1. 數學之美和密碼學

前陣子閑來無事看了會兒《數學之美》，其中第17章講述了由電視劇《暗算》展開的密碼學背后的一些數學原理。

書中從凱撒密碼到二戰(zhàn)盟軍和日軍，講到密碼學中均勻分布&統(tǒng)計獨立的基礎理論，看得我津津有味，但是其中一些細節(jié)沒有整明白，于是決定搞篇文章。

2. 加密算法的一點歷史

我們知道常見的加密算法有：對稱加密和非對稱加密，非對稱加密是我們今天的主角。

非對稱加密不是一蹴而就的，它是1976年之后才出現的，可以說非對稱加密是對稱加密的優(yōu)化。

2.1 對稱加密的缺點

所謂對稱加密是指：發(fā)送方使用一種規(guī)則對信息進行處理，接收方需要使用相同的規(guī)則對信息進行逆向處理。

對稱加密要求通信雙方使用相同的規(guī)則和密鑰進行加解密，這樣如何妥善保管密鑰和規(guī)則就非常重要了。

如果密鑰泄露那么再強大的對稱加密算法也是徒勞的，所以如何安全地交換對稱加密的規(guī)則和密鑰是短板。

如何安全地交換密鑰呢？讓人頭疼。

2.2 密鑰交換算法

1976年兩位美國計算機學家 Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一種嶄新構思，可以在不傳遞密鑰的情況下，完成解密，聽著很厲害的樣子，這難道就是江湖上傳說的隔空打牛？

其實，這是被稱為 Diffie-Hellman 迪菲-赫爾曼密鑰交換算法，來看看維基百科上兩位大神的簡介：

這兩位大神是密碼學的先驅，為非對稱加密算法指出了明路：雙方不一定要直接交換密鑰。

迪菲-赫爾曼密鑰交換算法中通信雙方并沒有真正交換密鑰，而是通過計算生成出一個相同的共享密鑰，具體的過程還是比較復雜，在此不展開了。

非對稱加密算法RSA借鑒了這種思想，使用公鑰和私鑰來完成加解密，但是又避免了密鑰傳輸，RSA算法的公鑰是公開的，使用公鑰加密的信息，必須使用對應的私鑰才能解密。

3. RSA算法

RSA算法可以說是地球上最重要的算法之一，是數據通信和網絡安全的基石。

3.1 算法作者

RSA是1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。

當時他們三人都在麻省理工學院工作，RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。

RSA算法密鑰越長越難破解，根據相關文獻，目前被破解的最長RSA密鑰是768個二進制位。一般認為，1024位的RSA密鑰基本安全，2048位的密鑰極其安全，RSA算法目前支持4096位長度。

密鑰長度和加解密的時間是成正比的，因此我們需要根據自己的場景來選擇密鑰長度，不必追求一味長密鑰。

3.2 算法過程

RSA算法的本質就是數學，公鑰和私鑰是數學上關聯的，無須直接傳遞。

算法過程包括：密鑰生成、密鑰加解密。

3.2.1 密鑰生成

RSA算法的密鑰是成對的，公鑰加密私鑰解密，來看下這對密鑰是如何被計算出來的。

• 1.隨機選擇兩個質數P和Q

我們選擇P=61，Q=53，計算PQ的乘積N=PQ=61*53=3233，將N轉換為二進制:110010100001，N的二進制長度是12，也就是密鑰長度為12。

本文只是闡述算法原理，在實際中密鑰長度在1024位以上才安全，12位基本上就是個演示。

• 2.求N的歐拉函數值M

歐拉函數的定義：任意給定正整數n，請問在小于等于n的正整數之中，有多少個與n構成互質關系？

歐拉函數有個通用的計算公式，要證明歐拉函數需要分為很多種情況，特別地，當n是質數時會出現一些特殊的情況。

直接來個結論:

a. 如果k是質數，則φ(k) = k-1;
b.如果 n = P * Q，P 與 Q 均為質數，則 φ(n) = φ(P * Q)= φ(P)φ(Q) = (P - 1)(Q - 1) 。

