基于BS-UKF的無(wú)傳感器PMSM矢量控制系統(tǒng)仿真

引言

近些年,隨著電機(jī)控制技術(shù)的不斷發(fā)展,諸如EKF算法(擴(kuò)展卡爾曼濾波)已經(jīng)在電機(jī)無(wú)速度傳感器控制方面發(fā)展得較為成熟,但是,在具體的應(yīng)用過(guò)程中,EKF算法需要將傳遞函數(shù)進(jìn)行線性化,使之能夠應(yīng)用卡爾曼的經(jīng)典五步進(jìn)行濾波,因此會(huì)出現(xiàn)線性誤差,從而導(dǎo)致對(duì)電機(jī)的轉(zhuǎn)速以及電角度的估算在高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)較為精確,在低速狀態(tài)下,則會(huì)產(chǎn)生明顯的誤差,另外,由于電機(jī)始終保持旋轉(zhuǎn),因此,該誤差不斷累積,最終會(huì)導(dǎo)致電機(jī)失步等問(wèn)題,同時(shí)也限制了系統(tǒng)的魯棒性。為提升系統(tǒng)的操控性能,同時(shí)強(qiáng)化電機(jī)在低速狀態(tài)下的表現(xiàn),一種基于sigma點(diǎn)采樣的新型卡爾曼濾波算法開始在無(wú)速度傳感器PMSM控制中大量使用。目前無(wú)跡卡爾曼濾波器(UKF)能以至少二階的泰勒精度逼近系統(tǒng)的狀態(tài)后驗(yàn)均值和協(xié)方差。因此,UKF算法十分適用于處理飛行器姿態(tài)控制、電機(jī)參數(shù)辨識(shí)、轉(zhuǎn)速估計(jì)等強(qiáng)非線性高斯系統(tǒng)濾波問(wèn)題。另外,UKF算法無(wú)需計(jì)算雅克比矩陣,因此,既減小了計(jì)算量,又沒(méi)有線性誤差,同時(shí)也不要求系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)可微,是對(duì)EKF算法的有效提升。

1基本原理

使用無(wú)跡變換前,需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行sigma點(diǎn)采樣,才能夠完成隨機(jī)變量后驗(yàn)分布的加權(quán)統(tǒng)計(jì)。如今,在無(wú)跡變換的采樣策略中,單形采樣和對(duì)稱采樣使用頻率最高,而單形采樣中,超球體單形采樣是應(yīng)用最廣泛的采樣策略。

1.1超球體單形采樣

在介紹超球體單形采樣前,先介紹一下對(duì)稱采樣,通常情況下,若系統(tǒng)狀態(tài)變量個(gè)數(shù)為n,則對(duì)稱采樣需要2n+1個(gè)采樣點(diǎn),但是,這樣的話,計(jì)算量較大,在文獻(xiàn)中,介紹了n維空間中最少的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)為n+1。

由于對(duì)稱采樣的計(jì)算量依然較大,因此超球體單形采樣應(yīng)運(yùn)而生,其要求除中心點(diǎn)以外的所有采樣點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離相等分布,從而在整個(gè)sigma空間中呈現(xiàn)出球形,因而得名。

對(duì)于超球體采樣,sigma點(diǎn)選取的步驟如下:

(2)sigma點(diǎn)權(quán)值為:

(3)初始向量(對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量維數(shù)為1):

(4)對(duì)于輸入維數(shù)j=1,2,…,n時(shí),向量的迭代公式為:

(5)生成sigma點(diǎn):

由于PMSM的數(shù)學(xué)模型維數(shù)通常為4,因此選取n=4,W0=0.25時(shí),可以得到sigma點(diǎn)如表1所示。

1.2后向平滑的UKF算法實(shí)現(xiàn)步驟

BS-UKF算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下:

初始化:

對(duì)初始值進(jìn)行sigma點(diǎn)采樣,得到sigma點(diǎn)集:

BS-UKF算法本質(zhì)上也是卡爾曼濾波算法,因此,其估計(jì)過(guò)程也分為五步,首先,狀態(tài)預(yù)測(cè):

其中Xi,klk-1為Xk1k-1的第i列向量,值得注意的是,做狀態(tài)預(yù)測(cè)的輸入值是經(jīng)過(guò)sigma點(diǎn)采樣得到的值。

狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣:

量測(cè)預(yù)測(cè)更新:

其中,yi,klk-1為yk│k-1的第i列向量。

量測(cè)殘差協(xié)方差矩陣:

狀態(tài)量測(cè)互協(xié)方差矩陣:

濾波增益:

狀態(tài)更新:

狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣更新:

1.3永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

選取系統(tǒng)狀態(tài)變量分別為a8坐標(biāo)系下的兩相電流、電機(jī)機(jī)械轉(zhuǎn)速、電機(jī)電角度[iai8or9e]T、[.a.8]T作為輸入變量,[iai8]T作為輸出變量,可以得到離散化的系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程:

式中,Qxx為過(guò)程噪聲。

兩相靜止坐標(biāo)系下的系統(tǒng)量測(cè)方程為:

式中,Rxx為系統(tǒng)的量測(cè)噪聲。

2仿真證明

2.1基于對(duì)稱采樣的BS-UKF控制仿真

使用對(duì)稱采樣的BS-UKF無(wú)傳感器算法作為超球體采樣法的對(duì)照組,編寫了相應(yīng)的S函數(shù),之后在Simu1ink仿真環(huán)境中利用試湊法選取P0、Qk、Rk的初始值分別如下:P0=

在空載情況下,對(duì)控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行了仿真測(cè)試,其中轉(zhuǎn)速及位置角如圖1、圖2所示。

從以上波形可以看出,使用BS-UKF算法后,在選擇一個(gè)較好的P0、Qk、Rk初始值的情況下,能夠取得較好的轉(zhuǎn)速與位置角估計(jì)效果。

2.2基于超球體單形采樣的BS-UKF控制仿真

編寫了使用超球體單形采樣法的S函數(shù),之后在同一個(gè)仿真模型中,采用相同調(diào)節(jié)進(jìn)行測(cè)試,超球體單形采樣的BS-UKF算法的P0、Qk、Rk初始值為:

在空載情況下,對(duì)控制系統(tǒng)的性能進(jìn)行了仿真測(cè)試,其中轉(zhuǎn)速及位置角如圖3、圖4所示。

通過(guò)對(duì)比以上仿真結(jié)果,我們可以看出超球體單形采樣法與對(duì)稱采樣法,在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后,二者的表現(xiàn)近乎完全一致,并沒(méi)有什么差別,但是,在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)前,超球體單形采樣的跟蹤效果更好,也能夠更好地跟蹤系統(tǒng)轉(zhuǎn)速,在位置跟蹤能力上甚至更佳。

3結(jié)語(yǔ)

本文首先從理論上闡明了超球體采樣相對(duì)于對(duì)稱采樣的優(yōu)勢(shì),并對(duì)基于對(duì)稱采樣的UKF和超球體采樣的UKF分別進(jìn)行了仿真驗(yàn)證,從仿真結(jié)果可以直觀地看出在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后,二者的表現(xiàn)近乎完全一致,并沒(méi)有什么差別,但是,在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)前,超球體單形采樣的跟蹤效果更好,也能夠更好地跟蹤系統(tǒng)轉(zhuǎn)速,在位置跟蹤能力上甚至更佳。