基于最大Lyapunov指數(shù)的行星齒輪振動(dòng)可靠性靈敏度分析

0引言

行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)因傳動(dòng)效率高、傳動(dòng)比大、傳動(dòng)平穩(wěn)以及緊湊的結(jié)構(gòu)特性,被廣泛應(yīng)用于直升飛機(jī)主減速器。然而,傳動(dòng)時(shí)非線性因素不可避免,這使得傳動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)響應(yīng)變得復(fù)雜多變。振動(dòng)已經(jīng)成為導(dǎo)致高速齒輪傳動(dòng)發(fā)生破壞失效的一種主要形式,因此,基于齒輪動(dòng)力學(xué)的振動(dòng)可靠性分析也越發(fā)重要。

在工程實(shí)際中,由于制造、加工、裝配等誤差、磨 損、潤(rùn)滑、工作環(huán)境等因素變化,齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中充滿諸多不確定性因素,這些因素嚴(yán)重影響了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性和可靠性。因此,國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究,孫志禮等人^[1]以振動(dòng)周期內(nèi)隨機(jī)振幅超限為失效準(zhǔn)則,基于超越法將動(dòng)力學(xué)與可靠性聯(lián)系起來(lái),定義了隨機(jī)參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)可靠度。 Nejad等人^[2]基于ISO齒輪設(shè)計(jì)規(guī)范提出了一種長(zhǎng)期疲勞損傷評(píng)估方法,該方法采用荷載持續(xù)時(shí)間分布法和兩種動(dòng)態(tài)模型確定風(fēng)電傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪的可靠性和失效壽命概率。陳川^[3]在研究風(fēng)電齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)的可靠性模型時(shí),運(yùn)用條件概率思想,將激振力頻率與系統(tǒng)固有頻率關(guān)聯(lián)起來(lái)構(gòu)建可靠性模型,計(jì)算了各零部件的振動(dòng)可靠性,進(jìn)而建立了串聯(lián)系統(tǒng)可靠性模型,并進(jìn)一步求解了風(fēng)電齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)可靠性。wang等人^[4]建立了單級(jí)直齒輪副區(qū)間參數(shù)動(dòng)力學(xué)模型,研究了嚙合剛度、輸入轉(zhuǎn)矩、傳動(dòng)誤差和齒隙等隨機(jī)參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)速度區(qū)間和傳動(dòng)可靠性的影響。

上述齒輪可靠性分析中,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)鮮被考慮在內(nèi)。在行星齒輪傳動(dòng)過(guò)程中,由于各種非線性因素的存在,系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)復(fù)雜多變。尤其是復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng),不僅會(huì)降低動(dòng)力傳遞時(shí)的穩(wěn)定性,還會(huì)加劇齒輪的磨損,這將導(dǎo)致系統(tǒng)可靠性和使用壽命的降低,甚至引發(fā)工程事故。消除或避免齒輪傳動(dòng)時(shí)的混沌運(yùn)動(dòng)區(qū)間,降低振動(dòng)噪聲,提高傳動(dòng)系統(tǒng)平穩(wěn)性、可靠性和使用壽命,一直是齒輪動(dòng)力學(xué)分析的主要 目的[5]。LLE作為衡量動(dòng)力學(xué)特征的一個(gè)重要指標(biāo),能有效識(shí)別系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),這為本文所提出的齒輪振動(dòng)可靠性模型提供了理論基礎(chǔ)。本文綜合考慮了熱效應(yīng)、齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼、綜合傳動(dòng)誤差等因素,建立行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)非線性動(dòng)力學(xué)模型。充分考慮齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)定義為失效形式,通過(guò)LLE構(gòu)建行星齒輪振動(dòng)可靠性模型,將激勵(lì)頻率、溫度、時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼視為隨機(jī)因素,采用MCS法計(jì)算行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)可靠度,并進(jìn)一步分析隨機(jī)變量均值和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)可靠性的敏感程度,為齒輪振動(dòng)可靠性設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供指導(dǎo)建議。

1行星齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)微分方程

如圖1所示,行星系統(tǒng)由一個(gè)太陽(yáng)輪s、行星輪pn (n=1,2,3,… ,N)、內(nèi)齒圈r、行星架c組成。令i=spn, rpn,spn和rpn分別表示太陽(yáng)輪和行星輪、內(nèi)齒圈和行星輪之間的相互關(guān)系,θs、θpn、θr、θc分別為相應(yīng)部件的扭轉(zhuǎn)位移。

時(shí)變嚙合剛度k_i(t)和靜態(tài)傳遞誤差e_i(t)可由一階諧波Fourier級(jí)數(shù)表示:

式中:k_mi為平均嚙合剛度;k_i為剛度波動(dòng)系數(shù);w_e為嚙合頻率;φ_i為嚙合相位差;E_i為嚙合誤差幅值;?_i為初始嚙合誤差相位。

齒輪的嚙合阻尼比可表示為:

