程序員必備的基本算法：遞歸詳解

前言

遞歸是一種非常重要的算法思想，無論你是前端開發(fā)，還是后端開發(fā)，都需要掌握它。在日常工作中，統(tǒng)計(jì)文件夾大小，解析xml文件等等，都需要用到遞歸算法。它太基礎(chǔ)太重要了，這也是為什么面試的時(shí)候，面試官經(jīng)常讓我們手寫遞歸算法。本文呢，將跟大家一起學(xué)習(xí)遞歸算法~

• 什么是遞歸？
• 遞歸的特點(diǎn)
• 遞歸與棧的關(guān)系
• 遞歸應(yīng)用場景
• 遞歸解題思路
• leetcode案例分析
• 遞歸可能存在的問題以及解決方案

什么是遞歸？

遞歸，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中是指一種通過重復(fù)將問題分解為同類的子問題而解決問題的方法。簡單來說，遞歸表現(xiàn)為函數(shù)調(diào)用函數(shù)本身。在知乎看到一個(gè)比喻遞歸的例子，個(gè)人覺得非常形象，大家看一下：

遞歸最恰當(dāng)?shù)谋扔鳎褪遣樵~典。我們使用的詞典，本身就是遞歸，為了解釋一個(gè)詞，需要使用更多的詞。當(dāng)你查一個(gè)詞，發(fā)現(xiàn)這個(gè)詞的解釋中某個(gè)詞仍然不懂，于是你開始查這第二個(gè)詞，可惜，第二個(gè)詞里仍然有不懂的詞，于是查第三個(gè)詞，這樣查下去，直到有一個(gè)詞的解釋是你完全能看懂的，那么遞歸走到了盡頭，然后你開始后退，逐個(gè)明白之前查過的每一個(gè)詞，最終，你明白了最開始那個(gè)詞的意思。

來試試水，看一個(gè)遞歸的代碼例子吧，如下：

public?int?sum(int?n)?{
????if?(n?<=?1)?{
????????return?1;
????}?
????return?sum(n?-?1)?+?n;?
}

遞歸的特點(diǎn)

實(shí)際上，遞歸有兩個(gè)顯著的特征,終止條件和自身調(diào)用:

• 自身調(diào)用：原問題可以分解為子問題，子問題和原問題的求解方法是一致的，即都是調(diào)用自身的同一個(gè)函數(shù)。
• 終止條件：遞歸必須有一個(gè)終止的條件，即不能無限循環(huán)地調(diào)用本身。

結(jié)合以上demo代碼例子，看下遞歸的特點(diǎn)：

遞歸與棧的關(guān)系

其實(shí)，遞歸的過程，可以理解為出入棧的過程的，這個(gè)比喻呢，只是為了方便讀者朋友更好理解遞歸哈。以上代碼例子計(jì)算sum（n=3）的出入棧圖如下：

為了更容易理解一些，我們來看一下 函數(shù)sum（n=5）的遞歸執(zhí)行過程，如下：

• 計(jì)算sum（5）時(shí)，先sum（5）入棧，然后原問題sum（5）拆分為子問題sum（4），再入棧，直到終止條件sum（n=1）=1，就開始出棧。
• sum（1）出棧后，sum（2）開始出棧，接著sum（3）。
• 最后呢,sum（1）就是后進(jìn)先出，sum（5）是先進(jìn)后出，因此遞歸過程可以理解為棧出入過程啦~

遞歸的經(jīng)典應(yīng)用場景

哪些問題我們可以考慮使用遞歸來解決呢？即遞歸的應(yīng)用場景一般有哪些呢？

• 階乘問題
• 二叉樹深度
• 漢諾塔問題
• 斐波那契數(shù)列
• 快速排序、歸并排序（分治算法體現(xiàn)遞歸）
• 遍歷文件，解析xml文件

遞歸解題思路

解決遞歸問題一般就三步曲，分別是：

• 第一步，定義函數(shù)功能
• 第二步，尋找遞歸終止條件
• 第二步，遞推函數(shù)的等價(jià)關(guān)系式

這個(gè)遞歸解題三板斧理解起來有點(diǎn)抽象，我們拿階乘遞歸例子來喵喵吧~

1.定義函數(shù)功能

定義函數(shù)功能，就是說，你這個(gè)函數(shù)是干嘛的，做什么事情，換句話說，你要知道遞歸原問題是什么呀？比如你需要解決階乘問題，定義的函數(shù)功能就是n的階乘，如下：

