(méi)有說(shuō)連續(xù)信號(hào)是連續(xù)函數(shù)，連續(xù)信號(hào)只是限制了自變量取值的連續(xù)性。而自變量不是連續(xù)變化的信號(hào)，稱(chēng)為離散信號(hào)。在這篇文章里，我們要討論的是連續(xù)信號(hào)在有限區(qū)間上的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，之所以要討論有限區(qū)間，是因?yàn)樵诠こ虘?yīng)用中，我們往往只能討論有限時(shí)間或者空間變化內(nèi)的信號(hào)。?

為什么要討論傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)呢？原因是，這個(gè)稱(chēng)為信號(hào)的函數(shù)的特殊性，因?yàn)樗鼣y帶了信息，我們希望能獲取這種信息，而將其展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)的形式，可以獲得它的一些信息，所以我們要討論它的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。其實(shí)信號(hào)處理的基礎(chǔ)就是傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，這里實(shí)在是感謝傅立葉，沒(méi)有它，今天很多智能應(yīng)用都是很難實(shí)現(xiàn)的。另一方面，我們不學(xué)好它，也不好在現(xiàn)代社會(huì)學(xué)術(shù)前沿生存！所以學(xué)起吧！

1、疊加與逆

信息通過(guò)波傳播，在信號(hào)的傳播路徑上，連續(xù)采集它的幅度值，就能得到一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是一種信號(hào)?？紤]聲音在某種介質(zhì)中傳播，介質(zhì)固定后，波的傳播速度就固定了，速度固定，我們根據(jù)波的頻率不同來(lái)區(qū)分不同的聲音。但是我們很難從獲得的聲音信號(hào)中看出頻率的信息！但是，如果我們隨機(jī)的組合不同頻率的波，可以得到復(fù)雜的波，那么復(fù)雜的波是否可以分解成不同頻率的波的組合呢？

這其實(shí)也是個(gè)逆問(wèn)題。簡(jiǎn)化理解下：某種客觀存在發(fā)出不同頻率的波，然后疊加起來(lái)，傳播，我們收到了這個(gè)信號(hào)，能否得到原先不同頻率的波？由我現(xiàn)在掌握的知識(shí)，我不覺(jué)的這是可行的，但是我們可以找到某些頻率的波的疊加。我的意思是，復(fù)雜波不能唯一的分解成某些頻率波的疊加，但是可以分解成某些頻率的波的疊加。最后我會(huì)再說(shuō)明這一點(diǎn)。

2、一些基本的概念后出發(fā)！

由于我們討論有限區(qū)間上模擬信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。有限區(qū)間定義為[t_0, t_0 + T]，f_0=1/T稱(chēng)為基頻。我們認(rèn)為簡(jiǎn)諧波是最簡(jiǎn)單的波，一般我們采集到的波稱(chēng)為復(fù)雜波，所以A*sin(2*pi*f_0*t+phi)稱(chēng)為基波，給一個(gè)正整數(shù)n，nf_0這個(gè)頻率稱(chēng)為n次倍頻（這個(gè)稱(chēng)呼是我自己想的，沒(méi)有文獻(xiàn)中大家的叫法，如有看客不吝告知有行業(yè)共識(shí)的稱(chēng)呼，不勝感激呀），A*sin(2*pi*n*f_0+phi)稱(chēng)為n次諧波。我們先做個(gè)實(shí)驗(yàn)，看看由頻率不同的波組成的復(fù)雜波是什么樣子的。

先附上我做實(shí)驗(yàn)用的程序，由matlab寫(xiě)成。

%?
T?=?4;?%?time?region.?[0,?0+T]
f0?=?1/T;?%?fundamental?frequency

Num?=?3;?%number?of?waves.
Samples?=?500;?%?number?of?samples?on?the?time?domain.
fa?=?1:Num;
fa?=?f0*fa;?%?frequency?of?every?wave.

%?amplitude
A?=?10*rand(1,Num);
A?=?round(A);?%?set?every?wave's?amplitude?randomly

%?
re?=?zeros(1,Samples);?
t??=?linspace(0,T,Samples);?%?time?sample?position

%?every?waves
rew?=?zeros(1,?Samples);
figure;
for?i?=?1:Num
????rew?=?A(i)*sin(2*pi*fa(i)*t);
????plot(t,?rew);
????hold?on
????re?=?re?+?rew;
end
plot(t,?re,?'r');

在實(shí)驗(yàn)中，我設(shè)置了各個(gè)簡(jiǎn)諧波的相位都為0，設(shè)置每個(gè)波的幅度值為隨機(jī)數(shù)。大家在運(yùn)行的時(shí)候可能有不同的結(jié)果。

我運(yùn)行一次的結(jié)果如圖1：

圖1 簡(jiǎn)諧波的疊加，紅色波形是疊加的結(jié)果。

實(shí)際上，即使不做實(shí)驗(yàn)，我們也很明白，不同的函數(shù)疊加一定可以得到一個(gè)新的函數(shù)，不同的簡(jiǎn)諧波當(dāng)然可以疊加稱(chēng)一個(gè)復(fù)雜波。問(wèn)題是，我們可以由復(fù)雜波分解成多個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧波的疊加么？ 實(shí)際上數(shù)學(xué)上，在一定條件下，是可以的。

