PID系統(tǒng)穩(wěn)定性與零極點的關(guān)系

背景

PID是十分優(yōu)美的控制算法，在工業(yè)控制應(yīng)用地十分廣泛，有的時候，無需知道系統(tǒng)模型的情況下，只要經(jīng)驗法去調(diào)整參數(shù)P、參數(shù)I和、參數(shù)D就可以到達期望的控制效果；

不過之前一直停留在把系統(tǒng)當作黑盒的方式進行調(diào)試，根據(jù)系統(tǒng)的時間響應(yīng)判斷是否達到期望的效果；

以前參與無人機研發(fā)的時候，我們遇到一個問題，外部的擾動會把飛控激勵起來造成機身的振動；

要解決掉的話，如果調(diào)飛控，又會對云臺造成影響，最終航拍效果不太好；

我們嘗試了很多工程方法，花了大量時間，都無法解決；這個項目看樣子是要黃了；

后來飛控負責(zé)人和云臺負責(zé)人激烈討論，在白板上畫伯德圖，講起相位裕度，幅值裕度；你的系統(tǒng)挪一下頻譜，給我留出更多的余量；退一步海闊天空；

很神奇，后來問題就順利解決了，項目順利上線；

所以我感覺有必要對部分的知識點進行復(fù)習(xí)和簡單的掃盲，因為嘗試從數(shù)學(xué)角度對系統(tǒng)性能進行分析，會涉及到，系統(tǒng)建模，零極點，穩(wěn)定性，基本差不多還給老師了，所以這里不會太深入。

線性時不變系統(tǒng)

通常來說，對于上述的零點和極點的分析，前提是系統(tǒng)需要是LTI系統(tǒng)(linear time-invariant system)；這里簡單介紹一下，對于這種系統(tǒng)有兩點：1 線性；2 時不變；

線性

對于系統(tǒng)，任意輸入X，最終系統(tǒng)輸出得到Y；

那么如果輸入為K*X，那么最終輸出為K*Y；

例如：

系統(tǒng)增益為100；

即輸入5可以得到輸出5*100；

那么輸入5*K，可以得到輸出5*K*100；

疊加性

如果系統(tǒng)輸入X可以得到輸出結(jié)果f(X)，如果X=a+b；

那么必須存在 f(X) = f(a) + f(b)；

時不變

系統(tǒng)中，輸入信號X，則得到輸出信號Y，那么一個經(jīng)過了延遲T的輸入信號X，得到的輸出信號也只是一個被延遲T的Y，而不會是其他值；

也就是說X(t-T)的輸出就是Y(t-T)；

什么是零點和極點？

在數(shù)字信號處理或者控制理論中，對于輸入量和輸出量，可以表示為：

如果對于進行拉普拉斯變換，那么可以得到：

對于連續(xù)系統(tǒng)，需要進行拉普拉斯變換變換，則從時域變換到頻域；

對于離散系統(tǒng)，則需要進行z變換；

輸入，輸出以及傳遞函數(shù)的關(guān)系如下所示；

零點

上述公式中 ，存在 使得 的解，即分母的解；

極點

上述公式中 ，存在 使得 的解，即分子的解；

舉例

假設(shè)存在傳遞函數(shù)；

則零點為 ；

極點為 ， ；

系統(tǒng)的穩(wěn)定的條件

從時域角度來講：

系統(tǒng)的穩(wěn)定與否卻決于，當 ，系統(tǒng)輸出 最終收斂，則認為系統(tǒng)是穩(wěn)定的；具體如如下所示；

或者結(jié)論可以是這樣子的；

穩(wěn)定性判斷：在零初始條件下，當且僅當 ，閉環(huán)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為零時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

這里又引入了單位沖激響應(yīng)；什么是沖激響應(yīng)？

顧名思義，沖激響應(yīng)，一定是一個函數(shù)，可以想象一下，感覺形狀和火柴及其相似；

這畫面感很強，具體如下所示；

所以在這里我們將上面的 進行時間T進行離散化，具體如下圖所示；

所以這里我們可以發(fā)現(xiàn)， 可以通過單位沖激響應(yīng)進行幅值變化和相位移動來表示；

實際上，我們根本只需要讓這些信號都輸入系統(tǒng)，前面講到過線性時不變；

所以我們只需要讓這些信號（1，2，3....n）中的任意一個信號進行歸一化（單位沖激響應(yīng)）；

對齊到t=0時刻，再對輸出乘以不同系數(shù)，延遲不同時間，就得到了所有的輸出.

好像有點扯遠了；

所以結(jié)論成立：在零初始條件下，當且僅當 ，閉環(huán)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為零時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；

從頻域角度來講：

對于高階系統(tǒng)無法求時域響應(yīng)的時候，這時候就需要從閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點進行分析，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

通常來說：閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點都在S平面的左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定；

所以極點為-2，-3，在左半平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)定；

這里和時域上穩(wěn)定性的結(jié)論如何聯(lián)系起來呢？

經(jīng)過拉普拉斯反變換：

在這里不難發(fā)現(xiàn)，從時域的角度看，當 ， 收斂；

所以閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點位置在S平面的左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；

根據(jù)零極點判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法還有以下幾種；

1. 勞斯穩(wěn)定性判據(jù)；
2. 赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)；
3. 伯德圖穩(wěn)定性判定法（頻響）；
4. 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（頻響）；

結(jié)論

簡單介紹了LTI系統(tǒng)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)和傳遞函數(shù)的零極點定義，以及時域上系統(tǒng)穩(wěn)定性和S域的穩(wěn)定性之間的關(guān)聯(lián)；

有點難，為了頭發(fā)，暫時先到這里吧。

由于作者能力和水平有限，文中難免存在錯誤和紕漏，請不吝賜教。