//n的階乘（n為大于0的自然數(shù)）
int?factorial?(int?n){

}

2.尋找遞歸終止條件

遞歸的一個(gè)典型特征就是必須有一個(gè)終止的條件，即不能無限循環(huán)地調(diào)用本身。所以，用遞歸思路去解決問題的時(shí)候，就需要尋找遞歸終止條件是什么。比如階乘問題，當(dāng)n=1的時(shí)候，不用再往下遞歸了，可以跳出循環(huán)啦，n=1就可以作為遞歸的終止條件，如下：

//n的階乘（n為大于0的自然數(shù)）
int?factorial?(int?n){
????if(n==1){
??????return?1;
????}
}

3.遞推函數(shù)的等價(jià)關(guān)系式

遞歸的「本義」，就是原問題可以拆為同類且更容易解決的子問題，即「原問題和子問題都可以用同一個(gè)函數(shù)關(guān)系表示。遞推函數(shù)的等價(jià)關(guān)系式，這個(gè)步驟就等價(jià)于尋找原問題與子問題的關(guān)系，如何用一個(gè)公式把這個(gè)函數(shù)表達(dá)清楚」。階乘的公式就可以表示為 f(n) = n * f(n-1), 因此，階乘的遞歸程序代碼就可以寫成這樣，如下：

int?factorial?(int?n){
????if(n==1){
??????return?1;
????}
????return?n?*?factorial(n-1);
}

「注意啦」，不是所有遞推函數(shù)的等價(jià)關(guān)系都像階乘這么簡單，一下子就能推導(dǎo)出來。需要我們多接觸，多積累，多思考，多練習(xí)遞歸題目滴~

leetcode案例分析

來分析一道leetcode遞歸的經(jīng)典題目吧~

原題鏈接在這里哈：https://leetcode-cn.com/problems/invert-binary-tree/

「題目：」 翻轉(zhuǎn)一棵二叉樹。

輸入：

?????4
???/???\
??2?????7
?/?\???/?\
1???3?6???9

輸出：

?????4
???/???\
??7?????2
?/?\???/?\
9???6?3???1

我們按照以上遞歸解題的三板斧來：

「1. 定義函數(shù)功能」

函數(shù)功能（即這個(gè)遞歸原問題是），給出一顆樹，然后翻轉(zhuǎn)它，所以，函數(shù)可以定義為：

//翻轉(zhuǎn)一顆二叉樹
public?TreeNode?invertTree(TreeNode?root)?{
}

/**
?*?Definition?for?a?binary?tree?node.
?*?public?class?TreeNode?{
?*?????int?val;
?*?????TreeNode?left;
?*?????TreeNode?right;
?*?????TreeNode(int?x)?{?val?=?x;?}
?*?}
?*/

「2.尋找遞歸終止條件」

這棵樹什么時(shí)候不用翻轉(zhuǎn)呢？當(dāng)然是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)為null或者當(dāng)前節(jié)點(diǎn)為葉子節(jié)點(diǎn)的時(shí)候啦。因此，加上終止條件就是：

//翻轉(zhuǎn)一顆二叉樹
public?TreeNode?invertTree(TreeNode?root)?{
????if(root==null?||?(root.left?==null?&&?root.right?==null)){
???????return?root;
????}
}

「3. 遞推函數(shù)的等價(jià)關(guān)系式」

原問題之你要翻轉(zhuǎn)一顆樹，是不是可以拆分為子問題，分別翻轉(zhuǎn)它的左子樹和右子樹？子問題之翻轉(zhuǎn)它的左子樹，是不是又可以拆分為，翻轉(zhuǎn)它左子樹的左子樹以及它左子樹的右子樹？然后一直翻轉(zhuǎn)到葉子節(jié)點(diǎn)為止。嗯，看圖理解一下咯~

首先，你要翻轉(zhuǎn)根節(jié)點(diǎn)為4的樹，就需要「翻轉(zhuǎn)它的左子樹（根節(jié)點(diǎn)為2）和右子樹(根節(jié)點(diǎn)為7）」。這就是遞歸的「遞」的過程啦

然后呢，根節(jié)點(diǎn)為2的樹，不是葉子節(jié)點(diǎn)，你需要繼續(xù)「翻轉(zhuǎn)它的左子樹（根節(jié)點(diǎn)為1）和右子樹（根節(jié)點(diǎn)為3）」。因?yàn)楣?jié)點(diǎn)1和3都是「葉子節(jié)點(diǎn)」了，所以就返回啦。這也是遞歸的「遞」的過程~

同理，根節(jié)點(diǎn)為7的樹，也不是葉子節(jié)點(diǎn)，你需要翻轉(zhuǎn)「它的左子樹（根節(jié)點(diǎn)為6）和右子樹（根節(jié)點(diǎn)為9）」。因?yàn)楣?jié)點(diǎn)6和9都是葉子節(jié)點(diǎn)了，所以也返回啦。

