基于變結(jié)構(gòu)混沌的偽隨機(jī)序列發(fā)生器

摘要：為產(chǎn)生隨機(jī)性能良好的偽隨機(jī)序列，提出了一個(gè)新的變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)。該混沌系統(tǒng)在一個(gè)開(kāi)關(guān)函數(shù)控制下其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間隨機(jī)地轉(zhuǎn)換，所產(chǎn)生的混沌信號(hào)是兩個(gè)不同的混沌信號(hào)的混合，具有良好的復(fù)雜性?；谠撟兘Y(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種偽隨機(jī)序列發(fā)生器，采用NIST標(biāo)準(zhǔn)和STS-2．0b測(cè)試套件對(duì)其產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)性能測(cè)試，測(cè)試結(jié)果表明該偽隨機(jī)序列發(fā)生器具有良好的隨機(jī)性，可應(yīng)用于計(jì)算機(jī)、通信、信息加密等領(lǐng)域中。
關(guān)鍵詞：混沌；變結(jié)構(gòu)混沌；偽隨機(jī)序列；隨機(jī)性

0 引言
    偽隨機(jī)序列在數(shù)字通信、密碼系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)仿真等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。一個(gè)偽隨機(jī)序列發(fā)生器包括隨機(jī)信號(hào)源(種)和一系列的離散、量化及其實(shí)現(xiàn)技術(shù)，其中良好的隨機(jī)信號(hào)源是偽隨機(jī)序列設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題?；煦缗c傳統(tǒng)密碼學(xué)之間存住著一種自然的聯(lián)系，混沌動(dòng)力學(xué)特性基本對(duì)應(yīng)著高強(qiáng)度密碼系統(tǒng)的某些安全特征，而具有良好混合特性的傳統(tǒng)密碼又蘊(yùn)涵著混沌現(xiàn)象。以混沌作為信號(hào)源為偽隨機(jī)序列發(fā)生器的設(shè)計(jì)提供了一種新的途徑。
    利用連續(xù)和離散混沌系統(tǒng)進(jìn)行偽隨機(jī)序列發(fā)生器的設(shè)計(jì)已有研究。離散混沌由于算法簡(jiǎn)單致使其運(yùn)算速率快，序列碼率較高，但缺點(diǎn)是系統(tǒng)參數(shù)和初值條件在一般情況下較少，密鑰空間小，序列的安全性較低。連續(xù)混沌一股情況下是幾個(gè)非線性微分方程的耦合，其系統(tǒng)參數(shù)和初始條件較多，產(chǎn)生偽隨機(jī)序列的密鑰空間較大，缺點(diǎn)是運(yùn)算復(fù)雜，在數(shù)字系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)時(shí)運(yùn)算速率相對(duì)較慢。但如果采取合理的量化方法，會(huì)較好地彌補(bǔ)這種慢的運(yùn)算速率。如在抽位量化方法中，如果一次抽取混沌數(shù)字迭代值的多位作為0，1序列，可大大提高其碼率。因此采用復(fù)雜的連續(xù)混沌系統(tǒng)作為偽隨機(jī)序列的源將是混沌序列應(yīng)用的一個(gè)方向。
    另一方面，數(shù)字系統(tǒng)的編碼理論表明，在數(shù)字系統(tǒng)中處理非周期的混沌時(shí)，由于系統(tǒng)本身的有限位數(shù)致使混沌出現(xiàn)周期現(xiàn)象，即短周期或動(dòng)力學(xué)退化問(wèn)題。為改善這種短周期問(wèn)題，可通過(guò)對(duì)混沌系統(tǒng)的變量或參數(shù)進(jìn)行擾動(dòng)以提高其數(shù)字PN序列的統(tǒng)計(jì)性能，增大序列的周期。為了提高混沌偽隨機(jī)序列的復(fù)雜性和改善其動(dòng)力性退化問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)，以期獲得性能更好的偽隨機(jī)序列。所謂變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)，是指該系統(tǒng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)不斷地自動(dòng)變化，而實(shí)現(xiàn)這種變化的控制函數(shù)是一個(gè)開(kāi)關(guān)函數(shù)，該函數(shù)在自身變量控制下自動(dòng)地在0，1之間轉(zhuǎn)換。在提出變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)之后，對(duì)基于該混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)序列發(fā)生器進(jìn)行了設(shè)計(jì)，對(duì)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列進(jìn)行了NIST(National Ins titute of Standards and Technology)測(cè)試。測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了該數(shù)字序列具有良好的隨機(jī)性能。