式中:ξi為阻尼系數(shù);令q=p,g表示主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪,M_q為等效質(zhì)量。

采用集中質(zhì)量建立行星齒輪扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程為:

式中:T_in為輸入扭矩;T_out為輸出扭矩;I_s、I_pn、I_r、I_c分別為太陽(yáng)輪、第n個(gè)行星輪、齒圈以及行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;r_c為行星架半徑;r_bs、r_bpn、r_br分別為太陽(yáng)輪、第n個(gè)行星輪、齒圈的基圓半徑;m_pn為行星輪的質(zhì)量;α'_i為熱變形后的壓力角;F_i為動(dòng)態(tài)嚙合力,F_i=k_i(t) ?(x_i,b_i)+ci?(x●_i,b_i)。

?(x_i,b_i)為齒輪副的相對(duì)位移函數(shù),可表示為:

式中:b_i為半齒側(cè)間隙。

由于熱效應(yīng)對(duì)齒輪的運(yùn)動(dòng)特性有著顯著影響,因此有必要將溫度的影響考慮在內(nèi)^[6]?？紤]熱效應(yīng)半齒側(cè)間隙可表示為^[7]:

式中:b₀為固定半齒側(cè)間隙;Δb_i為由溫度引起的間隙;ΔT為齒輪溫升;γ為齒輪的線性膨脹系數(shù);m為齒輪的模數(shù);α_i為壓力角;α'_i為熱變形后的壓力角;z_q為齒輪的齒數(shù)。

x_spn和x_rpn分別為太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈與第i個(gè)行星輪作用線上的相對(duì)位移:

式中:e_spn(t)為太陽(yáng)輪和行星輪之間的靜態(tài)傳遞誤差函數(shù);e_rpn(t)為行星輪和內(nèi)齒圈之間的靜態(tài)傳遞誤差 函數(shù)。

為解決各激勵(lì)參數(shù)之間數(shù)量級(jí)相差過(guò)大的問(wèn)題,需對(duì)行星齒輪動(dòng)力學(xué)微分方程進(jìn)行無(wú)量綱化處理。引入無(wú)量綱時(shí)間變量?和位移標(biāo)尺bc對(duì)動(dòng)力學(xué)模型無(wú)量綱化,?=w_nt,t為時(shí)間;固有頻率w_n=√k_mspn(1/M_s+1/M_pn),其中,k_mspn為太陽(yáng)輪與行星輪之間的平均嚙合剛度, M_s和M_pn分別為太陽(yáng)輪和行星輪等效質(zhì)量。無(wú)量綱激勵(lì)頻率Ω=w_e/w_n,無(wú)量綱齒側(cè)間隙b_i=b_i/b_c,無(wú)量綱相對(duì)位移x_i=x_i/b_c,無(wú)量綱速度x●_i=x_i/b_cwn,無(wú)量綱加速度x●●_i=x_i/b_cw²_n,無(wú)量綱綜合傳遞誤差e_i=e_i/b_c。無(wú)量綱化處理后的動(dòng)力學(xué)方程可參考文獻(xiàn)[8]。

1.2 動(dòng)力學(xué)分析

最大李雅普諾夫指數(shù)(LLE)是衡量動(dòng)力學(xué)特征的一個(gè)重要指標(biāo),能有效識(shí)別系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)^[9]。LLE 識(shí)別系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法為:當(dāng)LLE>0時(shí),系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);反之,系統(tǒng)則處于周期或擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

以行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)隨ΔT變化的運(yùn)動(dòng)特性為例,取系統(tǒng)參數(shù)如下:激勵(lì)頻率Ω=1,太陽(yáng)輪和行星輪齒側(cè)間隙b_spn=4 μm,行星輪和內(nèi)齒圈的齒側(cè)間隙b_rpn=4 .5μm,阻尼系數(shù)ξi=0.1,綜合傳遞誤差幅值E_i=3μm,剛度波動(dòng)系數(shù)k_i=0.25。圖2為系統(tǒng)隨ΔT變化的分岔圖和LLE圖。當(dāng)ΔT處于[0℃ ,39.5℃)區(qū)間時(shí),系統(tǒng)以混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為主,并伴隨著短暫的周期運(yùn)動(dòng),此區(qū)間的 LLE曲線整體大于零并出現(xiàn)小部分區(qū)間小于零。當(dāng)ΔT在[39.5℃ ,100℃]時(shí),系統(tǒng)在多處發(fā)生逆倍化分岔,由7周期運(yùn)動(dòng)→4周期運(yùn)動(dòng)→2周期運(yùn)動(dòng)→1周期運(yùn)動(dòng),在此區(qū)間內(nèi)LLE的值小于零?？梢?jiàn),LLE可以很好地反映出系統(tǒng)在不同參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),這為本文所提出的振動(dòng)可靠性模型提供了理論依據(jù)。