某些復(fù)雜的波，在一定條件下可以展開(kāi)成某些頻率的波的疊加。但是這種展開(kāi)，我覺(jué)得并不是唯一的，但是有一種基本的波形可以被用來(lái)做疊加之用，而且大多數(shù)復(fù)雜波都可以由他們疊加而成，這種波就是簡(jiǎn)諧波，而且我們會(huì)限定間歇波的頻率關(guān)系，寫(xiě)成級(jí)數(shù)的形式，就是傅立葉級(jí)數(shù)了。

3、傅立葉來(lái)了！

任何復(fù)雜波形都可以在一定條件下被展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)的形式。

設(shè)復(fù)雜波為x(t)，在有限區(qū)間[t_0, t_0+T]上定義，f_0=1/T為基波的頻率。則有

下面慢慢推倒出另一種形式。

首先把（1）式sin函數(shù)展開(kāi)可以得到：

做如下設(shè)定：

則復(fù)雜信號(hào)x(t)的展開(kāi)可以寫(xiě)成：

（5）式就是信號(hào)x(t)的傅立葉展開(kāi)了。

4、傅立葉展開(kāi)的復(fù)數(shù)形式

Euler公式如下：

根據(jù)這個(gè)公式，我們可以得出：

將（8，9）兩式帶入（5）式，計(jì)算得到：

做如下設(shè)定

由（10，11，12，13）可得

將（14）式的等號(hào)右邊的第三項(xiàng)改成n從-1，到負(fù)無(wú)窮，可以寫(xiě)成如下形式：

（15）式就是信號(hào)的復(fù)數(shù)形式的傅立葉展開(kāi)了。

5、信號(hào)的傅立葉分析

看（15）式，如果我們能確定c_n，我們就可以求得A_n和phi_n了，各個(gè)頻率的幅度值和相位就確定了。信號(hào)是攜帶信息的函數(shù)，信息就是n次諧波的振幅、頻率和相位！也許不同的人有不同的看法，我只是同意這個(gè)觀點(diǎn)而已。

下面介紹怎么求解c_n，也許數(shù)學(xué)上有許多條件限制，我們就認(rèn)為一切條件都是滿(mǎn)足的，直接來(lái)求。

將（15）式左右兩邊乘以e^{-i2pi m f_0 t}，將兩邊的函數(shù)在[t_0, t_0+T]上求積分。

(16)式中，等式右邊積分號(hào)是不能隨便進(jìn)入和號(hào)內(nèi)部的，需要滿(mǎn)足一定條件。比如和式的每一項(xiàng)都連續(xù)，并且函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂于某個(gè)函數(shù)，這個(gè) 積分號(hào)就可以放到和號(hào)之內(nèi)了。

各位可以驗(yàn)證，當(dāng)m！=n時(shí)，和式內(nèi)的積分為0.所以只能保留m=n時(shí)的式子，而且積分為值為T(mén)c_n，那么：

c_n求的之后，我們就可以知道A_n 和 phi_n了，根據(jù)（3，4，11，12，13）知道：

由（22，23）兩式得到的A_n和相位phi_n是相等的。

稱(chēng)c_n為x(t)在有限區(qū)間上的離散頻譜，稱(chēng)|c_n|為信號(hào)x(t)在有限區(qū)間[t_0, t_0+T]上的離散振幅譜；稱(chēng)Argc_n為信號(hào)x(t)在有限區(qū)間[t_0, t_0+T]上的離散相位譜。離散相對(duì)連續(xù)存在，后面的文章會(huì)繼續(xù)討論，連續(xù)信號(hào)的連續(xù)頻譜。

由信號(hào)x（t）求出傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)c_n，稱(chēng)為在有限區(qū)間上對(duì)信號(hào)x(t)做頻譜分析。

6、連續(xù)信號(hào)傅立葉分解的唯一性討論

大家注意到一開(kāi)始說(shuō)信號(hào)在有限區(qū)間上展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)，定義的級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)諧波的頻率是跟信號(hào)考慮的區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)系的。

如果給出一個(gè)信號(hào)，我們?nèi)〉脮r(shí)間段不同，得到的離散振幅譜和離散相位譜也會(huì)存在差異的。

我們得到一個(gè)信號(hào)，如果這個(gè)信號(hào)周期性的，我們可以在一個(gè)周期內(nèi)做頻譜分析，因?yàn)橹芷谛盘?hào)的所有信息就可以認(rèn)為都保存在同一個(gè)周期里了！

7、總結(jié)

總結(jié)幾點(diǎn)：

* 信號(hào)在一定條件下可以分解成傅立葉級(jí)數(shù)的形式。

* 取信號(hào)的區(qū)間長(zhǎng)度不同，頻譜分析結(jié)果存在差異。

* 要做周期性的頻譜分析，意義重大。

還有需要說(shuō)明一下的是：簡(jiǎn)單波和復(fù)雜波是相對(duì)的概念。在本文的討論中，簡(jiǎn)單波我們使用的是正弦波，我們也可以使用其他波作為簡(jiǎn)單波，簡(jiǎn)單波的疊加被成為復(fù)雜波。具體使用什么波要根據(jù)具體情況而定。但是傅立葉分析是最重要的！