1 變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)構(gòu)造
    首先構(gòu)造了一個(gè)三維連續(xù)混沌系統(tǒng)：
   
    式中：a，b，c為可變的系統(tǒng)參數(shù)。在Matlab軟件平臺(tái)上計(jì)算表明，在較大的a，b，c參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)(1)都是混沌的，取a=0．8，b=1．5和c=1．5時(shí)系統(tǒng)(1)的時(shí)域波形和y-z平面上的軌跡(相圖)如圖1所示。

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    又構(gòu)造了另一個(gè)三維連續(xù)混沌系統(tǒng)：
   
    式中：a，b，c和是為可變的系統(tǒng)參數(shù)。在Matlab軟件平臺(tái)上計(jì)算表明，在較大的a，b，c和k參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)(2)都是混沌的，取a=0．8 b=1．5，c=1．5和k=0．32時(shí)系統(tǒng)(2)的時(shí)域波形和y-z平面上的軌跡(相圖)如圖2所示。比較圖1和圖2發(fā)現(xiàn)，兩者的時(shí)域波形和對(duì)應(yīng)的平面軌跡不同。

    混沌系統(tǒng)(1)、(2)除第一個(gè)方程不同外，其余兩個(gè)方程完全相同。雖然它們有相似的結(jié)構(gòu)，但其代數(shù)結(jié)構(gòu)不同，平衡點(diǎn)也不同(見(jiàn)下一節(jié))，因而它們是非拓?fù)涞葍r(jià)的，即它們?cè)诶碚撋鲜遣煌膬蓚€(gè)系統(tǒng)。根據(jù)兩個(gè)系統(tǒng)有相似結(jié)構(gòu)但本質(zhì)不同的特點(diǎn)，采用一個(gè)開(kāi)關(guān)控制函數(shù)u構(gòu)造了一個(gè)變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)：
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    式中：m為開(kāi)關(guān)控制函數(shù)的門(mén)限，m∈x取m=0．2，其他參數(shù)同前。對(duì)變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)(3)進(jìn)行仿真計(jì)算，所獲得的時(shí)域波形x-t和y-z平面上的軌跡如圖3所示。

    圖3中，實(shí)線和虛線分別為為系統(tǒng)(1)和(2)的波形或軌跡。
    從圖3看出，該系統(tǒng)的信號(hào)波形或解的軌跡由兩個(gè)不同的部分構(gòu)成。當(dāng)系統(tǒng)的解x≥m=0．2時(shí)，u(x-m)=1，混沌系統(tǒng)(3)為混沌系統(tǒng)(2)的結(jié)構(gòu)；當(dāng)系統(tǒng)的解x<m=0．2時(shí)，u(x-m)=0，式(3)變?yōu)榛煦缦到y(tǒng)(1)的結(jié)構(gòu)，如此往復(fù)變化。雖然在這種結(jié)構(gòu)變化中的門(mén)限為一確定值，但由于混沌的不可預(yù)測(cè)性導(dǎo)致何時(shí)達(dá)到這一門(mén)限足無(wú)法預(yù)知的，即這種結(jié)構(gòu)隨時(shí)間而變化的規(guī)律是無(wú)法預(yù)知的，也是隨機(jī)的。
    這種由兩個(gè)不同的混沌信號(hào)按時(shí)間隨機(jī)地混雜在一起而形成的一個(gè)完整的混沌信號(hào)，比之由單一混沌系統(tǒng)產(chǎn)牛的信號(hào)要復(fù)雜得多，且門(mén)限參數(shù)本身又是一種密鑰參數(shù)，它擴(kuò)展了混沌偽隨機(jī)序列的密鑰空間，使其提高了安全性。

