三維矢量散射積分方程中奇異性的分析

本文研究了電場(chǎng)積分方程(EFIE)中被積函數(shù)奇異性的處理方法，特別是三維矢量散射分析中出現(xiàn)的高階奇異性，給出了兩種解決積分方程奇異性的數(shù)值方法.一種方法是計(jì)算O(1/R)階奇異積分的奇異轉(zhuǎn)移法［1］.另一種方法是為解決O(1/R2)高階奇異積分的數(shù)值計(jì)算問題的，它是通過排除一包含奇點(diǎn)的有限小塊，而這一小塊區(qū)域?qū)Ψe分的貢獻(xiàn)為零，從而使積分方程在整個(gè)積分域變得數(shù)值可積.
　　關(guān)鍵詞:三維矢量散射；電場(chǎng)積分方程；自阻抗；主值積分

Singularity Analysis of the Integral Equation for Three Dimension Vector Fields Scattering

WANG Hao-gang,NIE Zai-ping
(Dept.of Microwave Eng.,UEST of China,Chengdu 610054,China)

　　Abstract:In this paper,the singularity in the integrand of electrical field integral equation (EFIE) for 3-dimensional vector fields scattering is first analyzed.Two numerical methods for solving the singularity integral equation are developed.One method is the singularity transferring method for calculating integral value containing O(1/R) singularity in its integrand［1］.The other singularity is removed first and the integral contribution of this small area is proved to be zero.Thus,the integral on the whole integral area can be calculated properly by using numberical method.
　　Key words:3 dimension vector fields scattering;electrical field integral equation;self-impedance;principal integral

一、引　　言
　　隨著計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值方法在求解三維矢量散射問題中的應(yīng)用越來越廣泛.用矩量法求解三維矢量散射問題的關(guān)鍵是精確求解阻抗矩陣的元素，特別是自阻抗元素.求解這些矩陣元素需要對(duì)場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的面積分.在自阻抗元素的求解中，將遇到場(chǎng)點(diǎn)與源點(diǎn)重合時(shí)產(chǎn)生奇異積分核的問題.目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此類奇異積分的處理，盡管有一些研究，但不盡如人意.有的對(duì)其作近似處理［3］，降低了阻抗矩陣對(duì)角線元素的數(shù)值精確性，從而直接影響到電磁散射數(shù)值解的精度.對(duì)電場(chǎng)積分方程(EFIE)中被積函數(shù)奇異性(自阻抗元素的積分表示式中含有奇異性的來源)的分析可采用主值積分法，得到的電場(chǎng)積分方程是去除奇點(diǎn)的主值積分.由于在奇點(diǎn)附近，被積函數(shù)變化非常劇烈，所以不能對(duì)該主值積分使用一般的數(shù)值求積方法.但由于在主值積分中積分域不含奇點(diǎn)，被積函數(shù)是解析的，故可方便地對(duì)其進(jìn)行數(shù)值分析.本文結(jié)合參數(shù)幾何知識(shí)導(dǎo)出了對(duì)主值積分形式的電場(chǎng)積分方程進(jìn)行數(shù)值求積的兩種方法.其一是在奇異轉(zhuǎn)移方法［1］基礎(chǔ)上對(duì)電場(chǎng)積分方程中O(1/R)階奇異積分項(xiàng)進(jìn)行數(shù)值求積的具體方案.其二是對(duì)O(1/R2)高階奇異積分項(xiàng)的處理，這種方法是去除奇點(diǎn)附近被積函數(shù)變化劇烈的一有限小塊區(qū)域，然后證明了在這一小塊區(qū)域內(nèi)的積分為零，從而使積分變得數(shù)值可積，較圓滿地解決了電場(chǎng)積分方程數(shù)值求解問題.運(yùn)用本文方法對(duì)導(dǎo)體球及兩端開口薄壁圓柱和正方形平板的RCS進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，獲得了滿意的結(jié)果.

二、積分的奇異性及三維EFIE的主值積分
　　三維導(dǎo)體矢量散射的電場(chǎng)積分方程(EFIE)可表示為：

　(1)

選擇適當(dāng)?shù)木钟螂娏骰瘮?shù){jp(r′)}來表示金屬散射體表面電流J(r′)，得：

　(2)

再選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù){tq(r)}，從而把式(1)離散成矩陣方程：

　(3)

　　其中,Fq為激勵(lì)項(xiàng)，ap為響應(yīng)項(xiàng)，Aqp則為阻抗元素項(xiàng).在參數(shù)空間中，阻抗元素的積分表達(dá)式為：

　(4)

式中，sq和sp分別表示對(duì)場(chǎng)點(diǎn)和對(duì)源點(diǎn)的積分域；u1和u2與u′1和u′2分別為參數(shù)空是中場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的坐標(biāo)；r/ui和r′/ui(i=1,2)為實(shí)空間中物體表面上的r和r′點(diǎn)的切向矢量;g=det(gij),(i,j=1,2)，gij=r/ui.r/uj,(i,j=1,2)為曲面s的第一類基本量［4］.
　　參數(shù)空間中，基函數(shù)選擇屋頂函數(shù)(rooftop functions):

