多項(xiàng)式擬合在log-add算法單元中的應(yīng)用及其FPGA實(shí)現(xiàn)

摘 要： 綜合考慮面積和速度等因素，采用一次多項(xiàng)式擬合實(shí)現(xiàn)了簡單快速的log-add算法單元。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在相同的精度要求下，其FPGA實(shí)現(xiàn)資源占用合理，硬件開銷好于其他次數(shù)的多項(xiàng)式擬合實(shí)現(xiàn)方案。
關(guān)鍵詞： 多項(xiàng)式擬合；log-add算法單元；FPGA實(shí)現(xiàn)

在多路實(shí)時(shí)語音處理系統(tǒng)中，基于高斯混合概率模型[1，2]的系統(tǒng)后端運(yùn)算量非常大，采用log-add算法單元可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算效率。其函數(shù)形式為[3]：

查表法可以認(rèn)為是多項(xiàng)式次數(shù)為0的情況，隨著精度要求的增加，查找表會變得很大[5]。函數(shù)逼近可以采用多項(xiàng)式擬合，首先根據(jù)所需要的精度確定多項(xiàng)式次數(shù)和分段的大小，然后計(jì)算每一段的多項(xiàng)式系數(shù)。
設(shè)分段的大小為d(d=2-k，k=0，1，2…)，計(jì)算各段系數(shù)時(shí)，各段函數(shù)平移到區(qū)間[0，d），如圖2所示。用Matlab進(jìn)行多項(xiàng)式擬合依次得到各段系數(shù)。由此可以得出各段的擬合多項(xiàng)式為：

這樣實(shí)現(xiàn)時(shí)可以把二進(jìn)制的定點(diǎn)數(shù)x分為MSBs和LSBs兩段。MSBs對應(yīng)段標(biāo)號i，由段標(biāo)號取出系數(shù)ci0，ci1，ci2…；LSBs對應(yīng)浮點(diǎn)數(shù)xl，代表段內(nèi)偏移值。由圖3可以計(jì)算出f(x)。

MSBs和LSBs應(yīng)該這樣選取，例如定標(biāo)為Q32.f，選擇d=1/2，則MSBs為高32-（f-1）位，LSBs為低f-1位；選擇d=1/4, 則MSBs為高32-(f-2)位，LSBs為低f-2位……；如果MSBs為32或31，則變成了查表法。
2 多項(xiàng)式擬合的實(shí)現(xiàn)方案
2.1 多項(xiàng)式次數(shù)與分段大小、精度的關(guān)系
用Matlab進(jìn)行仿真，表1列出了各種精度要求下各次多項(xiàng)式所需的分段大小(d)，其中?啄為精度要求，?茁為多項(xiàng)式的次數(shù)。
由表1可以看出，相同次數(shù)的情況下，精度要求越高，分段大小d越?。欢嗤鹊那闆r下，次數(shù)越高，分段大小d越大。另外，次數(shù)越低，精度越高，分段大小d下降的數(shù)量級越快。

表2列出各次多項(xiàng)式在不同精度要求下，所需要系數(shù)個數(shù)(n)的分布情況。

由表2可以看出，其結(jié)果與表1趨于一致。相同次數(shù)下，精度要求越高，所需要的系數(shù)個數(shù)n越多；而相同精度下，次數(shù)越高，所需要系數(shù)個數(shù)n越少。n隨著次數(shù)的降低和精度的提高迅速增大。
與n相反，多項(xiàng)式的計(jì)算量隨著多項(xiàng)式次數(shù)的增加而增加。根據(jù)horner算法[3]多項(xiàng)式的表達(dá)式如下：

式(6)表明，多項(xiàng)式次數(shù)增加1次，計(jì)算多項(xiàng)式的函數(shù)值增加1次乘法和1次加法。多項(xiàng)式系數(shù)存儲量與多項(xiàng)式的計(jì)算量是其FPGA實(shí)現(xiàn)時(shí)互相制約的兩個因素。
3 仿真結(jié)果
為了取得面積與速度的平衡，根據(jù)測試結(jié)果及實(shí)際系統(tǒng)的要求，選擇δ=10-4、β=1來實(shí)現(xiàn)。本文采用Xilinx ISE Design Suite 10.1進(jìn)行仿真測試。定標(biāo)取Q32.23，其硬件實(shí)現(xiàn)計(jì)算流程如圖4，輸入為定點(diǎn)數(shù)x，由MSBs和LBSs取得系數(shù)和xl，經(jīng)過reg系數(shù)寄存器及1次乘法和1次加法，輸出y。