2行星齒輪振動(dòng)可靠性靈敏度分析

2.1 可靠度定義與靈敏度分析方法

在以往的研究中,Jan N. Fuhg等人研究了結(jié)合彈塑性摩擦力模型Duffing型振子的行為,提出將LLE 作為非線性模型的可靠性指標(biāo),求解系統(tǒng)可靠性^[10]。 LLE作為非線性動(dòng)力學(xué)的全局分岔分析方法之一,廣泛應(yīng)用于齒輪動(dòng)力學(xué)分析^[11],可作為行星齒輪振動(dòng)可靠性分析的評(píng)價(jià)指標(biāo)。本文采用劉夢(mèng)軍等人提出的方法求解系統(tǒng)的LLE^[12],根據(jù)LLE識(shí)別系統(tǒng)是否處于混沌運(yùn)動(dòng)的判斷方法,系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)可定義為:

式中:LEE(x)表示輸入隨機(jī)變量x時(shí)對(duì)應(yīng)的LLE值。

采用Monte Carlo方法近似計(jì)算失效概率:

式中:N_MC為總樣本;I_F(?)為失效域指數(shù)函數(shù),I_F(?)=1表示行星齒輪系統(tǒng)振動(dòng)失效,I_F(?)=0表示行星齒輪系統(tǒng)可靠。

通常表示為:

對(duì)于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量,可靠性靈敏度表示為失效概率P_f對(duì)基本隨機(jī)變量x_i的分布參數(shù)θx^(k)_i (包含均值μ_xi和標(biāo)準(zhǔn)差σ_xi)的偏導(dǎo)^[13]:

式中:X_i為第i個(gè)隨機(jī)變量;θx^(k)_i為分布參數(shù),k表示分布參數(shù)的個(gè)數(shù);?x (x)為隨機(jī)變量x_i的概率密度函數(shù);E(?)為期望算子。

可靠性靈敏度的估計(jì)值?P f/?θx^(k)_i為:

式中:N為總樣本數(shù);x_j為第j個(gè)樣本;I_F(x_j)為極限狀態(tài)函數(shù)。

無(wú)量綱處理后的均值μxj和標(biāo)準(zhǔn)差σxj的靈敏度可表示為:

2.2 可靠性靈敏度分析

本文以某型直升機(jī)主減速器的行星齒輪系統(tǒng)為研究對(duì)象,行星齒輪個(gè)數(shù)為3,系統(tǒng)的基本參數(shù)如表1所示。

行星齒輪長(zhǎng)時(shí)間工作將導(dǎo)致溫度的升高,當(dāng)溫度升高時(shí),齒側(cè)間隙也會(huì)隨之減小,也從側(cè)面反映了間隙對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響,但在對(duì)齒輪可靠性分析當(dāng)中卻很少考慮此因素。因此,本文將激勵(lì)頻率Ω、剛度波動(dòng)系數(shù)Ki、阻尼系數(shù)ξi、溫度ΔT視為隨機(jī)參數(shù),且符合正態(tài)分布,采用經(jīng)驗(yàn)法選取變異系數(shù),均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表2所示。給定齒側(cè)間隙b_sp=4 μm,b_rp=4.5 μm,綜合傳遞誤差幅值E_i=3μm。

本文設(shè)計(jì)變量有4個(gè),總樣本N_MC=8×104,采用MCS對(duì)系統(tǒng)可靠性求解,所求得的失效概率為P_f=7.125×10^-3。由圖3可得,這4個(gè)隨機(jī)變量的均值對(duì)系統(tǒng)的可靠性有著積極的影響,這說(shuō)明隨著隨機(jī)變量均值的增加,系統(tǒng)的可靠性也在增加,其中ΔT的影響程度最大,ξ次之,隨后是K和Ω。而隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差均對(duì)系統(tǒng)的可靠性有著消極的影響,隨著隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的增大,系統(tǒng)可靠性會(huì)降低,且各隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)差的影響程度先后排序與均值相同。綜上分析,建議在齒輪振動(dòng)可靠性設(shè)計(jì)中重點(diǎn)關(guān)注阻尼系數(shù)和溫度以及與溫度相關(guān)的齒側(cè)間隙,嚴(yán)格控制其精度。

3結(jié)論

1)本文基于行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,將混沌運(yùn)動(dòng)視為系統(tǒng)的失效形式,以LLE作為可靠性指標(biāo)構(gòu)建極限狀態(tài)函數(shù),為行星齒輪振動(dòng)可靠性分析提供了一種新的方法。

2)溫度和阻尼系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)系統(tǒng)的可靠性影響程度較大,在進(jìn)行行星齒輪系統(tǒng)振動(dòng)可靠性設(shè)計(jì)和優(yōu)化時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮溫度(溫度與齒側(cè)間隙的關(guān)系)和阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響,嚴(yán)格控制其精度。

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2024年第19期第7篇