　(5)
　(6)

式(5)、(6)中i=1時(shí)，j=2;i=2時(shí)，j=1，而且

　(7)

　(8)

　　當(dāng)sself=sq∩sp≠φ時(shí)，Aqp被稱作自阻抗元素，此時(shí)場(chǎng)點(diǎn)積分域與源點(diǎn)積分域部分或完全重合.當(dāng)r′→r時(shí)，R→0，從式(4)可以看出，被積函數(shù)發(fā)散.在經(jīng)典函數(shù)論中，該積分無意義.這對(duì)數(shù)值求解帶來巨大的困難.
　　然而，在實(shí)際上電流產(chǎn)生的場(chǎng)總是有限和唯一的.對(duì)此，采用奇異積分的主值積分法［5］分析電場(chǎng)積分方程.式(1)可寫成：

　(9)

式中，電場(chǎng)積分方程被分為兩項(xiàng).第一項(xiàng)為不含場(chǎng)點(diǎn)(奇點(diǎn))的主值積分.第二項(xiàng)為含場(chǎng)點(diǎn)的分離面積元積分.由于主值積分不含有奇點(diǎn)，故可用通常的數(shù)值方法計(jì)算.下面討論第二項(xiàng)對(duì)整個(gè)積分方程的貢獻(xiàn).可以證明［6］不論Δs形狀如何，當(dāng)Δs→0時(shí)，Δs自身散射場(chǎng)Esself與場(chǎng)點(diǎn)處總場(chǎng)E(r)有以下關(guān)系：

　(10)

　　由于在理想導(dǎo)體表面上電場(chǎng)與表面垂直，所以式(9)第二項(xiàng)為零，即：

　(11)

　　上式就是電場(chǎng)積分方程的主值積分.不難看出式(1)和(11)的區(qū)別僅為：主值積分的積分域不含有奇點(diǎn)，因此可用經(jīng)典函數(shù)論的方法分析其積分值收斂趨勢(shì).于是，阻抗元素計(jì)算式(4)可改寫為：

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsself→0　(12)
由式(12)可知，在關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的面積分中，被積函數(shù)包含了兩項(xiàng)：

　(13)
　(14)

阻抗矩陣計(jì)算式(4)和(12)可分別簡(jiǎn)寫為：

　(15)

和

　(16)

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsslef→0.
　　式(15)，(16)都能用來求解矩陣自阻抗元素.但式(16)對(duì)源點(diǎn)使用主值積分，便于數(shù)值分析.兩式中，I1=I′1,I2=I′2.為方便計(jì)，選擇其中的I1和I′2.

三、奇異項(xiàng)轉(zhuǎn)移方法
　　在式(13)中，僅包含弱奇異性的Abel積分核［7］.一般來講，對(duì)于這類積分，數(shù)值計(jì)算時(shí)只要分格越細(xì)(不取奇點(diǎn))，所得的數(shù)值結(jié)果就越精確.但計(jì)算量增加.若取較少的節(jié)點(diǎn)，則由于被積函數(shù)在奇點(diǎn)附近變化劇烈，導(dǎo)致誤差增大.所以必須尋找一種在數(shù)值計(jì)算上實(shí)際可行的方案.處理這類奇異積分的方法之一是奇異轉(zhuǎn)移法［1］.本文將這種方法進(jìn)行了推廣，以便解決式(13)那樣的奇異問題.經(jīng)過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理，得：

　(17)

在上式中，第一項(xiàng)被積函數(shù)在積分域是連續(xù)有限的，因此數(shù)值可積.在第二項(xiàng)積分中，因子f1(r,r)只與場(chǎng)點(diǎn)有關(guān)，故可提到積分號(hào)外，因此簡(jiǎn)化了奇異項(xiàng)以便于使用積分的解析解：

式中R0=
　(19)

四、挖除有限小塊法
　　下面討論I′2的數(shù)值積分.積分項(xiàng)I′2不包含奇點(diǎn)，其被積函數(shù)F2(r,r′)在積分域上是解析的.但在奇點(diǎn)r附近，由于F2(r,r′)隨r′的變化非常劇烈，用一般的數(shù)值求積是很困難的.
　　用一有限小曲面塊ΔS包圍奇點(diǎn)(ΔSsp)，并設(shè)F2(r,r′)的陡變部分在ΔS中.取Δs0=ΔS-Δsself.在實(shí)際空間中，Δs0對(duì)應(yīng)于一很小的曲面塊，即Δs0<<1.而在參數(shù)空間中，Δs0則為一很小的矩形塊，其長(zhǎng)為Δu1，寬為Δu2，如圖1.這時(shí)I′2變?yōu)椋?/p>

　(20)

式中第一項(xiàng)不含陡變部分，所以可用一般的數(shù)值求積方法計(jì)算.第二項(xiàng)不含奇點(diǎn)，可以得到解析結(jié)果.