2 偽隨機(jī)序列發(fā)生器設(shè)計(jì)及性能分析
    基于上述的變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)可設(shè)計(jì)一種新的偽隨機(jī)序列發(fā)牛器。主要思路是以變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)作為隨機(jī)信號(hào)源，采用一定的方法對(duì)其離散、量化，獲得一系列的偽隨饑序列。
    這里研究的變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)是一個(gè)非線性常微分方程組，在數(shù)字系統(tǒng)中對(duì)其進(jìn)行數(shù)值解就是一種離散的方法。常微分方程近似求解的數(shù)值方法有歐拉算法、改進(jìn)型的歐拉算法和龍格庫(kù)塔法等，這都是將連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行近似離散化的方法。其中，歐拉算法速率最快，本文采用歐拉算法將連續(xù)混沌離散化。對(duì)于一個(gè)連續(xù)的混沌系統(tǒng)，有：

   
    當(dāng)τ足夠小時(shí)，經(jīng)過(guò)歐拉算法離散化后的系統(tǒng)具有與式(3)所示的連續(xù)混沌系統(tǒng)相同的動(dòng)力學(xué)特性，此處選擇τ=0．004。
    在數(shù)字系統(tǒng)中迭代求解式(8)所示的離散化系統(tǒng)，迭代過(guò)程中的每一個(gè)解變量xn，yn和zn都可以通過(guò)二進(jìn)制數(shù)據(jù)的方式來(lái)表示。以xn為例：
   
    式中：b1n，b2n，…，b(k+1+l)n分別為二進(jìn)制數(shù)的所有位(0或1)，混沌系統(tǒng)的解xn隨時(shí)間不斷變化，其二進(jìn)制表達(dá)式中的每一位bm(“0”或“1”)也隨時(shí)間小斷變化。如果抽取隨時(shí)間變化的一位或多位，可構(gòu)成一個(gè)由“0”或“1”組成的偽隨機(jī)序列。為了保證提取的序列具有較好的隨機(jī)性，可以嚴(yán)格地從小數(shù)部分中提取其中一位作為隨機(jī)序列，也可以從{b1n，b2n，…，b(k+1+l)n}中選取隨機(jī)性能較好的多位作為隨機(jī)序列，從而增加隨機(jī)序列的提取速度。這種量化方法可用圖4表示。

