淺談IIR濾波器零相位數(shù)字濾波實(shí)現(xiàn)及應(yīng)用

0引言

在動(dòng)態(tài)測(cè)試信號(hào)處理過(guò)程中，濾波器是常用的測(cè)試儀器之一。濾波器（filter），是一種用來(lái)消除干擾雜訊的器件，將輸入或輸出經(jīng)過(guò)過(guò)濾而得到純凈的直流電。對(duì)特定頻率的頻點(diǎn)或該頻點(diǎn)以外的頻率進(jìn)行有效濾除的電路，就是濾波器，其功能就是得到一個(gè)特定頻率或消除一個(gè)特定頻率。濾波器，顧名思義，是對(duì)波進(jìn)行過(guò)濾的器件。"波"是一個(gè)非常廣泛的物理概念，在電子技術(shù)領(lǐng)域，"波"被狹義地局限于特指描述各種物理量的取值隨時(shí)間起伏變化的過(guò)程。該過(guò)程通過(guò)各類(lèi)傳感器的作用，被轉(zhuǎn)換為電壓或電流的時(shí)間函數(shù)，稱(chēng)之為各種物理量的時(shí)間波形，或者稱(chēng)之為信號(hào)。因?yàn)樽宰兞繒r(shí)間'是連續(xù)取值的，所以稱(chēng)之為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，它常被用于抗混濾波，以避免傅立葉變換時(shí)在頻域產(chǎn)生混疊，或從具有多種頻率成分的復(fù)雜信號(hào)中，將感興趣的頻率成分提取出來(lái)，而將不感興趣的頻率成分衰減掉。在傳統(tǒng)測(cè)試儀器中，濾波器的功能通常需要依靠硬件系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

隨著數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的不斷完善，計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)的日新月異以及軟件技術(shù)飛速發(fā)展，測(cè)試儀器系統(tǒng)的設(shè)計(jì)思想發(fā)生了重大改變。部分傳統(tǒng)的專(zhuān)用測(cè)試設(shè)備會(huì)逐步被以計(jì)算機(jī)和應(yīng)用軟件為核心的虛擬儀器所代替[1].虛擬儀器的出現(xiàn)標(biāo)志著"軟件即儀器（The soft is the instrument）"時(shí)代的到來(lái)。在計(jì)算機(jī)輔助測(cè)試系統(tǒng)（CAT,Computer Aided Test）中，以往模擬濾波器（AF,Analog Filter）的功能，模擬濾波器可以分為無(wú)源和有源濾波器。無(wú)源濾波器：2種電路主要有無(wú)源元件R、L和C組成。有源濾波器：集成運(yùn)放和R、C組成，具有不用電感、體積小、重量輕等優(yōu)點(diǎn)。集成運(yùn)放的開(kāi)環(huán)電壓增益和輸入阻抗均很高，輸出電阻小，構(gòu)成有源濾波電路后還具有一定的電壓放大和緩沖作用。但集成運(yùn)放帶寬有限，所以目前的有源濾波電路的工作頻率難以做得很高。 可用數(shù)字濾波器來(lái)替代。數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)不但比模擬濾波器容易的多，而且還能獲得較理想的濾波器性能。

2數(shù)字濾波器的時(shí)域描述與分類(lèi)

對(duì)于一個(gè)線(xiàn)性移不變（LSI,Linear Shift Invariant）離散時(shí)間系統(tǒng)，如圖1所示，可用如下差分方程表示：y（n）+∑Nk=1a（k）y（n-k）=∑Mr=0b（r）x（n-r）（1）式中a（k），b（r）為方程系數(shù)

　　圖1LSI系統(tǒng)

如果a（k），k=1,2,Λ，N不全為零，該系統(tǒng)為無(wú)限沖擊響應(yīng)（IIR）系統(tǒng)。若a（k）均為零，并令b（0）=1,則y（n）=∑Nr=1b（r）x（n-r）+x（n）（2）該系統(tǒng)為有限沖擊響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)。

由此，數(shù)字濾波器在從實(shí)現(xiàn)方法上，有IIR濾波器和FIR濾波器之分。這兩類(lèi)濾波器無(wú)論在性能上，還是在設(shè)計(jì)方法上都有著很大的區(qū)別。數(shù)字濾波器由數(shù)字乘法器、加法器和延時(shí)單元組成的一種算法或裝置。數(shù)字濾波器的功能是對(duì)輸入離散信號(hào)的數(shù)字代碼進(jìn)行運(yùn)算處理，以達(dá)到改變信號(hào)頻譜的目的。數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)（按預(yù)定的算法，將輸入離散時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為所要求的輸出離散時(shí)間信號(hào)的特定功能裝置）。應(yīng)用數(shù)字濾波器處理模擬信號(hào)時(shí)，首先須對(duì)輸入模擬信號(hào)進(jìn)行限帶、抽樣和模數(shù)轉(zhuǎn)換。數(shù)字濾波器輸入信號(hào)的抽樣率應(yīng)大于被處理信號(hào)帶寬的兩倍，其頻率響應(yīng)具有以抽樣頻率為間隔的周期重復(fù)特性，且以折疊頻率即1/2抽樣頻率點(diǎn)呈鏡像對(duì)稱(chēng)。為得到模擬信號(hào)，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號(hào)須經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)。IIR數(shù)字濾波器與FIR濾波器相比，前者保留了模擬濾波器的優(yōu)點(diǎn)，幅頻特性較好，但存在相位失真。后者相頻特性較好，可實(shí)現(xiàn)線(xiàn)性相位，但在相同指標(biāo)要求下要比前者的階數(shù)高的多。

