1 引言
越來越多的應(yīng)用要求采樣模擬信號,將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號,對數(shù)字信號做各種計算和處理,然后再將它們轉(zhuǎn)換成模擬信號。本文討論了如何采樣模擬信號并對其整形以保持原始信號的方法。
2 基帶信號的采樣和混疊分析
先從有限帶寬信號著手討論,有限帶寬信號是指某個頻率點(截止頻點)之外的所有頻率的頻譜成分的幅度都為0的信號。如圖1中的g(t),大于截止頻點α的頻率范圍內(nèi)的頻譜分量全部為0。在這種情況下,α也就是這個基帶信號的帶寬。對g(t)的采樣在數(shù)學(xué)上可以用以下方式表達:將g(t)乘以周期為T的沖激函數(shù)。g(t)在沖激點的信號值被采樣,而其它點的值都為0。從模擬信號角度來看,就是按頻率fSAMPLING=1/T對g(t)取樣。采樣后的信號s(t)可用以下公式表示:
為了得到采樣后信號s(t)的頻譜,可對s(t)做傅立葉變換:
沖激串函數(shù)是一個周期函數(shù),可以用傅立葉級數(shù)表示,如下式:
此處的傅立葉系數(shù)為:
上式中積分的上下限只由一個周期來決定。在保證等效的前提下,可以進行以下變換:用從負無窮到正無窮的傅立葉積分代替上式中的積分,周期性的沖激函數(shù)用基頻沖激函數(shù)代替,則上式可改寫為:
沖激串函數(shù)可用以下更方便做傅立葉變換的簡化形式表示:
考慮到一個信號可由它的傅立葉變換積分得到,如下式:
可得到如下最終結(jié)果
根據(jù)以上結(jié)果,再重新考慮被采樣的基頻信號,它的傅立葉變換為:
兩個信號A(f)和B(f)的卷積定義為:
則S(f)可改寫為:
上式就是我們常說的采樣定律。它表明在時域里按周期T采樣得到的信號會以1/T 的頻率重復(fù)原始信號的頻譜,如圖2所示。
為保留所有原始信號的信息,必須保證每一個重復(fù)頻譜之間不發(fā)生混疊。否則,就不可能從采樣信號中恢復(fù)出原始信號?;殳B意味著高頻段掩蓋了低頻段信號,如圖3所示。為避免混疊,必須滿足以下條件:1/T≥2α或1/T≥2BW。也可用采樣頻率表示為:
fSAMPLING≥2BW
以上表明不會產(chǎn)生混疊的最小采樣頻率是2BW。這就是奈奎斯特采樣定律。
圖3給出了被混疊的采樣信號。高頻信號分量fH疊加在低頻部分。設(shè)計時,通常用一個低通濾波器來恢復(fù)原始頻譜并將其它頻譜分量濾掉。當(dāng)使用截止頻率為α的低通濾波器恢復(fù)圖3信號時,它無法將混疊的高頻信號濾掉,從而造成信號的劣化。
3 帶通信號的采樣和混疊分析
再來看另一種有限帶寬信號,帶通信號。帶通信號的低頻截止點不在0HZ。圖4中的帶通信號的頻譜能量范圍在αL和αU之間,它的帶寬定義為αU-αL。帶通信號和基帶信號的主要差異就是帶寬的定義?;鶐盘柕膸挼扔谒母哳l截止頻率,而帶通信號的帶寬等于高頻截止頻率和低頻截止頻率之差。由前面的討論可知,采樣信號以1/T 的周期重復(fù)原始信號的頻譜。因為這個頻譜實際上包括從0Hz到原始帶通信號低頻截止頻率之間的0幅值頻帶,所以實際的原始帶通信號帶寬要比αU小。這樣就可以在頻域做一定的頻率偏移,而采樣頻率也可以降低。為滿足奈奎斯特定律,一個實際帶寬為αU/2的原始帶通信號,其采樣頻率設(shè)為αU即可,采樣信號的頻譜如圖5所示。這樣的采樣沒有產(chǎn)生混疊,因此如果有理想的帶通濾波器,可完全恢復(fù)出原始信號。在本例中,基帶和帶通信號的差別非常重要。對于基帶信號,帶寬和相應(yīng)的采樣頻率只由高頻截止點決定。而帶通信號的帶寬通常都要比高頻截止頻率小。
4 采樣方式及結(jié)果分析
以上特性決定了從采樣信號恢復(fù)原始信號的不同方法。對于高頻截止點相同的基帶信號和帶通信號,只要采用合適的帶通濾波器,帶通信號的采樣頻率就可以降低(圖5中的白色矩形部分)。而低通濾波器在這種情況下無法恢復(fù)出原始信號,由圖5可明顯看出,陰影部分仍然包含在恢復(fù)信號頻譜中。所以如果要用低通濾波器恢復(fù)圖5中的帶通信號,采樣頻率必須在2αU以上以避免混疊。有限帶寬信號必須在滿足奈奎斯特定律的情況下才能被完全恢復(fù)。對于帶通信號,用帶通濾波器時,采用奈奎斯特采樣頻率可避免混疊。否則就必須使用更高的采樣頻率。在實際應(yīng)用中選擇ADC和DAC時,這一點很重要。
還要注意的是對有限帶寬信號的假設(shè)。從數(shù)學(xué)上分析,一個信號不可能是真正有限帶寬的。傅立葉變換定律告訴我們,如果一個信號在時域是有限的,則它的頻譜就會擴展到無窮大,如果它的帶寬是有限的,則它在時域上就是無限的。很顯然,我們找不到一個具有無窮大周期的時域信號,所以也不可能有真正的有限帶寬信號。不過絕大部分實際信號的頻譜能量都集中在有限帶寬中,因此前面的分析對這些信號仍然有效。采樣正弦信號可以非常簡單和方便地檢測出采樣頻率是否偏低,因為混疊現(xiàn)象是采樣頻率偏低所特有的現(xiàn)象。正弦信號的頻譜里的(沖激串函數(shù))尖峰只在相應(yīng)的頻率點出現(xiàn),出現(xiàn)混疊時,尖峰會移到另一個頻率點,這一點對應(yīng)著混疊信號。
以下測試結(jié)果是用Maxim公司最新推出的125Msps、12位ADC:MAX19541測試得出的。圖6是它的輸出信號頻譜,對應(yīng)的輸入信號頻率fIN=11.5284MHz。很明顯,最高的尖峰恰好出現(xiàn)在該頻率點上。頻譜圖里還有其他一些較小的尖峰,它們是由ADC的非線性引起的諧波造成的,和本文的討論主題無關(guān)。由于采樣頻率fSAMPLE = 125MHz,遠遠大于奈奎斯特定律要求的輸入信號頻率的2倍,因此沒有混疊現(xiàn)象。如果將輸入頻率提高到fIN = 183.4856MHz,大于fSAMPLE/2,此時應(yīng)該會有混疊出現(xiàn)。圖7是fIN>fSAMPLE/2時的輸出頻譜圖,主尖峰落在58.48MHz處,這就是混疊信號。也就是說,在58.48MHz出現(xiàn)了一個原始信號不包含的信號。在圖6和圖7中都只給出了奈奎斯特頻率以下的頻譜,因為頻譜是周期性的,圖中的顯示部分已經(jīng)包含了所有必要信息。
圖6和圖7
5 結(jié)論
以上測試結(jié)果表明?采樣定律是信號采樣應(yīng)用的基本工具,嚴格的數(shù)學(xué)分析對于應(yīng)用中的參數(shù)選擇也很重要。