基于Toeplitz方程的改進(jìn)廣義預(yù)測PID控制

引言

PID控制技術(shù)是目前應(yīng)用最廣泛的控制技術(shù)，PID控制是一種應(yīng)用歷史悠久、工業(yè)界比較熟悉的簡單控制算法。自1992年Hagglund提出預(yù)測PI控制器（Hagglund，1992）的思想以來，預(yù)測PID算法得到了逐步的發(fā)展和完善，并成功的應(yīng)用在一些復(fù)雜對(duì)象的控制上。控制理論由于它產(chǎn)生的巨大經(jīng)濟(jì)效益吸引了越來越多的關(guān)注，大量的先進(jìn)控制算法應(yīng)用在紛繁復(fù)雜的工業(yè)過程中，也縮小了理論和實(shí)踐之間的差距。

預(yù)測算法和PID結(jié)合在一起的控制器。PID控制器和過程的滯后時(shí)間無關(guān)，而預(yù)測控制主要依賴過程的滯后時(shí)間，根據(jù)以前的控制作用，來給出現(xiàn)在的控制作用。而這種PID控制算法將PID的簡單性、實(shí)用性、魯棒性和模型預(yù)測控制算法的預(yù)測功能有機(jī)的結(jié)合起來了。

本文運(yùn)用Toeplitz方程求解丟潘圖方程，減少了預(yù)測控制計(jì)算負(fù)擔(dān)，縮短了預(yù)測控制器在線優(yōu)化時(shí)間，同時(shí)解決了系統(tǒng)時(shí)滯引起的控制問題，整定了PID控制參數(shù)，達(dá)到了預(yù)期的效果。

問題的提出

近幾十年來，控制理論由于它產(chǎn)生的巨大經(jīng)濟(jì)效益吸引了越來越多的關(guān)注，大量的先進(jìn)控制算法應(yīng)用在紛繁復(fù)雜的工業(yè)過程中，也縮小了理論和實(shí)踐之間的差距。另一方面，傳統(tǒng)的PID控制器，由于其簡單穩(wěn)定易操作的特性，仍然在控制市場占有相當(dāng)大的使用份額。所以在現(xiàn)今全球競爭日益激烈的市場環(huán)境下，通過先進(jìn)控制改進(jìn)傳統(tǒng)的控制器，優(yōu)化傳統(tǒng)的控制方法來獲取經(jīng)濟(jì)效益提高企業(yè)競爭力，已成為一種趨勢。

但是復(fù)雜工業(yè)過程存在著難于建模、關(guān)聯(lián)復(fù)雜、對(duì)象結(jié)構(gòu)與參數(shù)時(shí)變、干擾與環(huán)境不確定、要求與約束多樣性等特點(diǎn)，傳統(tǒng)的最優(yōu)控制基于對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，它在工業(yè)環(huán)境中并不適用，這已為工業(yè)過程的實(shí)踐所證實(shí)，基于優(yōu)化的控制顯然優(yōu)于單純調(diào)節(jié)。所以就帶來了問題：如何以合適的方式將優(yōu)化結(jié)合到動(dòng)態(tài)控制中，形成適應(yīng)于復(fù)雜工業(yè)過程的優(yōu)化控制模式，預(yù)測控制就滿足了這點(diǎn)要求。

本研究課題將廣義預(yù)測控制和經(jīng)典PID控制方法相結(jié)合，用預(yù)測優(yōu)化原理解決大時(shí)滯系統(tǒng)的控制難題。通過對(duì)Diophantine方程快速求解，避免了傳統(tǒng)GPC算法中遞推求解Diophantine方程的繁雜過程。

基于Toeplitz方法改進(jìn)的GPC

2.1GPC的基本表達(dá)

首先，性能指標(biāo)J函數(shù)表達(dá)如下:

（1）

其中,e(i)是對(duì)象輸出和參考平滑曲線之間的誤差，即。N是預(yù)測時(shí)域，M是控制時(shí)域。是控制加權(quán)常數(shù)。

可以把以上方程寫成向量形式：

（2）

其中，是預(yù)測輸出誤差向量，Y是未來輸出向量，是未來控制增益向量。

2.2介紹Toeplitz方程

給定一個(gè)單輸入單輸出被控對(duì)象傳遞函數(shù)模型：

（3）

其中，和是差分后移算子的多項(xiàng)式：

      （4）（5）



引入增益模型:

（6）

其中,

引入卷積矩陣和漢克爾矩陣,



其中,

所以根據(jù)和的定義式可以將式改寫成：

（7）


同理，式子右邊也可以進(jìn)行變換，最后得到：



PID參數(shù)設(shè)計(jì)

3.1廣義預(yù)測模型描述

廣義預(yù)測控制采用如下離散差分方程描述，也即CARIMA模型：

（12）

使用如下的Diophantine方程



3.2PID和GPC的結(jié)合

PID控制的具體算法為：它根據(jù)給定值r(t)與實(shí)際輸出值y(t)構(gòu)成控制偏差，然后將偏差的比例(P)、積分(I)、微分(D)通過線性組合構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，如下式所示：



（23）

實(shí)驗(yàn)仿真及結(jié)果分析

選擇一個(gè)仿真模型，如下：

運(yùn)用同樣的參數(shù)，傳統(tǒng)PID算法和改進(jìn)的GPC-PID算法仿真結(jié)果如下圖表示。其中，紅色曲線代表傳統(tǒng)PID算法，藍(lán)色曲線代表改進(jìn)的GPC-PID算法。



圖1-控制輸出

從圖1中可以看出本文使用的GPC-PID預(yù)測算法比傳統(tǒng)的PID控制器更加平滑,新的預(yù)測算法所需用的時(shí)間比傳統(tǒng)算法更快達(dá)到穩(wěn)定，基于Toeplitz的矩陣很好的展現(xiàn)了這一特性，節(jié)省了在線計(jì)算的時(shí)間，而傳統(tǒng)算法則不具備這一優(yōu)點(diǎn)。

表格1-計(jì)算時(shí)間比較

從這個(gè)表格中可以看出改進(jìn)的GPC-PID算法所用時(shí)間更短，并且輸出的波動(dòng)明顯降低。改進(jìn)算法在線計(jì)算時(shí)間更短，很好的減少在線求解丟潘圖方程的復(fù)雜程度,減輕了系統(tǒng)的負(fù)擔(dān)。最后的曲線也更加平滑，達(dá)到了預(yù)期效果。

結(jié)語

PID控制技術(shù)是目前應(yīng)用最廣泛的控制技術(shù)，本課題在保證經(jīng)典PID控制性能發(fā)揮其簡單實(shí)用長處的基礎(chǔ)上，根據(jù)滾動(dòng)優(yōu)化原理整定PID控制參數(shù)。所提出方法，避免了已有預(yù)測PID控制方法需要遞推求解Diophantine方程的弱點(diǎn)，提高了預(yù)測PID算法的運(yùn)行速度，從而也拓寬了算法的工程應(yīng)用范圍。