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    式(5)～式(9)描述了混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器設(shè)計(jì)的核心算法。實(shí)現(xiàn)一個(gè)混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器可借助于軟件和硬件平臺(tái)。如果為計(jì)算機(jī)或其他軟件提供偽隨機(jī)序列，可借助數(shù)字計(jì)算機(jī)這個(gè)性能完善的平臺(tái)實(shí)現(xiàn)式(5)～式(9)的運(yùn)算，如可用Matlab，C語(yǔ)言等軟件實(shí)現(xiàn)一個(gè)混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器。也可結(jié)合實(shí)際應(yīng)用在相關(guān)信號(hào)處理軟硬件平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器，如利用DSP芯片對(duì)語(yǔ)音或視頻信號(hào)進(jìn)行混沌加密，可在DSP內(nèi)進(jìn)行上述運(yùn)算而實(shí)現(xiàn)混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器，也可利用FPGA硬件平臺(tái)實(shí)現(xiàn)這種偽隨機(jī)序列發(fā)生器。本文不側(cè)重利用何種平臺(tái)，如何實(shí)現(xiàn)混沌偽隨機(jī)序列發(fā)生器，而是著重基于上述變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的偽隨機(jī)序列發(fā)生器性能的測(cè)試。為此，選擇Matlab求解變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)，通過(guò)實(shí)現(xiàn)式(5)～式(9)的運(yùn)算產(chǎn)生一系列偽隨機(jī)序列，提取序列并進(jìn)行序列的隨機(jī)性統(tǒng)計(jì)測(cè)試。
    描述一個(gè)序列隨機(jī)性統(tǒng)計(jì)性能的指標(biāo)有多種，但目前應(yīng)用最廣的是NIST(National Institute of Standardsand Technology，美國(guó)國(guó)家技術(shù)與標(biāo)準(zhǔn)局)標(biāo)準(zhǔn)。NIST推出2．0版本的測(cè)試軟件包STS是當(dāng)前最具權(quán)威的一種隨機(jī)性檢測(cè)工具，它為研究人員提供了一種量化的報(bào)告，顯式地說(shuō)明一個(gè)偽隨機(jī)序列性能的好壞。STS-2．0b是當(dāng)前最新的軟件包版本，由十五項(xiàng)核心測(cè)試指標(biāo)組成。
    該測(cè)試包評(píng)價(jià)序列性能好壞有兩項(xiàng)指標(biāo)：其一是通過(guò)率，另一項(xiàng)是P-value分布的均勻性。測(cè)試獨(dú)立生成的m組隨機(jī)序列，依據(jù)各組每次測(cè)試的P-value值是否大于測(cè)試水平α=0．01來(lái)計(jì)算通過(guò)率。若各次測(cè)試的通過(guò)率在可信性區(qū)間內(nèi)，其中1-a，則可說(shuō)明此次測(cè)試算法的信任度高。對(duì)于P-value分布均勻性，若P-valueT>0．000 1，則說(shuō)明P-value值是均勻分布的。
    在Linux操作系統(tǒng)環(huán)境下進(jìn)行測(cè)試。通過(guò)編程將變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)進(jìn)行離散迭代運(yùn)算來(lái)產(chǎn)生數(shù)字混沌序列，然后將產(chǎn)生的二進(jìn)制數(shù)字序列保存為txt文檔，并通過(guò)測(cè)試指令調(diào)用軟件包對(duì)txt文檔中的序列進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試由STS軟件包自動(dòng)完成，并生成測(cè)試報(bào)告?；谧兘Y(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列的測(cè)試結(jié)果如表1所示，序列共有100000000 b，以每組100000 b分為1 000組。

    從表1中P-value這一列看出，序列僅在FFT這一項(xiàng)中的P-value值測(cè)試不滿足P-valueT>0．000 1的條件，這說(shuō)明序列在該項(xiàng)測(cè)試中的P-value值分布不均勻，在其余14項(xiàng)測(cè)試中表現(xiàn)為分布均勻。若從通過(guò)率來(lái)分析，取顯著水平α=0．01，那么根據(jù)通過(guò)率可信區(qū)間的計(jì)算公式可得，當(dāng)PROPORTION的值落在(0．980 560 8，0．999 439 2)區(qū)間內(nèi)時(shí)，表明序列通過(guò)該測(cè)試項(xiàng)，反之則為不通過(guò)。表1測(cè)試結(jié)果顯示序列在所有測(cè)試中其結(jié)果均落在可信區(qū)間之內(nèi)，所有指標(biāo)均通過(guò)該項(xiàng)測(cè)試。

3 結(jié)論
    為產(chǎn)生性能良好的偽隨機(jī)序列，本文構(gòu)造了一個(gè)新的變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)。該系統(tǒng)在一個(gè)開(kāi)關(guān)函數(shù)控制下自動(dòng)地在兩個(gè)混沌子系統(tǒng)之間隨時(shí)問(wèn)隨機(jī)地轉(zhuǎn)換，所產(chǎn)生的混沌信號(hào)是兩個(gè)不同的混沌信號(hào)的混合，因而具有較好的復(fù)雜性。利用該變結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種偽隨機(jī)序列發(fā)生器，基于NIST標(biāo)準(zhǔn)和STS-2．0b測(cè)試套件對(duì)其產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列進(jìn)行了測(cè)試，序列通過(guò)率全部通過(guò)了測(cè)試，序列的均勻性只有一項(xiàng)未通過(guò)測(cè)試。測(cè)試結(jié)果表明，該偽隨機(jī)序列發(fā)生器具有良好的隨機(jī)性能，可應(yīng)用于計(jì)算機(jī)、通信、信息加密等領(lǐng)域之中。