P=61、Q=53 則N=3233，那么N的歐拉函數記為M=(P-1)*(N-1) = 60*52=3120

• 3.找一個與M互素的整數E
  M和E之間除了1以外沒有公約數(互質)且E

• 4.找一個整數D，滿足如下關系：
  (E*D) mod M = 1，換句話說E和D的乘積除以M的余數為1，這里有一個術語-模逆元，也就是指有一個整數d，可以使得ed被φ(n)除的余數為1。
  等價于 如下計算過程：

當E=17，M=3120，K=1，2，3...時，
17*D - K*M = 1，求解這個方程找到一組滿足關系的D和K即可，可證其中一組為(D,K)=(2753,15)。

綜上所述，我們找到了通過隨機選擇的互質的P和Q計算得到N、M、E、D，我們把這些數字分為兩組：(E,N)和(D,N)分別為公鑰組和私鑰組，E是公鑰、D是私鑰。

在本例中公鑰組為(E,N)=(17,3233)，私鑰組(D,N)=(2753,3233)，接下來我們將使用這對密鑰進行加解密。

3.2.1 加密過程

由于RSA算法本質是數字的運算，因此我們在對字符串進行加密時需要先將字符串數值化，可以借助ascii碼、unicode編碼、utf-8編碼等將字符串轉換為數字。

需要特別注意轉換后的數字X需要小于密鑰組中的N，如果字符串轉換后的數字大于N則需要進行拆分，這可能也是在數據量大時我們使用對稱加密算法來加密內容，用非對稱加密算法來加密密鑰的原因吧。

加密過程滿足：

X^E mod N = Y
其中X為明文，E為公鑰，N為大整數，Y為密文，mod取余運算。

3.2.3 解密過程

我們獲得密文Y后，開始解密，過程滿足：

Y^D mod N = X
其中Y為密文，D為私鑰，N為大整數，X為明文，mod取余運算。

上述的加密和解密過程涉及到了費爾馬小定理。

3.2.4 歐拉定理和費爾馬小定理

這塊有點晦澀，但是確實RSA算法的核心部分。費爾馬小定理給出了素數檢測性質，歐拉對其進行了證明，也就是費馬-歐拉定理。

3.3 RSA算法可靠性分析

經過上面的密鑰生成、加解密過程，我們難免要問：RSA算法可靠嗎？通過公鑰組(E,N)能否推導出私鑰D呢？

來梳理一下：

• 由于ed≡1 (mod φ(N))，只有知道e和φ(N)，才能算出d，e是公鑰匙，所以需要知道φ(N)就可以。

• 根據歐拉函數 φ(N)=(P-1)(Q-1)，只有知道P和Q，才能算出φ(N)。

• N=pq，只有將N進行因數分解，才能算出P和Q。

所以，如果大數N可以被因數分解，私鑰D就可以算出，從而破解密文。

3.5 大整數因數分解

大整數的因數分解是極其困難的，屬于NPC問題，除了暴力破解沒有很好的解決方案，目前人類分解的最大長度的二進制數為768位，1024位的長度目前尚未破解，因此1024長度的二進制密鑰是安全的。

所以，RSA算法的安全性取決于大整數分解的難度，目前RSA算法可以支持4096位密鑰長度，分解難度超乎想象，即使借助于量子計算機難度和時間都是非常非常大的。

4. 總結

本文從對稱加密算法傳遞密鑰安全性為起點，說到迪菲-赫爾曼算法進行密鑰交換協商，該算法為RSA算法的公鑰和私鑰提供了靈感。

麻省理工的三位數學家在歐拉定理&費爾馬定理等等一些數學定理的基礎上創(chuàng)造了偉大的RSA非對稱加密算法。

RSA算法的安全性取決于大數質因數分解的難度，目前而言1024位二進制長度的密鑰人類都沒有破解，為了安全性考慮可使用2048位長度的RSA密鑰進行加密。

確實是燒腦的硬核內容啊，不由得感嘆素數真是個神奇的東西，段位有限只能拋磚引玉，到此為止啦！

感謝各位的傾情閱讀，如果有問題請?zhí)砑哟蟀孜⑿牛?span style="color:#FF4C41;">baymax9901