左子樹（根節(jié)點(diǎn)為2）和右子樹(根節(jié)點(diǎn)為7）都被翻轉(zhuǎn)完后，這幾個(gè)步驟就「歸來」，即遞歸的歸過程，翻轉(zhuǎn)樹的任務(wù)就完成了~

顯然，「遞推關(guān)系式」就是：

invertTree（root）=?invertTree（root.left）?+?invertTree（root.right）;

于是，很容易可以得出以下代碼：

//翻轉(zhuǎn)一顆二叉樹
public?TreeNode?invertTree(TreeNode?root)?{
????if(root==null?||?(root.left?==null?&&?root.right?==null){
???????return?root;
????}
????//翻轉(zhuǎn)左子樹
????TreeNode?left?=?invertTree(root.left);
????//翻轉(zhuǎn)右子樹
????TreeNode?right=?invertTree(root.right);
}

這里代碼有個(gè)地方需要注意，翻轉(zhuǎn)完一棵樹的左右子樹，還要交換它左右子樹的引用位置。

?root.left?=?right;
?root.right?=?left;

因此，leetcode這個(gè)遞歸經(jīng)典題目的「終極解決代碼」如下：

class?Solution?{
????public?TreeNode?invertTree(TreeNode?root)?{
?????????if(root==null?||?(root.left?==null?&&?root.right?==null)){
???????????return?root;
?????????}
?????????//翻轉(zhuǎn)左子樹
?????????TreeNode?left?=?invertTree(root.left);
?????????//翻轉(zhuǎn)右子樹
?????????TreeNode?right=?invertTree(root.right);
?????????//左右子樹交換位置~
?????????root.left?=?right;
?????????root.right?=?left;
?????????return?root;
????}
}

拿終極解決代碼去leetcode提交一下，通過啦~

遞歸存在的問題

• 遞歸調(diào)用層級太多，導(dǎo)致棧溢出問題
• 遞歸重復(fù)計(jì)算，導(dǎo)致效率低下

棧溢出問題

• 每一次函數(shù)調(diào)用在內(nèi)存棧中分配空間，而每個(gè)進(jìn)程的棧容量是有限的。
• 當(dāng)遞歸調(diào)用的層級太多時(shí)，就會超出棧的容量，從而導(dǎo)致調(diào)用棧溢出。
• 其實(shí)，我們在前面小節(jié)也討論了，遞歸過程類似于出棧入棧，如果遞歸次數(shù)過多，棧的深度就需要越深，最后棧容量真的不夠咯

「代碼例子如下：」

/**
?*?遞歸棧溢出測試
?*/
public?class?RecursionTest?{

????public?static?void?main(String[]?args)?{
????????sum(50000);
????}
????private?static?int?sum(int?n)?{
????????if?(n?<=?1)?{
????????????return?1;
????????}
????????return?sum(n?-?1)?+?n;
????}
}

「運(yùn)行結(jié)果:」

Exception?in?thread?"main"?java.lang.StackOverflowError
?at?recursion.RecursionTest.sum(RecursionTest.java:13)

怎么解決這個(gè)棧溢出問題？首先需要「優(yōu)化一下你的遞歸」，真的需要遞歸調(diào)用這么多次嘛？如果真的需要，先稍微「調(diào)大JVM的?？臻g內(nèi)存」，如果還是不行，那就需要棄用遞歸，「優(yōu)化為其他方案」咯~

重復(fù)計(jì)算，導(dǎo)致程序效率低下

我們再來看一道經(jīng)典的青蛙跳階問題：一只青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個(gè) n 級的臺階總共有多少種跳法。

絕大多數(shù)讀者朋友，很容易就想到以下遞歸代碼去解決：

class?Solution?{
????public?int?numWays(int?n)?{
????if?(n?==?0){
???????return?1;
?????}
????if(n?<=?2){
????????return?n;
????}
????return?numWays(n-1)?+?numWays(n-2);
????}
}

但是呢，去leetcode提交一下，就有問題啦，超出時(shí)間限制了

為什么超時(shí)了呢？遞歸耗時(shí)在哪里呢？先畫出「遞歸樹」看看：

• 要計(jì)算原問題 f(10)，就需要先計(jì)算出子問題 f(9) 和 f(8)
• 然后要計(jì)算 f(9)，又要先算出子問題 f(8) 和 f(7)，以此類推。
• 一直到 f(2) 和 f(1），遞歸樹才終止。