3差分?jǐn)?shù)字濾波及其存在的問(wèn)題

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有雙線(xiàn)性Z變換法和沖激響應(yīng)不變法；FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有窗函數(shù)法、頻率抽樣法和切比雪夫逼近法等。有關(guān)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的詳細(xì)方法。

對(duì)于設(shè)計(jì)好的濾波器，確定出濾波器的系數(shù)，通過(guò)對(duì)差分方程式（1）或式（2）的疊代算法，可以實(shí)現(xiàn)IIR濾波器或FIR濾波器的數(shù)字濾波?？紤]到程序的通用性，這里就按式（1）編寫(xiě)一個(gè)差分濾波函數(shù)DiffFilter（b,a,x），調(diào)用參數(shù)為三個(gè)數(shù)組，b用于存放濾波器的系數(shù)b（r）（r=0,1,…，M）；a用于存放濾波器的系數(shù)a（k）（k=0,1,…，N），且a（0）=1;x用于存放輸入信號(hào)，返回后用于存放濾波后的輸出信號(hào)。如果將調(diào)用參數(shù)a均賦零值，則可實(shí)現(xiàn)FIR濾波器的數(shù)字濾波。

在此，用一實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明。圖2為某型坦克發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速1000rpm時(shí)，在排氣口測(cè)得的噪聲信號(hào)（采樣點(diǎn)數(shù)1024,采樣頻率4KHz）。從信號(hào)的波形可以看出，它具有一定的周期性，主要是以發(fā)動(dòng)機(jī)周期性排氣產(chǎn)生的噪聲為主。

　　圖2某型坦克發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲信號(hào)

采用窗函數(shù)（Hanning窗）法設(shè)計(jì)出某200階FIR低通濾波器，截止頻率為200Hz,分析頻率為2KHz,其幅頻曲線(xiàn)及相頻曲線(xiàn)如圖3所示。

　　圖3低通濾波器的幅頻特性和相頻特性

利用該FIR低通數(shù)字濾波器對(duì)圖2所示發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲信號(hào)進(jìn)行差分濾波，濾波后的波形如圖4所示

　　圖4差分濾波后的發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲信號(hào)

對(duì)比圖3和圖4所示波形可以看出，差分濾波后，信號(hào)變得"光滑"了許多，原來(lái)的"毛刺"被濾掉了。但同時(shí)也可以看出差分濾波方法存在兩個(gè)問(wèn)題：一是濾波后的信號(hào)相對(duì)與原信號(hào)而言，發(fā)生了相移；二是濾波后的信號(hào)在起始部分，波形畸變較為嚴(yán)重。在信號(hào)處理中，如果對(duì)信號(hào)的相位有特殊的要求，相移問(wèn)題需要引起高度的注意。而起始部分的畸變是由于疊代過(guò)程中，沒(méi)有考慮濾波器的初始條件，剛開(kāi)始點(diǎn)數(shù)少，沒(méi)能用到濾波器全部系數(shù)的緣故。大多情況下，這種畸變可以接受，但當(dāng)數(shù)據(jù)較短，而濾波器的階數(shù)又較高時(shí)，這種畸變會(huì)帶來(lái)較大的負(fù)面影響。

如果輸入信號(hào)為一單位脈沖信號(hào)，即

x（n）=1,n=1

0,n≠1

那么，濾波器的輸出為其脈沖響應(yīng)。本文所用200階FIR低通數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)如圖5所示。
 

　　圖5濾波器的脈沖響應(yīng)3零相位數(shù)字濾波算法及其實(shí)現(xiàn)

3.1零相位數(shù)字濾波的算法

為了克服差分?jǐn)?shù)字濾波中存在的上述兩個(gè)問(wèn)題，可以采用一種零相位濾波的方法，該方法的基本思路是：先確定出濾波器的初始條件，然后將原序列的首尾進(jìn)行擴(kuò)展，把擴(kuò)展后序列通過(guò)濾波器，將所得結(jié)果反轉(zhuǎn)后再次通過(guò)濾波器，最后將所得結(jié)果再反轉(zhuǎn)，并去掉首尾的擴(kuò)展部分，即可得到零相位濾波后的輸出序列。本文采用四次差分濾波方式給出一種便于實(shí)現(xiàn)的詳細(xì)算法，假設(shè)輸入信號(hào)為x（n），n=0,1,…，P.

