用頻率采樣法設計FIR濾波器

有限長脈沖響應(FIR)數(shù)字濾波器由于設計靈活，濾波效果好以及過渡帶寬易控制，因此在數(shù)字信號處理領域得到了廣泛的應用。FIR數(shù)字濾波器的典型設計方法主要有窗函數(shù)法和頻率采樣法。正確理解和掌握這兩種設計方法是學習FIR數(shù)字濾波器的一個重要環(huán)節(jié)。用窗函數(shù)法進行FIR濾波器設計的相關問題，目前的教材講解較為細致，這里不再贅述。本文主要探討用頻率采樣法設計FIR數(shù)字濾波器的相關問題，主要包括設計原理、性能分析、線性相位條件及設計中應注意的問題等幾個方面。

1 設計原理及濾波器性能分析

頻率采樣法是從頻域出發(fā)，對給定的理想濾波器的頻響進行N點等間隔采樣，即，然后以此Hd(k)作為實際FIR濾波器的頻率特性采樣值H(k)，即令：

由DFT定義，可以用這N個頻域的采樣值H(k)來惟一確定FIR的單位脈沖響應h(n)，即：

下面對設計出的濾波器頻率響應特性進行分析。由頻域采樣定理中的內插公式可以知道，利用這N個頻域采樣值H(k)同樣可以求得FIR濾波器的頻率響應，這個將逼近理想濾波器的頻響。的內插公式為：

從式(5)可以看到，在各頻率采樣點上，設計的濾波器，實際的頻率響應嚴格地與理想濾波器的頻率響應數(shù)值相等，即。但是在采樣點之間的頻率響應是由各采樣點的加權內插函數(shù)疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差。該誤差大小取決于理想頻率響應的形狀，理想頻響特性變化越平緩，內插值越接近理想值，逼近誤差越??；反之，如果采樣點之間的理想頻響特性變化越陡，則內插值與理想值之間的誤差越大，因而在理想濾波器不連續(xù)點的兩邊，就會產(chǎn)生尖峰，而在通帶和阻帶就會產(chǎn)生波紋。用頻率采樣法設計的實際濾波器頻率響應如圖1所示。由圖1可知，實際濾波器的阻帶衰減取決于內插函數(shù)第一旁瓣幅度值的大小，其大小決定了所設計的濾波器的阻帶性能。

2 線性相位條件

FIR濾波器的最大優(yōu)點是嚴格的線性相位特性。下面討論為實現(xiàn)線性相位，在頻域內采樣得到的Hd(k)應滿足什么條件。FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實序列，且滿足h(n)=±h(N-1-n)，即h(n)關于對稱，其中N為濾波器的長度。以第一類線性相位條件h(n)=h(N-1-n)(偶對稱)為基礎來推導頻域采樣Hd(k)滿足的條件。

理想濾波器的頻率響應可以表示為：

為實現(xiàn)第一類線性相位條件，相位函數(shù)θ(ω)和幅度函數(shù)Hg(ω)應分別滿足：

式(10)和式(11)就是頻率采樣值Hd(k)滿足第一類線性相位的條件。關于第二類線性相位的條件這里就不再推導，具體公式可參閱相關的教科書。

3 設計實例及性能分析

現(xiàn)以低通濾波器為例，說明用頻率采樣法設計FIR線性濾波器的一般步驟及設計中應注意的問題。要求截止頻率ωc=0．2π rad／s，采樣點數(shù)為N=20。設計步驟如下：

第一步：確定希望逼近的理想濾波器的頻率響應

第二步：在頻域內對進行N點等間隔采樣，利用頻率采樣設計公式求頻率采樣值Hd(k)，采樣間隔△ω=2π／N=O．1 π，這樣在通帶內共有3個采樣點，分別是k=0，1，2。利用頻率采樣設計式(10)和式(11)，可以得到：

第三步：用離散傅里葉逆變換求得要設計的實際濾波器的單位脈沖響應h(n)：

第四步：根據(jù)傅里葉變換的定義求得實際濾波器的頻率響應，驗證是否滿足濾波器技術指標的要求，主要驗證濾波器的阻帶衰減是否能夠滿足阻帶的要求。借助于Matlab軟件，按照以上4個步驟設計出低通濾波器的仿真結果如圖2所示。

由仿真結果圖2(d)可以看出其衰減比較小，約為-17 dB。在通常情況下，這個阻帶衰減不能滿足阻帶技術指標的要求，可以通過在通帶和阻帶之間的邊界頻率處增加過渡采樣點來增大阻帶衰減。

為改進阻帶衰減，在邊界頻率處增加一個過渡點；為保證過渡帶寬不變，將采樣點數(shù)增加一倍，變?yōu)镹=40，并將過渡點的采樣值進行優(yōu)化，取H1=O．390 4，其仿真結果如圖3所示。由圖3(d)可見，這時阻帶衰減達到了-43 dB。

為進一步增加阻帶衰減，可再增加一個過渡采樣點，并將采樣點數(shù)增加到60。兩個過渡樣點值經(jīng)優(yōu)化分別為H1=O．592 5和H2=O.1099，其仿真結果如圖4所示。由圖4(d)可見，這時阻帶衰減達到-73 dB。還可以通過進一步增加過渡樣點來增加阻帶衰減，一般情況下，最多增加3個過渡采樣點即能滿足阻帶衰減的要求。顯然，在保證過渡帶寬不變的情況下，相應的采樣點數(shù)也成倍增加，這樣將使濾波器的復雜度大大增加，在實現(xiàn)濾波時計算量也隨之增加。

4 結語

Matlab仿真結果驗證了用頻率采樣法設計FIR線性相位數(shù)字濾波器這一數(shù)字信號處理中的基本理論，有助于學生深入理解并掌握這一重要的FIR濾波器設計方法。需要強調的是，頻率采樣法是從頻域出發(fā)直接設計濾波器的，而窗函數(shù)法是從時域出發(fā)設計濾波器的，兩種設計方法各有優(yōu)缺點。窗函數(shù)法設計FIR數(shù)字濾波器是傅里葉變換的典型運用，而頻率采樣法設計的指導思想是頻域采樣定理及內插公式，其阻帶衰減的改善是通過增加過渡采樣點實現(xiàn)的，同時為保證過渡帶寬的不變，濾波器的采樣點數(shù)也要相應增加，計算復雜度也隨之成倍增加，這就要求在用頻率采樣法設計FIR濾波器時，要綜合考慮阻帶衰減和濾波器長度的要求，從而達到設計的最優(yōu)化。