我們先來看看這個(gè)遞歸的時(shí)間復(fù)雜度吧，「遞歸時(shí)間復(fù)雜度 = 解決一個(gè)子問題時(shí)間*子問題個(gè)數(shù)」

• 一個(gè)子問題時(shí)間 = ?f（n-1）+f（n-2），也就是一個(gè)加法的操作，所以復(fù)雜度是 「O(1)」；
• 問題個(gè)數(shù) = 遞歸樹節(jié)點(diǎn)的總數(shù)，遞歸樹的總結(jié)點(diǎn) = 2^n-1，所以是復(fù)雜度 「O(2^n)」。

因此，青蛙跳階，遞歸解法的時(shí)間復(fù)雜度 = O(1) * O(2^n) = ?O(2^n)，就是指數(shù)級別的，爆炸增長的，「如果n比較大的話，超時(shí)很正常的了」。

回過頭來，你仔細(xì)觀察這顆遞歸樹，你會發(fā)現(xiàn)存在「大量重復(fù)計(jì)算」，比如f（8）被計(jì)算了兩次，f（7）被重復(fù)計(jì)算了3次...所以這個(gè)遞歸算法低效的原因，就是存在大量的重復(fù)計(jì)算！

「那么，怎么解決這個(gè)問題呢？」

既然存在大量重復(fù)計(jì)算，那么我們可以先把計(jì)算好的答案存下來，即造一個(gè)備忘錄，等到下次需要的話，先去「備忘錄」查一下，如果有，就直接取就好了，備忘錄沒有才再計(jì)算，那就可以省去重新重復(fù)計(jì)算的耗時(shí)啦！這就是「帶備忘錄的解法」

我們來看一下「帶備忘錄的遞歸解法」吧~

一般使用一個(gè)數(shù)組或者一個(gè)哈希map充當(dāng)這個(gè)「備忘錄」。

假設(shè)f(10)求解加上「備忘錄」，我們再來畫一下遞歸樹：

「第一步」，f（10）= f(9) + f(8)，f(9) 和f（8）都需要計(jì)算出來，然后再加到備忘錄中，如下：

「第二步，」 ?f(9) = f（8）+ f（7），f（8）= f（7）+ f(6), 因?yàn)?f(8) 已經(jīng)在備忘錄中啦，所以可以省掉，f(7),f（6）都需要計(jì)算出來，加到備忘錄中~

「第三步，」 f(8) = f（7）+ f(6),發(fā)現(xiàn)f(8)，f(7),f（6）全部都在備忘錄上了，所以都可以剪掉。

所以呢，用了備忘錄遞歸算法，遞歸樹變成光禿禿的樹干咯，如下：

帶「備忘錄」的遞歸算法，子問題個(gè)數(shù)=樹節(jié)點(diǎn)數(shù)=n，解決一個(gè)子問題還是O(1),所以「帶「備忘錄」的遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(n)」。接下來呢，我們用帶「備忘錄」的遞歸算法去擼代碼，解決這個(gè)青蛙跳階問題的超時(shí)問題咯~，代碼如下：

public?class?Solution?{
????//使用哈希map，充當(dāng)備忘錄的作用
????Map?tempMap?=?new?HashMap();
????public?int?numWays(int?n)?{
????????//?n?=?0?也算1種
????????if?(n?==?0)?{
????????????return?1;
????????}
????????if?(n?<=?2)?{
????????????return?n;
????????}
????????//先判斷有沒計(jì)算過，即看看備忘錄有沒有
????????if?(tempMap.containsKey(n))?{
????????????//備忘錄有，即計(jì)算過，直接返回
????????????return?tempMap.get(n);
????????}?else?{
????????????//?備忘錄沒有，即沒有計(jì)算過，執(zhí)行遞歸計(jì)算,并且把結(jié)果保存到備忘錄map中，對1000000007取余（這個(gè)是leetcode題目規(guī)定的）
????????????tempMap.put(n,?(numWays(n?-?1)?+?numWays(n?-?2))?%?1000000007);
????????????return?tempMap.get(n);
????????}
????}
}

去leetcode提交一下，如圖，穩(wěn)了：

還有沒有其他方案解決這個(gè)問題呢？只有「帶備忘錄的遞歸解法」？其實(shí)吧，還可以用「動(dòng)態(tài)規(guī)劃」去解決

動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法思想怎么解題呢？我們下期繼續(xù)~ 謝謝閱讀~

參考與感謝

• [一文學(xué)會遞歸解題] (https://mp.weixin.qq.com/s/Hew44D8rdXb3pf8mZGk67w)
• [動(dòng)態(tài)規(guī)劃詳解] (https://mp.weixin.qq.com/s/1V3aHVonWBEXlNUvK3S28w)