（1） 編寫(xiě)差分濾波函數(shù)DiffFilter（b,a,x），調(diào)用參數(shù)如前所述。

（2） 對(duì)于IIR濾波器通常有M=N,求濾波器的初始條件e（q），q=0,1,…，N-1,這里記E=[e（0），e（1），…，e（N-1）]T,則有

　　E=1+a（1）1-1…0

　　a（2）01…0

　　MMMOM

　　a（N）00…-11× b（1）-b（0）a（0）

　　b（2）-b（0）a（1）

　　M

　　b（Nn）-b（0）a（N）（3）

（3） 對(duì)原輸入序列x（n）的首尾進(jìn)行擴(kuò)展，在x（n）的前面添加3N個(gè)數(shù)，在后面添加3N個(gè)數(shù)，擴(kuò)展后的序列記為x′（n），n=0,1,…，P+6N.

　　x′（n）=2x（0）-x（3N-n）

　　x（n-3N）

　　2x（P）-x（P-1-（n-P-3N-n））

　　n<3N

　　3N?n<P+3N

　　P+3N?n?P+6N（4）

（4） 進(jìn)行正向?yàn)V波：先用b,a和x′（n）調(diào)用DiffFilter（b,a,x）函數(shù)，計(jì)算x′（n）通過(guò)

H（z）=∑Mm=0b（m）z-m/（1+∑Mm=1a（m）z-m）（5）

的輸出y′（n），然后生成一長(zhǎng)度為P+6N+1的單位脈沖信號(hào)h（n），用z,a和h（n）調(diào)用DiffFilter（b,a,x）函數(shù)，計(jì)算h（n）通過(guò)

H（z）=∑M-1m=0y′（0）e（m）z-m/（1+∑Mm=1a（m）z-m）（6）

的輸出y′（n），并記y（n）=y′（n）+y″（n）。

（5） 進(jìn)行反向?yàn)V波：將正向?yàn)V波結(jié)果反轉(zhuǎn)，記x′（n）=y（P+6N-n），重復(fù)步驟4°，得到反向?yàn)V波后的結(jié)果。

（6） 將反向?yàn)V波的結(jié)果反轉(zhuǎn)，并刪除首尾的擴(kuò)展部分，即可得到最后的濾波結(jié)果。

3.2零相位數(shù)字濾波的實(shí)現(xiàn)

Borland公司推出的Delphi編程語(yǔ)言，具有合理的單元化結(jié)構(gòu)、優(yōu)化的編譯環(huán)境，開(kāi)發(fā)速度快、編程效率高。在實(shí)現(xiàn)同樣功能的情況下與其它語(yǔ)言相比，不僅編寫(xiě)的代碼量少、程序可移植性強(qiáng)，而且還有許多優(yōu)秀的組件包可供使用。最為方便的是可以使用動(dòng)態(tài)數(shù)組，隨時(shí)能夠改變數(shù)組的長(zhǎng)度，這一點(diǎn)非常適合數(shù)字信號(hào)處理。

作者利用Delphi7編寫(xiě)了利用雙線(xiàn)性Z變換法設(shè)計(jì)Butterworth型IIR濾波器和利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器，以及差分?jǐn)?shù)字濾波算法和零相位數(shù)字濾波算法應(yīng)用程序，并作為集成測(cè)試軟件平臺(tái)的一個(gè)虛擬儀器。其中零相位數(shù)字濾波算法程序設(shè)計(jì)流程如圖6所示。

　　圖6零相位數(shù)字濾波算法的流程圖

圖7所示為圖2所示信號(hào)零相位數(shù)字濾波后的波形，通過(guò)與原信號(hào)（圖2）和差分濾波后的信號(hào)（圖4）對(duì)比不難看出：零相位數(shù)字濾波后的輸出與原信號(hào)中的相位基本一致，并且起始部分沒(méi)有畸變。但不可否認(rèn)，零相位數(shù)字濾波算法相對(duì)于普通差分濾波算法計(jì)算量要大許多，但以目前計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力，計(jì)算量稍大并不是什么主要問(wèn)題。

　　圖7零相位濾波后的波形

4結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了一種利用四次差分濾波算法，實(shí)現(xiàn)零相位數(shù)字濾波的方法，并利用Delphi7編寫(xiě)了應(yīng)用軟件。通過(guò)與普通差分濾波器的實(shí)例對(duì)比分析，說(shuō)明零相位數(shù)字濾波不僅能夠避免相移，而且還能改善差分濾波起始部分的波形畸變。這一點(diǎn)在數(shù)字信號(hào)處理中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。