時(shí)序仿真結(jié)果結(jié)果如圖5。輸入x是32 bit的無符號定點(diǎn)數(shù)，輸出為y；clk是時(shí)鐘；reset為復(fù)位信號；MSBs是x的高位，用于得到多項(xiàng)式系數(shù)；LSBs是x的低位即自變量；temp是用于緩存中間結(jié)果，coef[...]是多項(xiàng)式系數(shù)。輸出延遲3個時(shí)鐘周期，流水線填滿后，每個時(shí)鐘周期輸出一個結(jié)果。

例如輸入32’h00333333（浮點(diǎn)數(shù)0.4），從圖中可以看出其輸出y為24’h41aba5，與實(shí)際函數(shù)值24’h41aa7c存在誤差。其實(shí)現(xiàn)結(jié)果與浮點(diǎn)結(jié)果比較誤差如圖6?？梢钥闯龆c(diǎn)數(shù)誤差在800以內(nèi)，也就是浮點(diǎn)數(shù)約10-4以內(nèi)，誤差范圍與表1相一致。

使用ISE軟件的XST工具綜合，選擇設(shè)備為Xilinx公司Virtex5系列的XC5VFX100T(speed-2)。其資源占用情況如表3，其中Xilinx公司的乘加硬件設(shè)備DSP48E用于算法中的乘法運(yùn)算及加法運(yùn)算[6]。

可以對比δ=10-4，β=0，1，2，3四種實(shí)現(xiàn)方式的硬件開銷，如表4。

由表4可以看出，雖然多項(xiàng)式次數(shù)為0時(shí)使用寄存器（Registers）和查找表（LUTs）最少，且乘法和加法次數(shù)（DSP48Es）為0，但由于其使用了24×40 960 ROM，占用存儲面積較大；而一次多項(xiàng)式擬合雖然所占用查找表(LUTs)一項(xiàng)相對較多，但綜合考慮，其他資源占用都比較均衡。其整體的資源開銷要好于其他方案。
log-add算法單元作為高斯混合概率模型FPGA實(shí)現(xiàn)的基本算法單元，能夠簡化運(yùn)算、提高運(yùn)算效率。在系統(tǒng)精度要求10-4的情況下，采用一次多項(xiàng)式擬合能夠有效地節(jié)省硬件開銷，實(shí)現(xiàn)簡單快速log-add算法單元，為大規(guī)模實(shí)時(shí)處理多路語音數(shù)據(jù)提供了重要保證。
參考文獻(xiàn)
[1] Douglas A.Reynolds，THOMAS E.Quatieri，Robert B.Dunn. Speaker verification using adapted gaussian mixture models[J].Digital Signal Processing，2000(10).
[2] Kazuo Miura，Hiroki Noguchi，Hiroshi Kawaguchi，et al.A low memory bandwidth gaussian mixture model(GMM) processor for 20，000-word real-time speech recognition FPGA system[J].ICECE Technology，2008.FPT.2008.
[3] MELNIKOFF S J，F(xiàn)QUIGLEY S.Implementing the Log-add Algorithm in Hardware[J].Electronics Letters，2003.
[4] LEE B R，BURGESS N.A pallrallel Look-up logarithmic number system addition subtraction scheme for FPGA[J]. Proc.FPT，2003.
[5] 李煒，沈緒榜.對數(shù)數(shù)值系統(tǒng)的研究[J].微電子學(xué)與計(jì)算機(jī)，2004.
[6] 胡彬.Xilinx ISE Design Suite 10.x FPGA開發(fā)指南—邏輯設(shè)計(jì)篇[M].北京：人民郵電出版社，2008.