PID系統(tǒng)穩(wěn)定性與零極點(diǎn)的關(guān)系

背景

PID是十分優(yōu)美的控制算法，在工業(yè)控制應(yīng)用地十分廣泛，有的時(shí)候，無需知道系統(tǒng)模型的情況下，只要經(jīng)驗(yàn)法去調(diào)整參數(shù)P、參數(shù)I和、參數(shù)D就可以到達(dá)期望的控制效果；

不過之前一直停留在把系統(tǒng)當(dāng)作黑盒的方式進(jìn)行調(diào)試，根據(jù)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)判斷是否達(dá)到期望的效果；

以前參與無人機(jī)研發(fā)的時(shí)候，我們遇到一個(gè)問題，外部的擾動(dòng)會(huì)把飛控激勵(lì)起來造成機(jī)身的振動(dòng)；

要解決掉的話，如果調(diào)飛控，又會(huì)對(duì)云臺(tái)造成影響，最終航拍效果不太好；

我們嘗試了很多工程方法，花了大量時(shí)間，都無法解決；這個(gè)項(xiàng)目看樣子是要黃了；

后來飛控負(fù)責(zé)人和云臺(tái)負(fù)責(zé)人激烈討論，在白板上畫伯德圖，講起相位裕度，幅值裕度；你的系統(tǒng)挪一下頻譜，給我留出更多的余量；退一步海闊天空；

很神奇，后來問題就順利解決了，項(xiàng)目順利上線；

所以我感覺有必要對(duì)部分的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)和簡(jiǎn)單的掃盲，因?yàn)閲L試從數(shù)學(xué)角度對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析，會(huì)涉及到，系統(tǒng)建模，零極點(diǎn)，穩(wěn)定性，基本差不多還給老師了，所以這里不會(huì)太深入。

線性時(shí)不變系統(tǒng)

通常來說，對(duì)于上述的零點(diǎn)和極點(diǎn)的分析，前提是系統(tǒng)需要是LTI系統(tǒng)(linear time-invariant system)；這里簡(jiǎn)單介紹一下，對(duì)于這種系統(tǒng)有兩點(diǎn)：1 線性；2 時(shí)不變；

線性

對(duì)于系統(tǒng)，任意輸入X，最終系統(tǒng)輸出得到Y；

那么如果輸入為K*X，那么最終輸出為K*Y；

例如：

系統(tǒng)增益為100；

即輸入5可以得到輸出5*100；

那么輸入5*K，可以得到輸出5*K*100；

疊加性

如果系統(tǒng)輸入X可以得到輸出結(jié)果f(X)，如果X=a+b；

那么必須存在 f(X) = f(a) + f(b)；

時(shí)不變

系統(tǒng)中，輸入信號(hào)X，則得到輸出信號(hào)Y，那么一個(gè)經(jīng)過了延遲T的輸入信號(hào)X，得到的輸出信號(hào)也只是一個(gè)被延遲T的Y，而不會(huì)是其他值；

也就是說X(t-T)的輸出就是Y(t-T)；

什么是零點(diǎn)和極點(diǎn)？

在數(shù)字信號(hào)處理或者控制理論中，對(duì)于輸入量和輸出量，可以表示為：

如果對(duì)于進(jìn)行拉普拉斯變換，那么可以得到：

對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，需要進(jìn)行拉普拉斯變換變換，則從時(shí)域變換到頻域；

對(duì)于離散系統(tǒng)，則需要進(jìn)行z變換；

輸入，輸出以及傳遞函數(shù)的關(guān)系如下所示；

零點(diǎn)

上述公式中 ，存在 使得 的解，即分母的解；

極點(diǎn)

上述公式中 ，存在 使得 的解，即分子的解；

舉例

假設(shè)存在傳遞函數(shù)；

則零點(diǎn)為 ；

極點(diǎn)為 ， ；

系統(tǒng)的穩(wěn)定的條件

從時(shí)域角度來講：

系統(tǒng)的穩(wěn)定與否卻決于，當(dāng) ，系統(tǒng)輸出 最終收斂，則認(rèn)為系統(tǒng)是穩(wěn)定的；具體如如下所示；

或者結(jié)論可以是這樣子的；

穩(wěn)定性判斷：在零初始條件下，當(dāng)且僅當(dāng) ，閉環(huán)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為零時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

這里又引入了單位沖激響應(yīng)；什么是沖激響應(yīng)？

顧名思義，沖激響應(yīng)，一定是一個(gè)函數(shù)，可以想象一下，感覺形狀和火柴及其相似；

這畫面感很強(qiáng)，具體如下所示；

所以在這里我們將上面的 進(jìn)行時(shí)間T進(jìn)行離散化，具體如下圖所示；

所以這里我們可以發(fā)現(xiàn)， 可以通過單位沖激響應(yīng)進(jìn)行幅值變化和相位移動(dòng)來表示；

實(shí)際上，我們根本只需要讓這些信號(hào)都輸入系統(tǒng)，前面講到過線性時(shí)不變；

所以我們只需要讓這些信號(hào)（1，2，3....n）中的任意一個(gè)信號(hào)進(jìn)行歸一化（單位沖激響應(yīng)）；

對(duì)齊到t=0時(shí)刻，再對(duì)輸出乘以不同系數(shù)，延遲不同時(shí)間，就得到了所有的輸出.

好像有點(diǎn)扯遠(yuǎn)了；

所以結(jié)論成立：在零初始條件下，當(dāng)且僅當(dāng) ，閉環(huán)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為零時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；

從頻域角度來講：

對(duì)于高階系統(tǒng)無法求時(shí)域響應(yīng)的時(shí)候，這時(shí)候就需要從閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)進(jìn)行分析，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

通常來說：閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)都在S平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定；

所以極點(diǎn)為-2，-3，在左半平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定；

這里和時(shí)域上穩(wěn)定性的結(jié)論如何聯(lián)系起來呢？

經(jīng)過拉普拉斯反變換：

在這里不難發(fā)現(xiàn)，從時(shí)域的角度看，當(dāng) ， 收斂；

所以閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位置在S平面的左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；

根據(jù)零極點(diǎn)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法還有以下幾種；

1. 勞斯穩(wěn)定性判據(jù)；
2. 赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)；
3. 伯德圖穩(wěn)定性判定法（頻響）；
4. 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（頻響）；

結(jié)論

簡(jiǎn)單介紹了LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)定義，以及時(shí)域上系統(tǒng)穩(wěn)定性和S域的穩(wěn)定性之間的關(guān)聯(lián)；

有點(diǎn)難，為了頭發(fā)，暫時(shí)先到這里吧。

由于作者能力和水平有限，文中難免存在錯(cuò)誤和紕漏，請(qǐng)不吝賜教。