一種基于梯度迭代算法重構(gòu)信號(hào)的研究

引言

隨著信息技術(shù)的發(fā)展,人們對(duì)信息的需求劇增,現(xiàn)實(shí)中大多數(shù)信號(hào)是模擬信號(hào),而信號(hào)處理的數(shù)字化,決定了從模擬信息到數(shù)字信息是數(shù)據(jù)采樣的必由之路,由于信息需求量大,信息的信號(hào)帶寬越來(lái)越大,產(chǎn)生的數(shù)據(jù)越來(lái)越多,采用傳統(tǒng)的香農(nóng)-奈奎斯特定理處理寬帶信號(hào)越來(lái)越困難。而在信息處理和傳輸過(guò)程中,為了便于傳輸,會(huì)再進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮,這個(gè)過(guò)程浪費(fèi)了大量的采樣資源。文獻(xiàn)[1-6]給出的壓縮感知理論(Compressedsensing)為解決此問(wèn)題提供了可能,它指出只要信號(hào)可壓縮或者在某個(gè)變換域是稀疏的,那么就可以用一個(gè)與該變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣將高維信號(hào)投影到低維空間上,然后通過(guò)求解優(yōu)化問(wèn)題從少量的投影高精度地重構(gòu)原始信號(hào)。該理論在圖像信號(hào)處理、數(shù)據(jù)采集、醫(yī)學(xué)成像、模式識(shí)別和無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域受到高度關(guān)注。

1壓縮感知理論

1.1壓縮感知的數(shù)學(xué)模型

已知x是一維有限長(zhǎng)度信號(hào),可看作一個(gè)RN空間Ⅳ×1維列向量,若在某個(gè)正交基或者緊支撐框架基w上是稀疏的,則稱信號(hào)x在w域N稀疏,也就是說(shuō),x信號(hào)壓縮成少量的非零值,然后再找一個(gè)穩(wěn)定、與變換基w不相關(guān)的k×Ⅳ(k<Ⅳ)維測(cè)量矩陣,對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行線性測(cè)量,觀測(cè)k≥Klog2(EQ \* jc3 \* hps17 \o\al(\s\up 5()次,即得到測(cè)量值y,測(cè)量公式如下:

在選擇測(cè)量矩陣時(shí)必須滿足不相干性和約束等距條件(Restricted1sometryProperty,RIP)兩個(gè)約束條件。

相干性是兩個(gè)不同矩陣間任意兩個(gè)元素的相關(guān)程度。設(shè)w=(w1,w2,…,wn),o=(o1,o2,…,om),兩者相干性為:

在壓縮感知中,稀疏矩陣與測(cè)量矩陣之間相干性低,則對(duì)重構(gòu)信號(hào)采樣要求少。

約束等距條件:

式中,s為常數(shù),且0≤s<1是精確恢復(fù)信號(hào)的充分條件。

壓縮感知滿足上述兩個(gè)條件得到觀測(cè)值,通過(guò)測(cè)量向量y可正確恢復(fù)原始信號(hào)x。由于k<Ⅳ,從測(cè)量值y恢復(fù)原始信號(hào)x是一個(gè)欠定方程,為解決這個(gè)問(wèn)題,壓縮感知重構(gòu)信號(hào)算法將0-范數(shù)轉(zhuǎn)化為1-范數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解,具體如式(4)所示:

1.2梯度迭代重構(gòu)算法

如何設(shè)計(jì)出復(fù)雜度低、更精確、更穩(wěn)定且需觀測(cè)值少的重構(gòu)算法是壓縮感知理論信號(hào)重構(gòu)的主要研究方向。本文提出基于梯度算法,分別用一個(gè)補(bǔ)償微參數(shù)和一個(gè)全變分因子恢復(fù)重構(gòu)信號(hào),來(lái)證明基于梯度算法重構(gòu)信號(hào)的效果。

1.2.1梯度算法

已知觀測(cè)的線性矩陣方程y=s,求解L)函數(shù)最小化問(wèn)題可以得到解決方案,求解公式如下:

根據(jù)上式可知L)是光滑凸函數(shù),可得下式:

式中,ui為迭代步長(zhǎng):si、si＋1分別對(duì)應(yīng)的是第i、i＋1個(gè)元素求得的對(duì)應(yīng)的梯度值。

將式(6)代入式(5),可得迭代步長(zhǎng):

求解可得:

1.2.2利用1-范數(shù)入補(bǔ)償量

若圖像信號(hào)是稀疏的,可通過(guò)1-范數(shù)求解,選擇參數(shù)入值進(jìn)行補(bǔ)償以重構(gòu)原始信號(hào)。設(shè)si,j代表圖像元素,將稀疏圖像的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求1-范數(shù),如下所示:

該式引入一個(gè)參量入作為第一變量與第二變量之間的平衡參數(shù),由于si,j在原點(diǎn)處不可微,則式(9)的解如下:

將迭代步長(zhǎng)ujn值代入公式(9)和(10),用梯度下降法,選擇入為一個(gè)微小常量(入=0.001~0.01),則參數(shù)入隨著入i＋1=(0.99~0.999)×入i迭代步驟的增加而逐漸減小,即恢復(fù)重構(gòu)信號(hào)更加精確。

1.2.3約束全變分法

若圖像在時(shí)域不稀疏,則將圖像求解轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問(wèn)題,為更好地恢復(fù)圖像信號(hào),在梯度算法基礎(chǔ)上,引入一個(gè)全變分因子rv(s),則式(9)可轉(zhuǎn)變?yōu)槭?12):

對(duì)于MXN圖像si,j,其全變分公式為:

其中:

則可得解如下:

2圖像重構(gòu)實(shí)驗(yàn)對(duì)比

為了更加直觀地說(shuō)明基于梯度算法的重構(gòu)效率,下面用256×256像素的圖片為原始信號(hào),如圖1所示,選擇測(cè)量矩陣大小100×56進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn),分別得到圖2、圖3兩張圖片:圖2是采用1-范數(shù)算法恢復(fù)的圖像,圖3是采用約束全變分方法恢復(fù)所得圖像,通過(guò)對(duì)比,圖3的圖像恢復(fù)效果更好。圖4是原始圖像與恢復(fù)圖像之間的總變化,信噪比的總變化數(shù)為34.46dB。

3結(jié)語(yǔ)

對(duì)于稀疏或可壓縮的信號(hào),引入壓縮感知理論這種新的信號(hào)采樣方式,對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)后,得到恢復(fù)信號(hào)的觀測(cè)值,根據(jù)該觀測(cè)值,提出基于梯度算法進(jìn)行原始信號(hào)重構(gòu)的優(yōu)化計(jì)算。實(shí)驗(yàn)表明,基于梯度迭代重構(gòu)算法,利用l-范數(shù)補(bǔ)償條件,通過(guò)凸優(yōu)化問(wèn)題限制重構(gòu)總誤差,能以極大概率精確重構(gòu)原始信號(hào)。